50.含参二次函数单调性分类讨论【拔高】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 50.含参二次函数单调性分类讨论【拔高】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】含参二次函数的基本形式 · 定义表述：形如（为常数，且含参数或含参数）的函数称为含参二次函数，其单调性由开口方向和对称轴位置共同决定。 · 数学符号/表达式：（，参数包含于或中），对称轴为 · 关键特征：参数的取值会改变函数的开口方向和对称轴位置，进而影响单调性 · 跨章节关联：适用于二次函数的图象与性质、不等式恒成立问题、参数范围求解 2. 【概念2】含参二次函数单调性分类讨论原则 · 定义表述：讨论含参二次函数单调性时，需先按开口方向（、）分类，再在每类下按对称轴与给定区间的位置关系分类，最终确定函数的单调区间。 · 数学符号/表达式：设给定区间为，对称轴，分、、三种位置关系讨论 · 关键特征：分类讨论需做到不重不漏，分类的先后顺序固定（先开口方向，后对称轴位置） · 跨章节关联：适用于分类讨论思想、区间最值问题、参数范围的确定 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 分类讨论的顺序 先判断二次项系数的符号（开口方向），再讨论对称轴与区间的位置关系 ① 忽略的情况，误将一次函数当作二次函数讨论；② 未按对称轴与区间的位置关系完整分类 对比：，需先分（开口向上）、（开口向下）、（一次函数） 单调性与对称轴的关系 当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，单调性相反 ① 混淆单调区间的开闭；② 讨论对称轴位置时遗漏区间端点的临界情况 对比：在上的单调性，需分时、、三类 三、题型分类与例题精析 题型1：二次项系数含参的单调性讨论 题型特征：二次项系数含有参数，需先讨论的符号确定开口方向，再讨论对称轴与区间的位置关系 解题步骤： 1. 分、、（一次函数）三种情况； 2. 每种情况下计算对称轴； 3. 讨论与给定区间的位置关系，确定单调区间。 例题1 讨论函数在上的单调性。 解析： 1. 当，即时：，是一次函数，在上单调递增，故在上单调递增。 2. 当，即时：函数开口向上，对称轴 化简，因为，所以 对称轴，位于区间左侧，故在上单调递增。 3. 当，即时：函数开口向下，对称轴 ① 当，即，此时对称轴在区间左侧，在上单调递减； ② 当，解不等式得无解； ③ 当，解不等式得无解； 综上，时在上单调递减。 答案： · 当时，在上单调递增； · 当时，在上单调递增； · 当时，在上单调递减。 举一反三1-1 讨论函数在上的单调性。 解析： 1. 即时，，在上单调递减； 2. 即时，开口向上，对称轴 ① ：无解； ② ：且，即，在递减，递增； ③ ：，在递减； 3. 即时，开口向下，对称轴，在上单调递增。 答案： · 时，在单调递减； · 时，在单调递减； · 时，在递减，递增； · 时，在单调递增。 举一反三1-2 讨论函数在上的单调性。 解析： 1. 即时，，在上单调递增； 2. 即时，开口向上，对称轴，在递减，递增； 3. 即时，开口向下，对称轴，在递增，递减。 答案： · 时，在上单调递增； · 时，在递减，递增； · 时，在递增，递减。 举一反三1-3 讨论函数在上的单调性。 解析： 1. 即时，，在上单调递增； 2. 即时，开口向上，对称轴，易知，在递增； 3. 即时，开口向下，对称轴 ① ：解得，在递减； ② ：解得，在递增，递减； ③ ：解得，在递增。 答案： · 时，在递增； · 时，在递增； · 时，在递减； · 时，在递增，递减； · 时，在递增。 题型2：一次项系数含参的单调性讨论 题型特征：二次项系数为定值（开口方向确定），一次项系数含参数，只需讨论对称轴与区间的位置关系 解题步骤： 1. 确定开口方向（由的符号直接得出）； 2. 计算含参对称轴； 3. 分、、三种情况，确定函数在区间上的单调性。 例题2 讨论函数在上的单调性。 解析： 函数开口向上（），对称轴为 1. 当，即时：对称轴在区间左侧，在上单调递增； 2. 当，即时：对称轴在区间内，在上单调递减，在上单调递增； 3. 当，即时：对称轴在区间右侧，在上单调递减。 答案： · 当时，在上单调递增； · 当时，在上单调递减，在上单调递增； · 当时，在上单调递减。 举一反三2-1 讨论函数在上的单调性。 解析： 开口向上（），对称轴 1. 即时，在递增； 2. 即时，在递减，递增； 3. 即时，在递减。 答案： · 时，在递增； · 时，在递减，递增； · 时，在递减。 举一反三2-2 讨论函数在上的单调性。 解析： 开口向下（），对称轴 1. 时，在递减； 2. 时，在递增，递减； 3. 时，在递增。 答案： · 时，在递减； · 时，在递增，递减； · 时，在递增。 举一反三2-3 讨论函数在上的单调性。 解析： 开口向上（），对称轴 1. 时，在递增； 2. 时，在递减，递增； 3. 时，在递减。 答案： · 时，在递增； · 时，在递减，递增； · 时，在递减。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数在上单调递增，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 解析：即时，单调递增；时，二次函数不可能在上单调递增，故 答案：B 2. 多选题 关于函数在上的单调性，下列说法正确的有（） A. 当时，在单调递增 B. 当时，在单调递减 C. 当时，先减后增 D. 函数的单调性与的取值无关 解析：对称轴，，递增；，递减；，先减后增 答案：ABC 3. 填空题 函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________ 解析：开口向下，对称轴，单调递增区间为，故 答案： 4. 解答题 (1) 讨论函数在上的单调性。 解析： - 时，在上单调递增； - 时，开口向上，对称轴，在递减，递增； - 时，开口向下，对称轴，在递增，递减。 答案：见解析 (2) 讨论函数在上的单调性。 解析： 开口向上，对称轴 - 即时，在递增； - 即时，在递减，递增； - 即时，在递减。 答案：见解析 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数在上单调递减，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 解析： · 即时，，在递增，不符合； · 即时，对称轴，需，解得，无解； · 即时，对称轴，需，恒成立； 综上， 答案：A 2. 多选题 函数在上的最小值为，则的取值可能为（） A. B. C. D. 解析：开口向上，对称轴，最小值在对称轴处取得，故 答案：A 3. 填空题 函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________ 解析： · 时，递增，符合； · 时，对称轴，递增，符合； · 时，对称轴，解得； 综上， 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数在上的最大值为，求实数的值。 解析： - 时，，，舍去； - 时，开口向上，对称轴，，解得（舍去）； - 时，开口向下，对称轴 ① 即时，； ② 即时，，解得（舍去）； ③ 即时，，解得（舍去）； 综上，。 答案： (2) 讨论函数在上的单调性。 解析： 开口向下，对称轴 - ：无解； - ：恒成立，在递增，递减； - ：无解； 综上，在递增，递减。 答案：见解析 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 函数在上不单调，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 解析：时，单调递减，不符合；时，对称轴，需，解得 答案：无正确选项（正确范围为） 2. 多选题 已知函数在上的最大值为，则的取值可能为（） A. B. C. D. 解析：开口向上，对称轴，最大值在端点处取得，； 答案：AD 3. 填空题 函数在上单调，则实数的取值范围为__________ 解析： · 时，单调，符合； · 时，开口向上，对称轴，需或，解得（无解）； · 时，开口向下，对称轴，需或，解得或（舍去）； 综上，或 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，，求的值。 解析：由单调性知对称轴，故；，联立解得， 答案：， (2) 已知函数在上的最大值为，求实数的值。 解析： - 时，，，舍去； - 时，开口向上，对称轴，（舍去）； - 时，开口向下，对称轴 ① 即时，（舍去）； ② 即时，，解得； ③ 即时，； 综上，或。 答案：或 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 50.含参二次函数单调性分类讨论【拔高】（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】含参二次函数的基本形式 · 定义表述：形如（为常数，且含参数或含参数）的函数称为含参二次函数，其单调性由开口方向和对称轴位置共同决定。 · 数学符号/表达式：（，参数包含于或中），对称轴为 · 关键特征：参数的取值会改变函数的开口方向和对称轴位置，进而影响单调性 · 跨章节关联：适用于二次函数的图象与性质、不等式恒成立问题、参数范围求解 2. 【概念2】含参二次函数单调性分类讨论原则 · 定义表述：讨论含参二次函数单调性时，需先按开口方向（、）分类，再在每类下按对称轴与给定区间的位置关系分类，最终确定函数的单调区间。 · 数学符号/表达式：设给定区间为，对称轴，分、、三种位置关系讨论 · 关键特征：分类讨论需做到不重不漏，分类的先后顺序固定（先开口方向，后对称轴位置） · 跨章节关联：适用于分类讨论思想、区间最值问题、参数范围的确定 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 分类讨论的顺序 先判断二次项系数的符号（开口方向），再讨论对称轴与区间的位置关系 ① 忽略的情况，误将一次函数当作二次函数讨论；② 未按对称轴与区间的位置关系完整分类 对比：，需先分（开口向上）、（开口向下）、（一次函数） 单调性与对称轴的关系 当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，单调性相反 ① 混淆单调区间的开闭；② 讨论对称轴位置时遗漏区间端点的临界情况 对比：在上的单调性，需分时、、三类 三、题型分类与例题精析 题型1：二次项系数含参的单调性讨论 题型特征：二次项系数含有参数，需先讨论的符号确定开口方向，再讨论对称轴与区间的位置关系 解题步骤： 1. 分、、（一次函数）三种情况； 2. 每种情况下计算对称轴； 3. 讨论与给定区间的位置关系，确定单调区间。 例题1 讨论函数在上的单调性。 举一反三1-1 讨论函数在上的单调性。 举一反三1-2 讨论函数在上的单调性。 举一反三1-3 讨论函数在上的单调性。 题型2：一次项系数含参的单调性讨论 题型特征：二次项系数为定值（开口方向确定），一次项系数含参数，只需讨论对称轴与区间的位置关系 解题步骤： 1. 确定开口方向（由的符号直接得出）； 2. 计算含参对称轴； 3. 分、、三种情况，确定函数在区间上的单调性。 例题2 讨论函数在上的单调性。 举一反三2-1 讨论函数在上的单调性。 举一反三2-2 讨论函数在上的单调性。 举一反三2-3 讨论函数在上的单调性。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数在上单调递增，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 2. 多选题 关于函数在上的单调性，下列说法正确的有（） A. 当时，在单调递增 B. 当时，在单调递减 C. 当时，先减后增 D. 函数的单调性与的取值无关 3. 填空题 函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________ 4. 解答题 (1) 讨论函数在上的单调性。 (2) 讨论函数在上的单调性。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数在上单调递减，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 2. 多选题 函数在上的最小值为，则的取值可能为（） A. B. C. D. 3. 填空题 函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________ 4. 解答题 (1) 已知函数在上的最大值为，求实数的值。 (2) 讨论函数在上的单调性。 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 函数在上不单调，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数在上的最大值为，则的取值可能为（） A. B. C. D. 3. 填空题 函数在上单调，则实数的取值范围为__________ 4. 解答题 (1) 已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，，求的值。 (2) 已知函数在上的最大值为，求实数的值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $