第01讲一元二次方程的概念 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第01讲 一元二次方程的概念 目录 知识点1 一元二次方程的定义 2 知识点2 一元二次方程的一般形式 2 知识点3 一元二次方程的解（根） 2 知识点4 特殊形式的一元二次方程 2 题型1 一元二次方程的定义 2 题型2 化成一元二次方程的一般形式 3 题型3 判断是否是一元二次方程的解 4 题型4 由一元二次方程的定义求参数 4 题型5 由一元二次方程的解求参数 5 1. 知识目标：理解并掌握一元二次方程的定义、一般形式及相关概念；明确一元二次方程解的含义，区分一元一次方程与一元二次方程的差异。 2. 能力目标：能准确判断一元二次方程，熟练将方程化为标准一般形式；会检验方程的解，掌握根据定义、方程解求解参数的解题方法。 3. 素养目标：建立方程建模思想，培养严谨的分类讨论意识和逻辑推理能力，为后续解方程、应用方程解决问题奠定基础。 知识点1 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 三大核心判定条件（缺一不可）： 1. 整式方程：分母不含未知数、根号内不含未知数； 2. 一元：只含唯一一个未知数（通常为x）； 3. 二次：未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 知识点2 一元二次方程的一般形式 任何一元二次方程经过整理，都可以化为统一一般形式：。 1. ：二次项，为二次项系数； 2. ：一次项，为一次项系数； 3. ：常数项； 4. 关键规定：a≠0（若a=0，方程最高次数为1，变为一元一次方程），b、c可以为0。 知识点3 一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做方程的根。 核心性质：代入数值后，方程左边计算结果=右边结果，即可判定该数值为方程的解。一元二次方程可以有两个不相等、两个相等或无实数根。 知识点4 特殊形式的一元二次方程 1. 缺一次项：； 2. 缺常数项：； 3. 完整形式：。 题型1 一元二次方程的定义 解题技巧：严格套用“三要素判定法”，缺一不可。1. 先判整式：排除分式方程、根式方程，分母、根号内不能含未知数；2. 再判一元：全程只有一个未知数，多未知数直接排除；3. 最后判二次：未知数最高次数为2，且保证二次项系数不为0；4. 快速筛选：化简后再判定，不可直接看原式表面次数，需整理合并同类项后判断最高次数。 高频易错点：化简后二次项抵消、二次项系数为0的方程，不属于一元二次方程。 【典例1】．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【变式3】．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 题型2 化成一元二次方程的一般形式 解题技巧：严格套用“三要素判定法”，缺一不可。1. 先判整式：排除分式方程、根式方程，分母、根号内不能含未知数；2. 再判一元：全程只有一个未知数，多未知数直接排除；3. 最后判二次：未知数最高次数为2，且保证二次项系数不为0；4. 快速筛选：化简后再判定，不可直接看原式表面次数，需整理合并同类项后判断最高次数。 高频易错点：化简后二次项抵消、二次项系数为0的方程，不属于一元二次方程。 【典例2】．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【变式1】．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【变式3】．一元二次方程化成一般形式为________． 题型3 判断是否是一元二次方程的解 解题技巧：代入验证法，一步判定。1. 将给定未知数数值，完整代入方程左右两边；2. 分别精准计算左右两边结果；3. 两边数值相等即为方程的解，不相等则不是；4. 代入负数、分数时，必须添加括号，严格遵循乘方、符号运算规则，杜绝计算失误。 秒杀口诀：代入求值、左右对比，相等为根，不等舍去。 【典例3】．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【变式2】．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【变式3】．对于关于的方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②当时，方程无实数解； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④一元二次方程有两个相等的实根，则； 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．④ 题型4 由一元二次方程的定义求参数 解题技巧：紧扣定义列限制条件，分类求解。1. 核心列式：保证未知数最高次数为2，同时二次项系数≠0；2. 列方程组：次数对应指数=2，系数代数式≠0；3. 求解参数：先解次数方程，再代入验证系数不为0，舍去增根；4. 严谨校验：参数取值必须同时满足整式、一元、二次三大条件，缺一舍去。 必考陷阱：只求次数忽略二次项系数不为0，是本题型最常见失分点。 【典例4】．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以为（     ） A． B． C．2 D．3 【变式1】．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【变式2】．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【变式3】．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 题型5 由一元二次方程的解求参数 解题技巧：根的代入法，快速求参。1. 代入：将已知方程的根，代入原含参数的一元二次方程；2. 化简：整理得到关于参数的一元一次或一元二次方程；3. 求解：解方程得出参数取值；4. 验根：求出参数后，反向验证原方程仍为一元二次方程（二次项系数不为0），排除无效参数值。 核心思路：方程的根一定满足原方程，代入消元，转化为求参数的基础方程。 【典例5】．已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（     ） A．175 B．210 C．245 D．365 【变式1】．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【变式2】．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【变式3】．已知m是方程的实数根，则的值为______． 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 3．一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 4．已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（     ） A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根： C．该方程一定有一个实数根为； D．该方程一定有一个实数根为． 5．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 6．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 7．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．已知方程的一个根是1，则_____． 10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 11．一元二次方程的一次项系数是______． 12．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 13．若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 14．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 15．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 16．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 17．已知：关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 一元二次方程的概念 目录 知识点1 一元二次方程的定义 2 知识点2 一元二次方程的一般形式 2 知识点3 一元二次方程的解（根） 2 知识点4 特殊形式的一元二次方程 2 题型1 一元二次方程的定义 2 题型2 化成一元二次方程的一般形式 4 题型3 判断是否是一元二次方程的解 6 题型4 由一元二次方程的定义求参数 8 题型5 由一元二次方程的解求参数 10 1. 知识目标：理解并掌握一元二次方程的定义、一般形式及相关概念；明确一元二次方程解的含义，区分一元一次方程与一元二次方程的差异。 2. 能力目标：能准确判断一元二次方程，熟练将方程化为标准一般形式；会检验方程的解，掌握根据定义、方程解求解参数的解题方法。 3. 素养目标：建立方程建模思想，培养严谨的分类讨论意识和逻辑推理能力，为后续解方程、应用方程解决问题奠定基础。 知识点1 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 三大核心判定条件（缺一不可）： 1. 整式方程：分母不含未知数、根号内不含未知数； 2. 一元：只含唯一一个未知数（通常为x）； 3. 二次：未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 知识点2 一元二次方程的一般形式 任何一元二次方程经过整理，都可以化为统一一般形式：。 1. ：二次项，为二次项系数； 2. ：一次项，为一次项系数； 3. ：常数项； 4. 关键规定：a≠0（若a=0，方程最高次数为1，变为一元一次方程），b、c可以为0。 知识点3 一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做方程的根。 核心性质：代入数值后，方程左边计算结果=右边结果，即可判定该数值为方程的解。一元二次方程可以有两个不相等、两个相等或无实数根。 知识点4 特殊形式的一元二次方程 1. 缺一次项：； 2. 缺常数项：； 3. 完整形式：。 题型1 一元二次方程的定义 解题技巧：严格套用“三要素判定法”，缺一不可。1. 先判整式：排除分式方程、根式方程，分母、根号内不能含未知数；2. 再判一元：全程只有一个未知数，多未知数直接排除；3. 最后判二次：未知数最高次数为2，且保证二次项系数不为0；4. 快速筛选：化简后再判定，不可直接看原式表面次数，需整理合并同类项后判断最高次数。 高频易错点：化简后二次项抵消、二次项系数为0的方程，不属于一元二次方程。 【典例1】．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可． 【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求； ∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求； ∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求； ∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求． 【变式1】．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 【变式2】．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 【变式3】．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 题型2 化成一元二次方程的一般形式 解题技巧：严格套用“三要素判定法”，缺一不可。1. 先判整式：排除分式方程、根式方程，分母、根号内不能含未知数；2. 再判一元：全程只有一个未知数，多未知数直接排除；3. 最后判二次：未知数最高次数为2，且保证二次项系数不为0；4. 快速筛选：化简后再判定，不可直接看原式表面次数，需整理合并同类项后判断最高次数。 高频易错点：化简后二次项抵消、二次项系数为0的方程，不属于一元二次方程。 【典例2】．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 【变式1】．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 【变式2】．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴. 【变式3】．一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题关键．先计算完全平方公式、去括号，再移项、合并同类项，整理成一元二次方程的一般式即可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 题型3 判断是否是一元二次方程的解 解题技巧：代入验证法，一步判定。1. 将给定未知数数值，完整代入方程左右两边；2. 分别精准计算左右两边结果；3. 两边数值相等即为方程的解，不相等则不是；4. 代入负数、分数时，必须添加括号，严格遵循乘方、符号运算规则，杜绝计算失误。 秒杀口诀：代入求值、左右对比，相等为根，不等舍去。 【典例3】．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 【变式1】．嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为， ∴将代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将代入原方程得， 解得， ∴是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 【变式2】．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 【变式3】．对于关于的方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②当时，方程无实数解； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④一元二次方程有两个相等的实根，则； 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．④ 【答案】D 【详解】解：对于①：将代入得，若，则满足方程，即方程的根为，不是，故①错误； 对于②：当时，方程变为，若，方程有实数解，故②错误； 对于③：是方程的一个根，代入得，整理得， 或，不是一定有，故③错误； 对于④：一元二次方程有两个相等的实根， ，且判别式，即， 对两边同乘得，代入得： ， ，故④正确； 综上只有④正确． 题型4 由一元二次方程的定义求参数 解题技巧：紧扣定义列限制条件，分类求解。1. 核心列式：保证未知数最高次数为2，同时二次项系数≠0；2. 列方程组：次数对应指数=2，系数代数式≠0；3. 求解参数：先解次数方程，再代入验证系数不为0，舍去增根；4. 严谨校验：参数取值必须同时满足整式、一元、二次三大条件，缺一舍去。 必考陷阱：只求次数忽略二次项系数不为0，是本题型最常见失分点。 【典例4】．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一是二次项系数不为0，二是方程有实数根时判别式，据此求出的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ ，即， 又∵ 方程有实数根， ∴ 判别式， ∵， ∴ ，解得， 综上，的取值范围是且， 选项A：，故该选项不符合题意； 选项B：，故该选项不符合题意； 选项C：，满足条件，故该选项符合题意； 选项D：，不满足，故该选项不符合题意． 【变式1】．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 【变式2】．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【详解】解：关于的方程是一元二次方程 未知数的最高次数为，可得 解得，此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 【变式3】．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，据此列式方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 题型5 由一元二次方程的解求参数 解题技巧：根的代入法，快速求参。1. 代入：将已知方程的根，代入原含参数的一元二次方程；2. 化简：整理得到关于参数的一元一次或一元二次方程；3. 求解：解方程得出参数取值；4. 验根：求出参数后，反向验证原方程仍为一元二次方程（二次项系数不为0），排除无效参数值。 核心思路：方程的根一定满足原方程，代入消元，转化为求参数的基础方程。 【典例5】．已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（     ） A．175 B．210 C．245 D．365 【答案】A 【分析】先利用一元二次方程根的定义，化简所求代数式，再利用根与系数的关系得到两根之积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， 是方程的两个实数根， ∴ 由一元二次方程根的定义得：， ， 整理得： ， ， 由根与系数的关系得： ， ∴． 【变式1】．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 【变式2】．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】把代入原方程得：， 整理得， 即， 解得． 【变式3】．已知m是方程的实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用整体代入法求代数式的值，根据方程根的定义得到满足的等式，变形后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， 将代入方程得 ， 整理得 ， ∴． 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为， 满足一元二次方程的所有条件，正确； 选项B：含有两个未知数，不满足定义，错误； 选项C：分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，错误； 选项D：未知数的最高次数为，不满足定义，错误. 2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3．一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的有关定义，解题的关键是掌握相关定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，一般形式为，其中，，分别为二次项，一次项和常数项．先将一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：由可得， 则常数项为，D选项符合题意． 4．已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（     ） A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根： C．该方程一定有一个实数根为； D．该方程一定有一个实数根为． 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程根的定义，结合根的判别式判断各选项，代入的值结合已知条件即可得到结论． 【详解】解：∵ 把代入一元二次方程， 可得左边 ， 又∵ 已知， ∴ 左边=右边，即一定是该方程的一个实数根，因此C正确，D错误； 判断根的个数：由得， 根的判别式， 说明方程可能有两个相等实数根，也可能有两个不相等实数根，因此A、B错误． 综上，正确选项为C． 5．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 6．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，结合“有两个不相等的实数根”可得根的判别式大于0，据此求出a的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，因此方程是一元二次方程， ∴， 对于一元二次方程 ，，代入得： ， 由得 ，解得， 由得， 因此a的取值范围是且， 结合选项，只有B选项的满足该范围. 7．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 8．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 9．已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再结合“有两个不相等的实数根”的条件得到根的判别式大于0，解不等式后得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 解得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上，实数的取值范围是且． 11．一元二次方程的一次项系数是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程一般形式的定义．根据一元二次方程一般形式的定义，一次项系数是方程中一次项的系数，进行作答即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 12．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 13．若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【分析】一元二次方程需要满足两个条件：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出条件即可求解出的值． 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴未知数最高次数满足，且二次项系数， 解得，即或， 由得， ∴． 14．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】(1)证明：由题意得：， 则：， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等的实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 15．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 16．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据方程的解的定义得到，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴． 17．已知：关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）先求出k的值，再解一元二次方程，将两个解分别代入求出m的值，结合一元二次方程的定义取合适的m的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴， 解得； （2）解：∵k是符合条件的最大整数， ∴， 方程变形为， 解得：，， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得； ∵， ∴， ∴m的值为． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由（1）知，则原方程变为， 设这个方程的两个根是，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $