精品解析：山西阳泉市第十五中学校2025-2026学年八年级下学期6月期末测试数学试题

阳泉市第十五中学校2025-2026学年八年级下学期期末测试卷 数学 一、单选题（每题3分） 1. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各曲线中不能表示是的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图如图所示，根据该图判断下列说法正确的是( ) A. 三个班级中，甲班分数的方差最小 B. 三个班级中，乙班分数的上四分位数最大 C. 丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 D. 若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，甲班的分数最高 4. 下列命题错误的是（ ） A. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 B. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形的对角线互相垂直且相等 5. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与轴交于点 B. 随的增大而减小 C. 图象经过第一、二、三象限 D. 当时， 7. 在一次函数的图象上任取不同两点，一定能使，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（ ） A. 小明家和学校距离米 B. 小华乘公共汽车的速度是米/分 C. 小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D. 小明从家到学校的平均速度为米/分 9. 如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 2 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点在轴上，以为边作正方形，点的坐标在一次函数上，一次函数与轴交于点，与轴交于点，将正方形沿轴向右平移个单位长度后，点刚好落在直线上，则a的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分） 11. 代数式有意义，则x取值范围为______． 12. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________． 13. 将一组数据1，2，3，4，5，6分成前3个一组，后3个一组，则这组数据的组内离差平方和是_______. 14. 如图，一次函数与相交于点，则关于的不等式的解集为___________． 15. 如图，在矩形纸片中，，，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，的延长线交于点，交的延长线于点．若，则的长为_____ ． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2） 18. 如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 19. 某学校为了解学生某一周参加家务劳动的情况，从各年级共1500名学生中随机抽取了部分学生，对其参加家务劳动的次数进行了统计，会制出如下的统计图①和图②．根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为_________，图①中m的值为_________； （2）求统计的这组参加家务劳动次数数据的众数、中位数和平均数； （3）根据统计的这组参加家务劳动次数数据，，估计该校学生中这周参加家务劳动次数大于3的学生人数． 20. 在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，在弹性限度范围内，他把得到的弹簧长度（）和所悬挂物体的质量（）的数据用电脑绘制成如图所示的图象． （1）求弹簧长度（）关于所悬挂物体的质量（）的函数表达式． （2）若所挂物体的质量为，求弹簧伸长了多少厘米？ 21. 桶子鸡和花生糕都是开封家喻户晓的传统特色小吃．某学校组织学生前往开封开展研学活动，计划采购这两种特产当作研学纪念品．已知每盒桶子鸡比每盒花生糕贵24元，且购买3盒桶子鸡的总费用和购买7盒花生糕的总费用相同． （1）求桶子鸡和花生糕的单价． （2）学校一共采购两种特产共20盒，且花生糕的购买数量不超过桶子鸡数量的3倍，商家现有优惠活动如下：花生糕全部8折优惠，桶子鸡不参与优惠．请问如何采购，能让总花费最少？请求出最少总花费． 22. 我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过和，则不等式的解集是______． （2）如图2，观察图象，不等式的解集是______． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是______． ②在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 23. 综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． （1）【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． （2）【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． （3）【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阳泉市第十五中学校2025-2026学年八年级下学期期末测试卷 数学 一、单选题（每题3分） 1. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟记最简二次根式的特征．根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式， B、，故不是最简二次根式， C、，故不是最简二次根式， D、 是最简二次根式， 故选：D． 2. 下列各曲线中不能表示是的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义，掌握函数中对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应是关键． 根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，不符合题意； B、对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，不符合题意； C、对于一定范围内x取值时，y可能有2个值与之相对应，所以y不是x的函数，符合题意； D、对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，不符合题意． 故选：C． 3. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图如图所示，根据该图判断下列说法正确的是( ) A. 三个班级中，甲班分数的方差最小 B. 三个班级中，乙班分数的上四分位数最大 C. 丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 D. 若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，甲班的分数最高 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、由箱线图可知，甲班数据的极差最小，且箱体（中间的数据）最窄，数据分布最集中，所以甲班分数的方差最小，故选项A说法正确； B、丙班箱体的上边缘位置最高，即丙班分数的上四分位数最大，故选项B说法错误； C、丙班的中位数在80分以上，即丙班得分高于80分的人数多于得分低于80分的人数，故选项C说法错误； D、若每班有42名学生，，所以第11名（按分数从高到低排列）对应的分数约为上四分位数，因此丙班的上四分位数最大，即丙班的第11名分数最高，故选项D说法错误． 4. 下列命题错误的是（ ） A. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 B. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形的对角线互相垂直且相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的判定，三角形的中位线性质，矩形的性质以及正方形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，原命题正确，故该选项不符合题意； B：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，原命题正确，故该选项不符合题意； C：矩形的对角线不一定互相垂直，只有当矩形长宽相等，即为正方形时，对角线互相垂直，原命题错误，故该选项符合题意； D：正方形的对角线互相垂直且相等，原命题正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、未明确a，b，c的取值情况，不一定是一元二次方程； B、，不是整式方程，不是一元二次方程； C、，是二元一次方程； D、是一元二次方程； 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）． 6. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与轴交于点 B. 随的增大而减小 C. 图象经过第一、二、三象限 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A．当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，原说法错误；故该选项不符合题意； B．∵，∴一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误；故该选项不符合题意； C． ∵，∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；故该选项不符合题意； D．令，解得，则当时，，说法正确；故该选项符合题意； 故选：D． 7. 在一次函数的图象上任取不同两点，一定能使，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由给定不等式判断一次函数的增减性，再利用一次函数的性质得到一次项系数的范围，求解得到的取值. 【详解】解：， 且或且， 即和， ∴随的增大而减小， 对于一次函数，当随增大而减小时，一次项系数小于， ， ． 8. 小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（ ） A. 小明家和学校距离米 B. 小华乘公共汽车的速度是米/分 C. 小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D. 小明从家到学校的平均速度为米/分 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图象可知小明家和学校距离米，故A选项正确，不符合题意， 小华乘公共汽车的速度是（米/分），故B选项正确，不符合题意， ∵小华与小明在从家到学校已走米处相遇，此时，小明在吃早餐， ∴相遇时，小明所用时间为（分钟）， ∵小明出发去学校， ∴小华乘坐公共汽车后与小明相遇，故C选项错误，符合题意， 小明从家到学校的平均速度为（米/分），故D选项正确，不符合题意． 9. 如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由三角形中位线定理得到的长，再利用勾股定理求出的长，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵是矩形的对角线的中点，是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点在轴上，以为边作正方形，点的坐标在一次函数上，一次函数与轴交于点，与轴交于点，将正方形沿轴向右平移个单位长度后，点刚好落在直线上，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标是解题的关键． 由点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k值，进而可得出直线的函数解析式，过作轴于，过作轴于，则及，利用全等三角形的性质，可求出点D的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点D平移后的横坐标，结合平移前点D的横坐标，即可求出结论． 【详解】将代入中 直线得函数解析式为 过作轴于，过作轴于 如图所示：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 点A的坐标为，点B的坐标为， 同理可证 ，， ， 平移后 将代入中 故选：D 二、填空题（每题3分） 11. 代数式有意义，则x取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得． 12. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】已知方程为一元二次方程，且有两个不相等的实数根，根据根的判别式的意义，可得根的判别式大于0，据此建立关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得． 13. 将一组数据1，2，3，4，5，6分成前3个一组，后3个一组，则这组数据的组内离差平方和是_______. 【答案】4 【解析】 【分析】先按题目要求分组，再分别计算每组的平均数与每组的组内离差平方和，将两组的组内离差平方和相加即可得到结果． 【详解】解：由题意得，前个数据为第一组：，，，后个数据为第二组：，，， 计算第一组的平均数：， 第一组的组内离差平方和：； 计算第二组的平均数：， 第二组的组内离差平方和：， 则总的组内离差平方和为． 14. 如图，一次函数与相交于点，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数交点求不等式的解集，根据题意，把点代入一次函数得到，结合图形求不等式解集即可． 【详解】解：一次函数与相交于点， 把点代入一次函数得到，， 解得，， 根据图示得到，当时，的图象在图象的上方，即， ∴解集为， 故答案为： ． 15. 如图，在矩形纸片中，，，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，的延长线交于点，交的延长线于点．若，则的长为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由折叠性质得，，，证明得，，由此得，，则，在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，且，， ∴，，， ∵点在的延长线上， ∴， 设，则， 由折叠性质得：，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的除法和乘法，化简二次根式，再计算加减即可； （2）先用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 18. 如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定定理，先由题干条件证明四边形为平行四边形，再结合即可证明四边形为菱形； （2）设，由四边形为菱形，可得，再在中，用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：， ． 对角线平分， ， ． ， ，且， 四边形为平行四边形，且， 四边形为菱形． 【小问2详解】 设， 由（1）得四边形为菱形， ． ，， ， ，垂足为， 在中，，即， 解得， 的长为． 19. 某学校为了解学生某一周参加家务劳动的情况，从各年级共1500名学生中随机抽取了部分学生，对其参加家务劳动的次数进行了统计，会制出如下的统计图①和图②．根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为_________，图①中m的值为_________； （2）求统计的这组参加家务劳动次数数据的众数、中位数和平均数； （3）根据统计的这组参加家务劳动次数数据，，估计该校学生中这周参加家务劳动次数大于3的学生人数． 【答案】（1）50人；32 （2）4；3；3.2 （3）660人 【解析】 【分析】（1）根据劳动1次的人数及所占百分比可得调查的学生人数，将劳动4次的人数除以总人数可得m的值； （2）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可； （3）将样本中家务劳动3次的学生人数所占比例乘以总人数1500即可． 【小问1详解】 本次接受随机抽样调查的学生人数为：4÷8%=50（人）， 图①中m的值为×100=32， 故答案是：50，32； 【小问2详解】 ∵这组样本数据中，4出现了16次，出现次数最多， ∴这组数据的众数为4； ∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为3，有， ∴这组数据的中位数是3； 由条形统计图可得， ∴这组数据的平均数是3.2． 【小问3详解】 1500×=660（人）． 答：估计该校家务劳动3次的学生人数约为660人． 【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 20. 在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，在弹性限度范围内，他把得到的弹簧长度（）和所悬挂物体的质量（）的数据用电脑绘制成如图所示的图象． （1）求弹簧长度（）关于所悬挂物体的质量（）的函数表达式． （2）若所挂物体的质量为，求弹簧伸长了多少厘米？ 【答案】（1） （2）弹簧伸长了厘米 【解析】 【分析】（1）图像为一次函数，设解析式，从图像读取两个定点坐标，代入列方程组求解、即可得到函数式； （2）先将代入函数求出此时弹簧总长度，弹簧原长为时的长度，总长度减去原长即为伸长量． 【小问1详解】 解：由图像可知，函数为一次函数， 设， 图像过两点、，代入解析式： 将代入：，得， 将、点代入： ， ， 因此弹簧长度关于物体质量的函数表达式为：． 【小问2详解】 解：把代入： ， 弹簧原长：时，， 弹簧伸长长度现长原长： ， 所以弹簧伸长了厘米． 21. 桶子鸡和花生糕都是开封家喻户晓的传统特色小吃．某学校组织学生前往开封开展研学活动，计划采购这两种特产当作研学纪念品．已知每盒桶子鸡比每盒花生糕贵24元，且购买3盒桶子鸡的总费用和购买7盒花生糕的总费用相同． （1）求桶子鸡和花生糕的单价． （2）学校一共采购两种特产共20盒，且花生糕的购买数量不超过桶子鸡数量的3倍，商家现有优惠活动如下：花生糕全部8折优惠，桶子鸡不参与优惠．请问如何采购，能让总花费最少？请求出最少总花费． 【答案】（1）桶子鸡和花生糕的单价分别为42元、18元 （2）应购买桶子鸡5盒、花生糕15盒，才能使总花费最少，最少总花费为426元 【解析】 【分析】（1）设桶子鸡和花生糕的单价分别为x元和y元，根据已知列二元一次方程组求解即可； （2）设购买桶子鸡a盒，则购买花生糕盒，总花费为W元，则，由花生糕的购买数量不超过桶子鸡数量的3倍，可得，解得，再根据一次函数的增减性，即可求得答案． 【小问1详解】 解：设桶子鸡和花生糕的单价分别为x元和y元， 由题意，可得 解得 答：桶子鸡和花生糕的单价分别为42元和18元． 【小问2详解】 解：设购买桶子鸡a盒，则购买花生糕盒，总花费为W元， 由题意，得， 由条件，可知， 解得， ， 随着a的增大而增大， 当时，W取得最小值， 此时，W的最小值为， 答：应购买桶子鸡5盒、花生糕15盒，才能使总花费最少，最少总花费为426元． 22. 我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过和，则不等式的解集是______． （2）如图2，观察图象，不等式的解集是______． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是______． ②在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）①；②存在，点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据图象可直接进行求解； （2）根据图象可直接进行求解； （3）①由题意易得，然后根据图象可求解不等组的解集； ②设点，由①及两点间距离公式可得，然后根据题意可分当时，当时，当时，进而分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数于x轴的交点为， ∴由图象可知：不等式的解集是； 【小问2详解】 解：∵一次函数和一次函数的交点为， ∴由图象可知：不等式的解集是； 【小问3详解】 解：①联立一次函数和得：， 解得：， 把代入得：，解得：， ∴， ∴由图象可知：不等式组的解集是； ②设点，由①可知：， ∴根据两点间距离公式可得， 当为等腰三角形时，则可分： 当时，即， 解得：或， ∴点P的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴点P与点O重合，即； 当时，则， ∴根据两点间距离公式可得：， 解得：， ∴； 综上所述：当为等腰三角形时，点P的坐标为或或或． 23. 综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． （1）【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． （2）【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． （3）【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 【答案】（1），见解析 （2）是等边三角形，见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质结合正方形的性质证明是等边三角形，再根据 即可得解． （2）连接，由折叠的性质结合正方形的性质证明可求，再证明，可得，进而得证； （3）分两种情况讨论，或2，再根据勾股定理设未知数列方程求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下， 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， 由（1）得，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形； 【小问3详解】 解：点H是边的三等分点， 或2； 由（2）知，， ， 由折叠可知， 当时，则， 设，则， ， 在中，， ， 解得 ， ， 当时，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $