精品解析：山西省阳泉市盂县多校联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年度第二学期期末学情分析试题（卷） 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：人教版2024八年级下册第十六章﹣第二十章． 5．考试时间：120分钟．试卷满分：120分． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列根式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为．下列说法正确的是（ ）． A. 是常量，r和c是变量 B. r是常量，c和是变量 C. r，c和都常量 D. r，c和都是变量 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. 5 B. C. D. 3 5. 方差是刻画一组数据波动大小的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，xn，可用如下算式计算方差：s2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+…+（xn﹣3）2]，其中“3”是这组数据的（　　） A. 最小值 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 6. 四边形中，，，则下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 对角线互相平分 7. 如图，在中，，，，，交于点O，则的长是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 无法求出 8. 一次函数（k、b为常数）的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点 B. 它的图象与y轴的交点坐标为 C. 当时， D. y的值随x值的增大而增大 10. 如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数自变量x的取值范围是___． 12. 直线y=﹣2x+b过点(3，1)，将它向下平移4个单位后所得直线的解析式是_____． 13. 如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件：______，使四边形成为菱形． 14. 如图，点在第一象限，且，点的坐标为，当的面积大于24时，点的横坐标的取值范围是______． 15. 如图，在矩形中，点E，F分别时边的中点，连接，点G，H分别时的中点，这接，若，则的长度为_______． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16 计算： 17. 已知一次函数的图象过点与，求这个一次函数的解析式． 18. 如图，直线与相交于点P，这两条直线与x轴分别交于点A，B． （1）直接写出_______；若的面积为9，则_______； （2）依据图象直接写出，当时，x的取值范围是_______． 19. 【问题情境】我市将体育中考分值提高到50分，并将足球运球和篮球运球作为“二选一”选考项目．为了帮助某同学精准选择项目，组织对他各进行了十次测试． 【收集数据】（测试成绩均按其评分标准转化为10分制）记录如下： 记录序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 足球成绩 7 6 8 7 6 7 9 8 7 6 篮球成绩 6 5 6 9 6 10 8 6 8 7 分析数据】对数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息、 折线统计图 统计量 平均数 中位数 众数 足球成绩 a 7 7 篮球成绩 7.1 b c 【解决问题】根据以上信息回答下列问题： （1）表格中：__________，__________，__________； （2）根据折线统计图可知：__________（填“”“”或“”），说明什么？ （3）请结合篮球成绩分别解释中位数和众数的意义． 20. 如图，四边形的对角线，交于点O，已知O是的中点，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论． 21. 阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则=这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． （1）计算： _______，_______； （2）m是正整数，，且，求m． 22. 夏天是小龙虾大量上市的季节，因其肉质鲜美，烹饪方式多样而受到消费者的喜爱．某水产经销商计划购进甲乙两种规格的小龙虾进行销售，若从批发商进货甲种小龙虾和乙种小龙虾，需支付235元；若进货甲种小龙虾和乙种小龙虾，需支付375元． （1）求甲，乙两种规格的小龙虾的进价； （2）根据前期的市场调查，为了应对近期旺盛的购买需求，乙种小龙虾的销售数量与销售额y（元）的关系如图所示，请写出y与x之间的函数关系式并写出乙种小龙虾的售价． （3）在（2）的结论下，该水产经销商计划每天进货的小龙虾，其中甲种小龙虾不少于乙种小龙虾的2倍，甲种小龙虾售价为44元，求出该水产商每天的最大利润． 23. 如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当 时，四边形是平行四边形； （2）在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末学情分析试题（卷） 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：人教版2024八年级下册第十六章﹣第二十章． 5．考试时间：120分钟．试卷满分：120分． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列根式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断．掌握最简二次根式满足的两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，根据最简二次根式的定义求解即可． 【详解】解：A.是最简二次根式，故该选项不符合题意； B. ，不是最简二次根式，故该选项符合题意； C. 最简二次根式，，故该选项不符合题意； D. 是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B. 2. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为．下列说法正确的是（ ）． A. 是常量，r和c是变量 B. r是常量，c和是变量 C. r，c和都是常量 D. r，c和都是变量 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义， 根据函数的定义：在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，来解答． 【详解】解：根据题意， ∴是常量，r和C是变量， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的加减乘除法法则是解题的关键． 利用二次根式的运算法则逐项计算并判断即可． 【详解】解：A． 2与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意． B． ，原计算错误，故此选项不符合题意． C． ，计算正确，故此选项符合题意． D． ，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. 5 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两点间距离公式，掌握已知，则是解题的关键． 根据两点间距离公式直接求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离公式为， 将点代入公式，得：， 故选：B． 5. 方差是刻画一组数据波动大小的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，xn，可用如下算式计算方差：s2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+…+（xn﹣3）2]，其中“3”是这组数据的（　　） A. 最小值 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差公式的定义即可求解． 【详解】方差中“3”是这组数据的平均数． 故选：B． 【点睛】此题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质． 6. 四边形中，，，则下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 对角线互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握一行四边形的性质是解答本题的关键． 由题中结论可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，对角线互相平分 ∴B、C、D均正确， 而A选项，但并不一定，故该选项错误，符合题意， 故选：A． 7. 如图，在中，，，，，交于点O，则的长是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 无法求出 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键； 根据平行四边形的性质得，，再根据中勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】四边形是平行四边形，， ，， ， ， 在中，，， ， ． 故选：A． 8. 一次函数（k、b为常数）的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．由图象可知的解为，所以的解集可观察出来． 【详解】解：从图象得知一次函数（k，b是常数，）的图象经过点，并且函数值y随x的增大而减小， 因而则不等式的解集是． 故选：C． 9. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点 B. 它的图象与y轴的交点坐标为 C. 当时， D. y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数图象上点的坐标特征和增减性是解题关键．根据时的函数值，可判断A 选项；根据时的函数值，可判断B 选项；根据一次函数与轴的交点和增减性，可判断C选项；根据值可判断D选项． 【详解】解：A、当时，，即它的图象必经过点，原结论错误，不符合题意； B、当时，，即它的图象与y轴的交点坐标为，原结论错误，不符合题意； C、当时，，且y的值随x值的增大而减小，就当时，，原结论正确，符合题意； D、，即y的值随x值的增大而减小，原结论错误，不符合题意； 故选：C 10. 如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变． 【详解】根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，， 此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数y不变； 当铁块逐渐露出水面的过程中，， 此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数y逐渐增大； 当铁块完全露出水面之后，， 此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数y不变． 综上，弹簧测力计的读数y先不变，再逐渐增大，最后不变． 观察四个选项可知，只有选项A符合题意． 故选：A 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数的自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：在实数范围内有意义， 则；解得 故答案为 12. 直线y=﹣2x+b过点(3，1)，将它向下平移4个单位后所得直线的解析式是_____． 【答案】y=﹣2x+3 【解析】 【分析】将(3，1)代入y=﹣2x+b，即可求得b，然后根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将(3，1)代入y=﹣2x+b， 得：1=﹣6+b， 解得：b=7， ∴y=﹣2x+7， 将直线y=﹣2x+7向下平移4个单位后所得直线的解析式是y=﹣2x+7﹣4，即y=﹣2x+3． 故答案：y=﹣2x+3． 【点睛】本题主要考查利用待定系数法确定函数关系式，一次函数图象的平移，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 13. 如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件：______，使四边形成为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，先证明四边形是平行四边形，根据，可得四边形成为菱形． 【详解】解：添加条件 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 在与中， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 故答案为：（或或等）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 14. 如图，点在第一象限，且，点的坐标为，当的面积大于24时，点的横坐标的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的面积，不等式的应用，坐标与图形，熟知图形面积的关系是解答本题的关键．根据三角形的面积公式即可得出关于x的关系式，把 的面积代入得出关于x的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵A和P点的坐标分别是、， ∴． ∵， ∴． ∴ 当时， 解得：， ∵点在第一象限， ∴ ∴点的横坐标的取值范围是． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，点E，F分别时边的中点，连接，点G，H分别时的中点，这接，若，则的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，连接并延长交于P，连接，根据矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于P，连接， 四边形是矩形， ， 分别是边的中点，， ， ， ， 在与中 ， ， ， ， ， 点G是的中点， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先计算二次根式的乘法，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 17. 已知一次函数的图象过点与，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，设这个一次函数的解析式为，利用待定系数法进行求解即可． 【详解】解：设这个一次函数的解析式为， 因为的图象过点与，所以， 解得， 这个一次函数的解析式为． 18. 如图，直线与相交于点P，这两条直线与x轴分别交于点A，B． （1）直接写出_______；若的面积为9，则_______； （2）依据图象直接写出，当时，x的取值范围是_______． 【答案】（1）3，1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、坐标与图形性质、利用函数图象解不等式． （1）将点代入，即可求出m的值，求出点A的横坐标为4，点B横坐标为：，得出，由即可得出k的值； （2）结合函数图象确定不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：将点坐标代入， ， ∵，当时， ∴， ∴点A的横坐标为4， ∵，当时，， ∴， ∴点B横坐标为：， ∴， ∵点P的纵坐标为3， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 故答案为：3，1； 【小问2详解】 由图1可知：时，， 故答案为：． 19. 【问题情境】我市将体育中考分值提高到50分，并将足球运球和篮球运球作为“二选一”选考项目．为了帮助某同学精准选择项目，组织对他各进行了十次测试． 【收集数据】（测试成绩均按其评分标准转化为10分制）记录如下： 记录序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 足球成绩 7 6 8 7 6 7 9 8 7 6 篮球成绩 6 5 6 9 6 10 8 6 8 7 【分析数据】对数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息、 折线统计图 统计量 平均数 中位数 众数 足球成绩 a 7 7 篮球成绩 7.1 b c 【解决问题】根据以上信息回答下列问题： （1）表格中：__________，__________，__________； （2）根据折线统计图可知：__________（填“”“”或“”），说明什么？ （3）请结合篮球成绩分别解释中位数和众数的意义． 【答案】（1）7.1，6.5，6 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解； （2）根据数据的波动越大，方差越大即可求解； （3）根据中位数、众数的意义求解即可． 【小问1详解】 解：该同学的足球成绩平均数， 将其篮球成绩从新排序为：5，6，6，6，6，7，8，8，9，10， 则其中位数，众数， 故答案为：7.1，6.5，6； 【小问2详解】 根据折线统计图可知：篮球成绩的波动大于足球成绩， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 中位数表示该同学篮球成绩，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩为6.5； 众数表示该同学篮球成绩，在分数为6的次数最多． 20. 如图，四边形的对角线，交于点O，已知O是的中点，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论． 【答案】（1）见详解 （2）四边形为矩形 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据平行线的性质推出，，求出，证，推出，根据平行四边形的判定推出即可； （2）根据全等得出，求出，再根据平行四边形和矩形的判定推出即可． 【小问1详解】 证明：， ，， ∵O为的中点， 即，， ， 即， 在和中 （）， ， ， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：若，则四边形是矩形， 证明：， ， ， ∴四边形是平行四边形． ， ， 即， ∴四边形为矩形． 21. 阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则=这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． （1）计算： _______，_______； （2）m是正整数，，且，求m． 【答案】（1）；10 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算和整体思想，掌握二次根式的混合运算，特别是分母有理化的方法是解题的关键． （1）采用分母有理化，结合二次根式的混合运算的法则，计算即可； （2）先利用分母有理化，结合二次根式的混合运算化简a和b，再利用完全平方公式变形求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， ； ， =10． 故答案：；10； 【小问2详解】 ， ， ， 即 ， 又m是正整数，， ∴， ∴， ∴． 22. 夏天是小龙虾大量上市的季节，因其肉质鲜美，烹饪方式多样而受到消费者的喜爱．某水产经销商计划购进甲乙两种规格的小龙虾进行销售，若从批发商进货甲种小龙虾和乙种小龙虾，需支付235元；若进货甲种小龙虾和乙种小龙虾，需支付375元． （1）求甲，乙两种规格的小龙虾的进价； （2）根据前期的市场调查，为了应对近期旺盛的购买需求，乙种小龙虾的销售数量与销售额y（元）的关系如图所示，请写出y与x之间的函数关系式并写出乙种小龙虾的售价． （3）在（2）的结论下，该水产经销商计划每天进货的小龙虾，其中甲种小龙虾不少于乙种小龙虾的2倍，甲种小龙虾售价为44元，求出该水产商每天的最大利润． 【答案】（1）甲，乙两种规格的小龙虾的进价分别为25元和20元 （2）；乙种小龙虾购买在以内的售价40元，超过的部分为36元 （3）该水产商每天的最大利润元． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用： （1）设甲种小龙虾的进价是m元，乙种小龙虾的进价是n元，根据“进货甲种小龙虾和乙种小龙虾，需支付235元；进货甲种小龙虾和乙种小龙虾，需支付375元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据待定系数法分两种情况列出函数关系式； （3）设每天购进甲种小龙虾，则购进乙种小龙虾，根据题意得，解得，设水产商每天的利润为元，分两种情况，得到W关于t的函数关系式，据此求出函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设甲种规格的小龙虾的进价为元，乙种规格的小龙虾的进价为元， 则由题意得：， 解得：． 答：甲，乙两种规格的小龙虾的进价分别为25元和20元． 【小问2详解】 解：由题意列得 ①当时，设过， ，解得：， 当时，； ②当时，设， 由于直线过， ， 解得：， ∴当时，； 综上所述：； 乙种小龙虾购买在80kg以内的售价40元，超过80kg的部分为36元． 【小问3详解】 解：设每天购进甲种小龙虾，则购进乙种小龙虾， 根据题意得，解得， 则， 设水产商每天的利润为元， 当时，即， ， 随的增大而减小， 当时，取到最大值，最大值为； 当时，即， ， 随的增大而增大， ∴此时无最大值． 答：该水产商每天的最大利润元． 23. 如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当 时，四边形是平行四边形； （2）在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 【答案】（1） （2）存在，，或， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质，即可解答； （2）分点P在点Q的左侧和右侧两种讨论，利用菱形的判定与性质及勾股定理即可求得答案； （3）连结，过点O作直线的对称点E，连结，先证明四边形是平行四边形，得到，，然后证明，再根据两点之间线段最短，可得到点P在上时，取最小值，求出此最小值，由此即可求得答案． 【小问1详解】 解：，点D是的中点， ，， 四边形矩形， ， 由已知，，则， 若四边形是平行四边形， 则， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：存在；理由如下： 当点P在点Q的左侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， Q点的坐标为， 当点P在点Q的右侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 中，， ， ，， ， 综上所述，在线段上存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形，且，或，． 【小问3详解】 解：连结，过点O作直线的对称点E，连结，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 点O和点E关于直线的对称， 垂直平分， ， ， 当点P在上时，取最小值，此时， 即当点P在上时，四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，线段和的最值问题等知识，平移线段是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $