2026--2027学年北师大版七年级数学下册期末考试卷

**基本信息** 立足北师大版七年级下册核心知识，通过生活情境（如跷跷板游戏、垃圾分类调查）与分层设计，融合运算能力、几何推理与数学建模考查，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|整式运算（第1题）、三角形高（第2题）、垂直平分线性质（第4题）|结合几何直观（第6题角平分仪SSS全等）与实际应用（第5题跷跷板中点问题）| |填空题|8题|幂的运算（第11题）、函数关系（第13题）、折叠性质（第17题）|设置动态问题（第16题木构件拼接）与规律探究（第15题多项式拼图）| |解答题|11题|全等证明（第21题）、统计分析（第23题）、动点综合（第27题）|设计分层任务，如29题从特殊到一般探究几何模型，28题通过数形结合深化公式理解|

期末考试2026学年北师大版七年级数学下册 一．选择题（共10小题） 1．下列运算正确的是（　　） A．a•（b2）3＝a7 B．（a﹣b）（b﹣a）＝b2﹣a2 C．（xy）2＝x2y2 D．2x3+3x2＝5x3 2．如图，四个图形中，线段BD是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（x+1）（x+2） B．（x﹣1）（x﹣1） C．（x+1）（﹣x+1） D．（x+1）（x﹣2） 4．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个体育公园，要使体育公园到三个村庄的距离相等，那么这个体育公园应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 5．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是60cm，当小明从水平位置CD上升15cm时，这时小红离地面的高度是（　　） A．35cm B．40cm C．45cm D．50cm 6．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 7．在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形如图甲，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形如图乙，根据图甲、图乙阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式是（　　） A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 8．已知a＝213，b＝46，c＝322，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 9．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MB平分∠ABO．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（共8小题） 11．计算（﹣0.25）2026×（﹣4）2025的结果是　 　 ． 12．一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外其他都相同．小红通过多次重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定于0.3，则布袋中白球可能有 　 　 个． 13．一辆汽车加满油后，油箱中有汽油55升，汽车行驶时正常的耗油量为每千米0.1升，则加满油后，油箱中剩余的汽油量y（升）关于已行驶的里程x（km）的函数解析式为 　 　 ． 14．如果关于x的多项式x2﹣mx+25是一个完全平方式，那么m的值为　 　 ． 15．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+3b的长方形，需要B类卡片　 　 张． 16．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为　 　 ． 17．如图，在矩形纸片ABCD中，点G，H分别在边AD，BC上，将矩形纸片ABCD沿GH折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．若∠AGF＝50°，则∠EHG的度数是 　 　 ． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝84°，点M为AC上一动点，在BC上取点N，使CN＝AM，连接AN，BM，当AN+BM的值最小时，∠ANC的度数为 　 　 ． 三．解答题（共11小题） 19．计算： （1）； （2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y． 20．计算与化简： （1）（x+2y）2﹣（x﹣2y）（x+4y）； （2）； （3）． 21．如图，教学楼与操场上的旗杆相距19m，小林同学从教学楼B点沿BD走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得CP和AP的夹角为90°，且CP＝AP，已知∠ABD＝∠CDB＝90°，旗杆CD的高为7m，请你求出教学楼AB的高度． 22．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F． （1）求证：EF＝BE+FC； （2）若△ABC的周长比△AEF的周长大10，试求出BC的长度． 23．为了解居民对垃圾分类的知晓程度（A．“非常了解”；B．“了解”；C．“基本了解”；D．“不太了解“），佳佳随机调查了若干人根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）随机调查了 　 　 人，扇形统计图表示“A”的扇形圆心角度数为 　 　 度； （2）补全条形统计图； （3）估计在10000名市民中基本了解垃圾分类的人数． （4）若要在被调查的“非常了解”、“了解”、“基本了解”的居民中抽取一名参与居民参与垃圾分类知识大赛，求抽到“非常了解”的居民概率． 24．张叔叔驾驶汽车从A地开往B地送东西，中途到休息区休息了一段时间，又继续行驶到B地，东西送到后立即返回A地，已知A、B两地在一条笔直的公路上，汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的关系如图所示（全程），请根据图象回答下列问题： （1）张叔叔在休息区停留了　 　 h，汽车全程一共行驶了　 　 km； （2）张叔叔从B地返回到A地用了多长时间？ （3）休息区距离B地多少千米？ （4）求张叔叔驾驶汽车从A地开往B地的过程中，到达休息区之前的行驶速度． 25．已知△ABC中，∠B＝70°，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，求∠1的度数． 26．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论． （1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2的关系为　 　 ． （2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2有何关系？说明理由； （3）由（1）（2）可直接得出的结论是：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角　 　 ； （4）若两个角的两边分别平行，其中一个角用α表示，另一个角比α的2倍少60°，则α的度数为　 　 ． 27．如图，已知△ABC中，AC＝CB＝20cm，AB＝16cm，点D为AC的中点． （1）如果点P在线段AB以6cm/s的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段BC上由点B向C点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△APD与△BQP是否全等？说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△APD与△BQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 28．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”、“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合． 【知识生成】 用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，由大正方形的面积可得等量关系式为（a+b）2＝a2+2ab+b2；如图2是用长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按照图3拼成一个正方形． （1）观察图2和图3，可得（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式：　 　 ； 【知识迁移】 （2）已知a+b＝7，，求（a﹣b）2的值； （3）若a+b＝25，a2+b2＝337，求ab的值； 【拓展应用】 （4）若x满足（2025﹣x）2+（x﹣2015）2＝72，则（2025﹣x）（x﹣2015）的值为　 　 ． 29．（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状． 期末考试2026学年北师大版七年级数学下册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列运算正确的是（　　） A．a•（b2）3＝a7 B．（a﹣b）（b﹣a）＝b2﹣a2 C．（xy）2＝x2y2 D．2x3+3x2＝5x3 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：a•（b2）3＝a•（b6）＝ab6，故选项A错误，不符合题意； （a﹣b）（b﹣a）＝﹣b2+2ab﹣a2，故选项B错误，不符合题意； （xy）2＝x2y2，故选项C正确，符合题意； 2x3+3x2不能合并，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2．如图，四个图形中，线段BD是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的定义判断． 【解答】解：A、图形中，线段BD不是△ABC的高，不符合题意； B、图形中，线段BD不是△ABC的高，不符合题意； C、图形中，线段BD不是△ABC的高，不符合题意； D、图形中，线段BD是△ABC的高，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 3．下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（x+1）（x+2） B．（x﹣1）（x﹣1） C．（x+1）（﹣x+1） D．（x+1）（x﹣2） 【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2逐项判断即可． 【解答】解：（x+1）（x+2），（x﹣1）（x﹣1），（x+1）（x﹣2）不能用平方差公式计算； （x+1）（﹣x+1）可以用平方差公式计算； 故选：C． 【点评】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 4．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个体育公园，要使体育公园到三个村庄的距离相等，那么这个体育公园应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可． 【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键． 5．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是60cm，当小明从水平位置CD上升15cm时，这时小红离地面的高度是（　　） A．35cm B．40cm C．45cm D．50cm 【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：在△OCF与△ODG中， ， ∴△OCF≌△ODG（AAS）， ∴CF＝DG＝15（cm）， ∴小明离地面的高度是60﹣15＝45（cm）， 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 6．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB＝AD，BC＝DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE． 【解答】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC， 即∠QAE＝∠PAE． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意． 7．在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形如图甲，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形如图乙，根据图甲、图乙阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式是（　　） A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【分析】用代数式表示图甲、图乙中阴影部分的面积即可． 【解答】解：图甲中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图乙是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：D． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 8．已知a＝213，b＝46，c＝322，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 【分析】根据底数相同，指数越大，值越大即可求解． 【解答】解：根据题意可知，a＝213，b＝46＝（22）6＝212，c＝322＝（25）2＝210， ∵213＞212＞210， ∴a＞b＞c． 故选：C． 【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，有理数大小比较，掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是关键． 9．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查动点函数图象的问题． 【解答】解：由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除B，C． 随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分的面积开始不再变化．应排除D． 故选：A． 【点评】本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况采用排除法求解． 10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MB平分∠ABO．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确； 由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，则∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；没有条件可以证明MB平分∠ABO，故④错误；即可得出结论． 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，∠OAC＝∠OBD， 故①正确，符合题意； 由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝40°， 故②正确，符合题意； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示， 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠BMC， ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB， ∴OA＝OC， 与OA＞OC矛盾， ∴③错误； ∵没有条件可以证明MB平分∠ABO， ∴④错误； 正确的个数有2个； 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 11．计算（﹣0.25）2026×（﹣4）2025的结果是　﹣0.25　 ． 【分析】逆用积的乘方法则计算即可． 【解答】解：（﹣0.25）2026×（﹣4）2025 ＝（﹣0.25）2025×（﹣4）2025×（﹣0.25） ＝[（﹣0.25）×（﹣4）]2025×（﹣0.25） ＝12025×（﹣0.25） ＝1×（﹣0.25） ＝﹣0.25， 故答案为：﹣0.25． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外其他都相同．小红通过多次重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定于0.3，则布袋中白球可能有 　35　 个． 【分析】根据用频率估计概率的方法进行解题即可． 【解答】解：由题可知，布袋中装有黄、白两种颜色，换到黄球的预率稳定宁0.3， 则换到白球的预率稳定于1﹣0.3＝0.7， 则布袋中白球的可能有50×0.7＝35（个）． 故答案为：35． 【点评】本题考查概率的意义，掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 13．一辆汽车加满油后，油箱中有汽油55升，汽车行驶时正常的耗油量为每千米0.1升，则加满油后，油箱中剩余的汽油量y（升）关于已行驶的里程x（km）的函数解析式为 y＝55﹣0.1x ． 【分析】根据汽车每千米的耗油量可以得到行驶x千米用油的数量，用油箱中的总油量减去用掉的汽油就是剩余的油量． 【解答】解：∵汽车耗油量为每千米0.1升， ∴行驶xkm耗油0.1x升， ∴加满油后，油箱中剩余的汽油量y＝55﹣0.1x， 故答案为：y＝55﹣0.1x． 【点评】本题考查函数关系式，根据题意得到变量之间的数量关系是解题的关键． 14．如果关于x的多项式x2﹣mx+25是一个完全平方式，那么m的值为　±10　 ． 【分析】根据完全平方公式的特点，可得：x2±2x×5+52，由题意，即可得出﹣mx＝±10x，进而得出答案． 【解答】解：∵关于x的多项式x2﹣mx+25是一个完全平方式， ∴x2﹣mx+25＝x2±2x×5+52， ∴﹣mx＝±10x， ∴m＝±10． 故答案为：±10． 【点评】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 15．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+3b的长方形，需要B类卡片　7　 张． 【分析】求出拼成的长方形的面积，结合每张卡片的面积即可． 【解答】解：拼成的长方形的面积为： （2a+b）（a+3b） ＝2a2+6ab+ab+3b2 ＝2a2+7ab+3b2， ∴需要B类卡片7张． 故答案为：7． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握该知识点是关键． 16．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为y＝5x+1　 ． 【分析】根据一个木构件的长度为6，两个木构件上的凹凸部分紧密连接，每增加一个木构件，长度增加5，即可解答． 【解答】解：由题意可知，x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度y＝（6﹣1）x+1＝5x+1，即y关于x的关系式可以表示为：y＝5x+1． 故答案为：y＝5x+1． 【点评】本题考查了函数关系式，理解题意，得出正确的关系是解题的关键． 17．如图，在矩形纸片ABCD中，点G，H分别在边AD，BC上，将矩形纸片ABCD沿GH折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．若∠AGF＝50°，则∠EHG的度数是 　115°　 ． 【分析】根据矩形的性质及平行线的性质求出∠DGH+∠CHG＝180°，根据折叠的性质得出∠DGH＝∠FGH，∠EHG＝∠CHG，根据平角的定义求出∠DGH＝65°，据此求解即可． 【解答】解：在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DGH+∠CHG＝180°， 根据折叠的性质得，∠DGH＝∠FGH，∠EHG＝∠CHG， ∵∠AGF+∠FGH+∠DGH＝180°，∠AGF＝50°， ∴∠DGH（180°﹣50°）＝65°， ∴∠EHG＝∠CHG＝115°， 故答案为：115°． 【点评】此题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟记折叠的性质是解题的关键． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝84°，点M为AC上一动点，在BC上取点N，使CN＝AM，连接AN，BM，当AN+BM的值最小时，∠ANC的度数为 　108°　 ． 【分析】作∠BCD＝∠BAC，并使CD＝AB，连接DN，△DCN≌△BAM，从而DN＝BM，于是AN+BM＝AN+DN≥AD，于是当点A、N、D共线时，AN+BM最小，△ABC，△ACD均为等腰三角形，进一步得出结果． 【解答】解：作∠BCD＝∠BAC，并使CD＝AB，连接DN，如图： 在△ABM和△CDN中， ， ∴△ABM≌△CDN（SAS）， ∴BM＝DN， ∴AN+BM＝AN+DN≥AD， ∴当点A、N、D共线时，AN+BM最小； ∵AB＝AC＝CD，∠BCD＝∠BAC＝84°， ∴∠ACB48°， ∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝132°， ∠CAD24°， ∴∠AN′C＝180°﹣∠CAD﹣∠ACB＝108°． 故答案为：108°． 【点评】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 三．解答题（共11小题） 19．计算： （1）； （2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y． 【分析】（1）原式利用零指数幂、负整式指数幂法则，以及乘方运算法则计算即可求出值； （2）原式括号中利用单项式乘以多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷x2y ＝（2x3y2﹣2x2y）÷x2y ＝2x3y2÷x2y﹣2x2y÷x2y ＝2xy﹣2． 【点评】此题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，负整数指数幂．熟练掌握以上知识点是关键． 20．计算与化简： （1）（x+2y）2﹣（x﹣2y）（x+4y）； （2）； （3）． 【分析】（1）先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可； （2）先计算积的乘方，幂的乘方，再计算单项式的乘法与除法运算，然后合并同类项即可； （3）先计算零次幂，负整数指数幂，积的乘方，再算加法即可． 【解答】解：（1）原式＝x2+4xy+4y2﹣x2﹣4xy+2xy+8y2 ＝2xy+12y2； （2）原式 ＝﹣m5n4； （3）原式 ＝1﹣（﹣2）+12025 ＝1+2+1 ＝4． 【点评】本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 21．如图，教学楼与操场上的旗杆相距19m，小林同学从教学楼B点沿BD走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得CP和AP的夹角为90°，且CP＝AP，已知∠ABD＝∠CDB＝90°，旗杆CD的高为7m，请你求出教学楼AB的高度． 【分析】证明△APB≌△PCD（AAS），得B＝PD，PB＝CD＝7m，再求出PD＝12m，即可得出结论． 【解答】解：∵CP和AP的夹角为90°，即∠APC＝90°， ∴∠CPD+∠APB＝90°， ∵∠ABP＝90°， ∴∠APB+∠PAB＝90°， ∴∠CPD＝∠PAB， 在△APB和△PCD中， ， ∴△APB≌△PCD（AAS）， ∴AB＝PD，PB＝CD＝7m， ∵PB+PD＝19m， ∴PD＝19﹣7＝12（m）， ∴AB＝PD＝12m， 答：教学楼AB的高度为12m． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F． （1）求证：EF＝BE+FC； （2）若△ABC的周长比△AEF的周长大10，试求出BC的长度． 【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠EBO＝∠OBC，∠OCB＝∠FCO，由平行线的性质，可得∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，由等腰三角形的判定，可得BE＝OE，OF＝FC，即可得结论； （2）先求出△AEF的周长＝AB+AC，即可求BC的长． 【解答】解：（1）∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O， ∴∠EBO＝∠OBC，∠OCB＝∠FCO， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO， ∴BE＝OE，OF＝FC； ∴EF＝BE+FC； （2）由（1）证得BE＝OE，OF＝CF， ∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+EO+OF+AF＝AE+BE+FC+AF＝AB+AC， ∵△ABC的周长比△AEF的周长大10， ∴BC＝AB+AC+BC﹣AB+AC＝10． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质是解题关键，又利用了角平分线的性质，平行线的性质． 23．为了解居民对垃圾分类的知晓程度（A．“非常了解”；B．“了解”；C．“基本了解”；D．“不太了解“），佳佳随机调查了若干人根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）随机调查了 　500　 人，扇形统计图表示“A”的扇形圆心角度数为 　108　 度； （2）补全条形统计图； （3）估计在10000名市民中基本了解垃圾分类的人数． （4）若要在被调查的“非常了解”、“了解”、“基本了解”的居民中抽取一名参与居民参与垃圾分类知识大赛，求抽到“非常了解”的居民概率． 【分析】（1）从两个统计图中可知“A非常了解”的人数为150人，占调查人数的30%，可求出调查人数；“A非常了解”所占圆心角的度数为360°的30%； （2）求出“B了解”的人数，即可补全条形统计图； （3）样本估计总体，样本中“C基本了解”占调查人数的，因此估计10000人的是“C基本了解”； （4）得到被调查的“非常了解”、“了解”、“基本了解”的居民人数，被调查的“非常了解”的居民人数，由简单概率公式代值求解即可得到答案． 【解答】解：（1）由条形统计图150÷30%＝500人，360°×30%＝108°， 故答案为：500，108； （2）500×40%＝200人，补全条形统计图如图所示： （3）（人）， 答：在10000名市民中基本了解垃圾分类的人数为2000人； （4）被调查的“非常了解”、“了解”、“基本了解”的居民有150+200+100＝450人，被调查的“非常了解”的居民有150人， ∴抽到“非常了解”的居民概率． 【点评】本题考查概率统计综合，涉及条形统计图与扇形统计图信息关联、求扇形统计图某项目圆心角、补全条形统计图、由样本估计总体、一步概率问题及简单概率公式等知识，理解统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系式解决问题的关键． 24．张叔叔驾驶汽车从A地开往B地送东西，中途到休息区休息了一段时间，又继续行驶到B地，东西送到后立即返回A地，已知A、B两地在一条笔直的公路上，汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的关系如图所示（全程），请根据图象回答下列问题： （1）张叔叔在休息区停留了　0.5　 h，汽车全程一共行驶了　240　 km； （2）张叔叔从B地返回到A地用了多长时间？ （3）休息区距离B地多少千米？ （4）求张叔叔驾驶汽车从A地开往B地的过程中，到达休息区之前的行驶速度． 【分析】（1）观察图象，确定汽车在行驶中停留的时间，确定总路程； （2）根据图象即可得出结论； （3）根据图象即可得出结论； （4）根据图象即可得出结论． 【解答】（2）根据题意得：4.5﹣3＝1.5， 答：张叔叔从B地返回到A地用了1.5小时． （3）根据题意得：120﹣80＝40， 答：休息区距离B地40千米． （4）根据题意得：80÷1.5， 答：张叔叔驾驶汽车从A地开往B地的过程中，到达休息区之前的行驶速度为千米/小时． 【点评】本题考查函数图象的应用，熟练掌握从图象中获取正确信息是关键． 25．已知△ABC中，∠B＝70°，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，求∠1的度数． 【分析】利用角平分线的性质可得∠3＝∠DCB，等量代换得∠2＝∠DCB，利用内错角相等，两直线平行判定DE∥BC，利用两直线平行，同位角相等即可求此角． 【解答】解：CD平分∠ACB， ∴∠3＝∠DCB（角平分线定义）． ∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠2＝∠DCB（等量代换）． ∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠1＝∠B＝70°（两直线平行，同位角相等）． 【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，比较简单． 26．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论． （1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2的关系为　∠1＝∠2　 ． （2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2有何关系？说明理由； （3）由（1）（2）可直接得出的结论是：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角　相等或互补　 ； （4）若两个角的两边分别平行，其中一个角用α表示，另一个角比α的2倍少60°，则α的度数为　α为80°或60°　 ． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等的性质，分别得∠1＝∠3、∠2＝∠3，再通过等量代换计算，即可得到答案； （2）根据两直线平行，内错角相等和同旁内角互补的性质，分别得∠2＝∠3、∠1+∠3＝180°，从而完成求解； （3）根据（1）和（2）的结论分析，即可得到答案； （4）结合（3）的结论列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【解答】解：（1）如图1， ∵AB∥EF， ∴∠1＝∠3， ∵BC∥DE， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2； 故答案为：∠1＝∠2； （2）如图2， ∵AB∥EF， ∴∠2＝∠3， ∵BC∥DE， ∴∠1+∠3＝180°， ∴∠1+∠2＝180°． （3）根据（1）和（2）的结论，得：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； 故答案为：相等或互补； （4）设一个角的度数是α，则另一个角的度数是2α﹣60°． 根据题意，得α+2α﹣60＝180或α＝2α﹣60， 解得α＝80或α＝60． ∴α为80°或60°． 故答案为：α为80°或60°． 【点评】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平行线的性质． 27．如图，已知△ABC中，AC＝CB＝20cm，AB＝16cm，点D为AC的中点． （1）如果点P在线段AB以6cm/s的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段BC上由点B向C点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△APD与△BQP是否全等？说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△APD与△BQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 【分析】（1）①先求得AP＝BQ＝6，PB＝AD＝10，然后根据等边对等角求得∠A＝∠B，最后根据SAS即可证明； ②因为VP≠VQ，所以AP≠BQ，又∠A＝∠B，要使△APD与△BQP全等，只能AP＝BP＝8，根据全等得出BQ＝AD＝10，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和BQ的长即可求得Q的运动速度； （2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AC+BC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得． 【解答】解：（1）①因为t＝1（秒）， 所以AP＝BQ＝6（厘米）， ∵AC＝20，D为AC中点， ∴AD＝10（厘米）， 又∵PB＝AB﹣AP＝16﹣6＝10（厘米）， ∴PB＝AD， ∵CA＝BC， ∴∠A＝∠B， 在△APD与△BQP中， ， ∴△APD≌△BQP（SAS）， ②因为VP≠VQ， 所以AP≠BQ， 又因为∠A＝∠B， 要使△APD与△BQP全等，只能AP＝BP＝8，即△APD≌△BPQ， 故BQ＝AD＝10． 所以点P、Q的运动时间：t（秒）， 此时（厘米/秒）， （2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AC+BC的路程 设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得， 解得（秒）， 此时P运动了（厘米）， 又因为△ABC的周长为56厘米，160＝56×2+48， 所以点P、Q在AC边上相遇，即经过了秒，点P与点Q第一次在AC边上相遇． 【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质． 28．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”、“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合． 【知识生成】 用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，由大正方形的面积可得等量关系式为（a+b）2＝a2+2ab+b2；如图2是用长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按照图3拼成一个正方形． （1）观察图2和图3，可得（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式：　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ； 【知识迁移】 （2）已知a+b＝7，，求（a﹣b）2的值； （3）若a+b＝25，a2+b2＝337，求ab的值； 【拓展应用】 （4）若x满足（2025﹣x）2+（x﹣2015）2＝72，则（2025﹣x）（x﹣2015）的值为　14　 ． 【分析】（1）一种方法是表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；另一种方法是先用a、b表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示即可得出答案； （2）把a+b＝7，代入（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，即可得到答案； （3）由a+b＝25，a2+b2＝337，（a+b）2＝a2+b2+2ab，进一步求解即可； （4）由（2025﹣x）2+（x﹣2015）2＝72，2025﹣x+x﹣2015＝10，再根据完全平方公式可得答案． 【解答】解：（1）根据题意可知，阴影部分边长为：a﹣b， ∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab，即（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． ∴它们的关系是（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （2）由（1）题得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， ∴； （3）∵a+b＝25，a2+b2＝337，（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴252＝337+2ab， 625＝337+2ab，． 2ab＝625﹣337， 解得：ab＝144； （4）∵（2025﹣x）2+（x﹣2015）2＝72，2025﹣x+x﹣2015＝10， ∴（2025﹣x+x﹣2015）2＝100， ∴（2025﹣x）2+（x﹣2015）2+2（2025﹣x）（x﹣2015）＝100， ∴（2025﹣x）（x﹣2015）＝14． 【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的定义是关键． 29．（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状． 【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA， 则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）与（1）的证明方法一样； （3）由前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF＝∠CAF＝60°，则∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，则∠DBF＝∠FAE， 利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，于是∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形． 【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）成立． ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）△DEF是等边三角形． 由（2）知，△ADB≌△CEA， BD＝AE，∠DBA＝∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF＝∠CAF＝60°， ∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF＝∠FAE， ∵BF＝AF 在△DBF和△EAF中 ， ∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE， ∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°， ∴△DEF为等边三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $