精品解析：陕西省西安市阎良区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

阎良区2023~2024学年度第二学期期末质量检测 高一数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，，则实数（ ） A. B. C. D. 2 2. 若为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 4. 陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的.如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是（ ） A. B. C. D. 5. 设，，为不同的平面，，为不同的直线，则下列能使平面与平面平行的一个条件是（ ） A. ， B. ，， C. 内有无数条直线与平行 D. ，， 6. 在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ） A. B. C. D. 7. 有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ） A. 与为相互独立事件 B. 与为互斥事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为对立事件 8. 在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则或 B. 与是平行向量 C. 若与是共线向量，则四点共线 D. 若，则 10. 某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二高三各600人，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生，高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为，，，每天读书时间的方差分别为，，，则下列正确的是（ ） A. 从高二年级抽取30人 B. 被抽取的学生中，高二年级每天的总读书时间比高一年级多15小时 C. 被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时 D. 估计全体学生每天的读书时间的方差为 11. 如图，三棱台中，平面，，且有，则下列命题正确的是（ ） A. B. 异面直线和所成角为 C. 三棱台的体积为 D. 二面角的正切值为 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知都是非零向量，且满足，则的值是___________． 13. 某篮球兴趣小组有7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8、5、7、5、8、6、8，则这组数据的众数与中位数之和为___________. 14. 在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟. 15. 已知复数（为虚数单位，），且是纯虚数. （1）求复数； （2）在复平面内，复数对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. 16. 在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 17. 某体育学校为储备人才，准备通过测试（按照测试成绩高分优先录取的原则）录用学生300人，其中测试成绩前100名的学生为第一梯队，剩余的200名学生为第二梯队.实际报名学生为1000人，测试满分为100分.测试后，对学生的测试成绩进行了抽样分析，得到如图所示的频率分布直方图. （1）估计此次测试的平均成绩； （2）试估计该学校本次测试的录取分数，并判断测试成绩为88分的学生甲能否被录取？若能被录取，能否进入第一梯队？ 18. 如图，在直三棱柱中，，，，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元（不超过半小时的部分不计费，超过半小时但不足1小时的部分按1小时计费）.现有甲、乙、丙三人在该停车场停车，三人停车时长互不影响且都不超过2.5小时. （1）若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，求甲停车的费用不超过3元的概率； （2）若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车的费用之和为9元的概率； （3）甲、乙、丙停车不超过半小时的概率分别为，，，停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为，，，求甲、乙、丙三人临时停车的费用不相同的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阎良区2023~2024学年度第二学期期末质量检测 高一数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，，则实数（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，列出方程，求解即得. 【详解】因，， 由可得，解得. 故选：A. 2. 若为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先化简复数，再求共轭复数. 【详解】，则. 故选：D 3. 如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则求解即可. 【详解】 将水平放置的的直观图还原，可知， 由勾股定理有，注意到， 所以三角形是等腰三角形，不是等边三角形， 由大边对大角可知，三角形中最大角的余弦， 即三角形中最大角是锐角，三角形是锐角三角形，不是直角三角形， 综上所述，只有C选项符合题意， 故选：C. 4. 陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的.如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积，进而可求出陀螺的表面积 【详解】由题意可得圆锥体的母线长为， 所以圆锥体的侧面积为， 圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为， 所以此陀螺的表面积为（）， 故选：B 5. 设，，为不同的平面，，为不同的直线，则下列能使平面与平面平行的一个条件是（ ） A. ， B. ，， C. 内有无数条直线与平行 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】结合空间平面间的位置关系判断ACD，由线面垂直的性质即可判断B． 【详解】选项A，直棱柱的侧面都与底面垂直，但相邻侧面是相交的，A错； 选项B，由，，可得，又，所以，B正确； 选项C，当这无数条直线相互平行时，平面与可能相交，C错； 选项D，，，，此时平面可以是相交的，D错， 故选：B． 6. 在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可. 【详解】 ， 故选：D． 7. 有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ） A. 与为相互独立事件 B. 与为互斥事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为对立事件 【答案】C 【解析】 【分析】列出样本空间，再对各选项的事件列出其基本事件，根据独立事件的定义判断AC，根据互斥事件、对立事件的定义判断BD. 【详解】用“”表示依次取两张卡片的结果，是第一次取出的卡片上的数字，是第二次取出的卡片上的数字， 由题意样本空间， ，，，， 对于A：由古典概率概率公式可知，，， 则，故与不是相互独立事件，错误； 对于B：，即第一次取出的卡片上的数字为3，第二次取出的卡片上的数字为4时， 事件与同时发生，故两个事件不是互斥事件，错误； 对于C：，，， ，则，故与是相互独立事件，正确； 对于D：因为，，所以与不是对立事件，错误. 故选：C 8. 在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一 建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，从而求出，的坐标，最后利用向量的夹角公式即可得解；解法二 以，为基底，通过向量的线性运算用基底将，表示出来，再利用向量的夹角公式即可得解． 【详解】解法一 如图，建立平面直角坐标系，则，，，， ∴，，∴，∴， 则，∴， 故选：A． 解法二 设，，则，，，， ， ∴， ，， ∴， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则或 B. 与是平行向量 C. 若与是共线向量，则四点共线 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的概念逐一判断. 【详解】对于A：，模相等不能推出共线，A错误； 对于B：与是相反向量，所以是平行向量，B正确； 对于C：若与是共线向量，不能得到四点共线，C错误； 对于D：若，当向量时，与不一定平行，D错误. 故选：ACD. 10. 某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二高三各600人，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生，高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为，，，每天读书时间的方差分别为，，，则下列正确的是（ ） A. 从高二年级抽取30人 B. 被抽取的学生中，高二年级每天的总读书时间比高一年级多15小时 C. 被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时 D. 估计全体学生每天的读书时间的方差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分层抽样、平均数、方差等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对A，根据分层抽样，分别从高一学生，高二学生，高三学生中抽取40人，30人，30人，故A正确； 对B，抽取的高二年级每天的总读书时间为， 抽取的高一年级每天的总读书时间为， 高二年级每天的总读书时间比高一年级少15小时，故B错误； 对C，被抽取的学生每天的读书时间的平均数为（小时），故C正确； 对D，被抽取的学生每天的读书时间的方差为： ， ∴估计全体学生每天的读书时间的方差为，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，三棱台中，平面，，且有，则下列命题正确的是（ ） A. B. 异面直线和所成角为 C. 三棱台的体积为 D. 二面角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：构建以为斜边的直角三角形，使用勾股定理即可判断；选项B：根据，得到异面直线和所成角为或其补角，证明是等边三角形即可判断；选项C：计算出上底面和下底面等腰直角三角形的面积，代入棱台公式即可判断；选项D：找出二面角的平面角，利用直角三角形中非直角的角的正切值公式计算即可判断. 【详解】选项A：取中点，连接，，， ，故，且， 得四边形是平行四边形，， 依题意，平面，则平面， 结合平面，可得， 根据勾股定理，，选项A正确； 选项B：根据棱台性质，， 故异面直线和所成角为或其补角， 根据勾股定理，， ，， 即是等边三角形，， 故异面直线和所成角为，选项B正确； 选项C：依题意，是直角边长为2的等腰直角三角形， 因此，是直角边长为1的等腰直角三角形， 因此，故根据棱台公式， 三棱台的体积为，选项C错误； 选项D：取中点，是等腰直角三角形， 是等边三角形，根据三线合一的性质可得，， 因此二面角的平面角为， 平面，平面， 故，， 即二面角的正切值为，选项D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知都是非零向量，且满足，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【详解】由，所以，所以，即. 13. 某篮球兴趣小组有7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8、5、7、5、8、6、8，则这组数据的众数与中位数之和为___________. 【答案】15 【解析】 【分析】将个数按照从小到大的顺序排列，找出中位数和众数即可. 【详解】将个数按照从小到大的顺序排列，5、5、6、7、8、8、8， 这组数据的众数是8，中位数是7，这组数据的众数与中位数之和为. 故答案为：15. 14. 在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得平面，将三棱锥补全成长方体，进而可求外接球半径，代入球的体积公式求解即可. 【详解】根据题意，底面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 将三棱锥补全成长方体，如图， 则此三棱锥的外接球的半径为， 其三棱锥外接球的体积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟. 15. 已知复数（为虚数单位，），且是纯虚数. （1）求复数； （2）在复平面内，复数对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数乘法运算法则和纯虚数概念求解即可； （2）根据复数运算法则以及几何意义求解即可. 【小问1详解】 因为，且是纯虚数， 所以是纯虚数， 则，即， 所以. 【小问2详解】 ， 由题意可得，解得， 所以实数的取值范围是 16. 在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合特殊角的三角函数值求解即可. （2）利用余弦定理求得，再the和三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 在锐角中，由及正弦定理，得. 而，则，又为锐角， 所以. 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，，即 整理得，而，解得， 所以的面积. 17. 某体育学校为储备人才，准备通过测试（按照测试成绩高分优先录取的原则）录用学生300人，其中测试成绩前100名的学生为第一梯队，剩余的200名学生为第二梯队.实际报名学生为1000人，测试满分为100分.测试后，对学生的测试成绩进行了抽样分析，得到如图所示的频率分布直方图. （1）估计此次测试的平均成绩； （2）试估计该学校本次测试的录取分数，并判断测试成绩为88分的学生甲能否被录取？若能被录取，能否进入第一梯队？ 【答案】（1）79 （2）85分；能录取，但不能进入第一梯队． 【解析】 【分析】（1）根据样本频率分布直方图估计平均数. （2）根据样本频率分布直方图估计88分的学生所在的位置，进行判断. 【小问1详解】 此次测试的平均成绩为： . 【小问2详解】 由题意可知，录取率为，能进入第一梯队的概率为； 设录取分数为，因为分数落在的概率为0.1， 分数落在的概率为0.4， 所以，令，解得， 所以录取分数大概为85分，进入第一梯队的分数大概为90分， 所以学生甲能被录取，但不能进入第一梯队． 18. 如图，在直三棱柱中，，，，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：，，， ，则， 直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，， 又，平面，，平面， 平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理得，利用线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）连接，与相交于点，连接AO，利用线面垂直的判定定理得平面，则即为所求的线面角，然后在中求解正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，与相交于点，连接AO， ，侧面为正方形，则有， 平面，平面，， 又AC，平面，，平面， 则直线AB与平面所成角为， ，，， 又，则， 直线AB与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 19. 某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元（不超过半小时的部分不计费，超过半小时但不足1小时的部分按1小时计费）.现有甲、乙、丙三人在该停车场停车，三人停车时长互不影响且都不超过2.5小时. （1）若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，求甲停车的费用不超过3元的概率； （2）若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车的费用之和为9元的概率； （3）甲、乙、丙停车不超过半小时的概率分别为，，，停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为，，，求甲、乙、丙三人临时停车的费用不相同的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件和的概率公式求解； （2）列出甲、乙两人停车付费的所有可能情况，根据古典概型求解； （3）先求出甲、乙、丙三人临时停车付费相同的概率，利用对立事件求解即可. 【小问1详解】 由题意，甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的概率相同均为，且三段时间费用分别为0，3，6元， 故甲停车的费用不超过3元的概率为. 【小问2详解】 设甲停车付费元，乙停车付费元，其中a，， 甲、乙两人停车付费的所有可能情况为：，，，，，，，，，共9种，且概率相等， 其中事件“甲、乙两人停车付费之和为9元”包含，，共2种情况， 故甲、乙两人停车付费之和为9元的概率为. 【小问3详解】 设甲停车的时长不超过半小时，乙停车的时长不超过半小时，丙停车的时长不超过半小时分别为事件，，， 甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时、乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时，丙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件，，， 甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时，乙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时，丙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件，，， 则， ， ， 甲、乙、丙三人临时停车付费相同的概率为 ， 甲、乙、丙三人临时停车付费不相同的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $