精品解析：陕西省咸阳市乾县薛录高中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学试题 【检测范围：必修二全册】 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量减法的坐标表示计算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 故选：C 2. 若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】若复数(是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：A 3. 函数的定义域为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切函数定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案. 【详解】因为，所以. 则函数的定义域为 故选：A. 4. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形作出，求其各边长，即得周长. 【详解】作出，如下图所示： 由题意可知，，， 由勾股定理可得， 故的周长为. 故选：B 5. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简复数，根据虚部的概念判断A，根据共轭复数的概念判断B，求复数的模判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】由得，则虚部为， 则，，对应的点为，位于第四象限， 故ABC错误，D正确. 故选：D 6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得平移后的解析式，然后根据函数的奇偶性求得即可. 【详解】函数的图象向右平移， 得到， 由于偶函数，所以，即， 由于，所以取，得. 故选：A 7. 现用一半径为，圆心角为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧长公式和圆锥的体积公式求解即可. 【详解】由题意可知该圆锥形容器底面圆周长， 所以底面圆半径， 所以高， 所以该容器的容积， 故选：C 8. 已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦函数的图像性质列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】当时，， 由题意函数在区间上恰好有3个零点， 则根据余弦函数的图象与性质知，结合解得， 即的取值范围是. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 与可以作为一组基底 D. 向量在向量上的投影数量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由单位向量的定义判断A；由向量模长的坐标运算判断B；根据基底的性质判断C；由投影数量的求法判断D. 【详解】由，是与同向的单位向量，则，A错； 由，则，B错； 由，则不共线，故可作为一组基底，C对； 向量在向量上的投影数量，D错. 故选：ABD 10. 如图，正方体的棱长为为与的交点，则下列判断正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 平面 C. 直线与直线所成角是 D. 在直线上存在点，使平面 【答案】BD 【解析】 【分析】由图形容易说明，在同一平面内判断A，由及线面垂直的判定定理判断B；由及异面直线所成角的概念求解判断C；取的中点，则，易证平面，判断D． 【详解】对于A，由图可知直线与直线都在平面中，故A错误； 对于B，正方体的棱长为1，由图可知直线， 又平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，由正方体性质知， 所以直线与直线所成角为直线与直线所成角， 因为为正方形，所以，即直线与直线所成角是，故C错误 ； 对于D，连接，，，取的中点，连接，则， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以平面，即在点处时，可使平面，故D正确． 故选：BD 11. 设，定义运算已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 是的一个周期 C. 是偶函数 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据新定义求出，作出函数的图象，画出的图象，根据余弦函数的单调性可判断A；由图可判断BD；举反例即可判断C. 【详解】由题意函数， 当时，， 当时，， 故作出函数的图象（图中实线）如下图所示： 对于A：当时，，则， 而在上单调递减，A正确； 对于B：由图可知的一个周期为，B正确； 对于C：，即，所以不是偶函数，C错误； 对于D：由图可知，的最小值为，D正确. 故选：ABD . 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切的二倍角公式计算即可； 【详解】解： 故答案为： 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】应用余弦定理及已知列方程求边长. 【详解】由题设，则， 所以，可得，负值舍去. 故答案为： 14. 如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出截面图，设球的半径为，根据直角三角形的性质得，，利用列式，化切为弦利用辅助角公式求得，代入球的表面积公式即可求解. 【详解】如图， 设球的半径为，，， ，， ，即球体建筑物的表面积为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知与是非零向量，，且． （1）求与的夹角； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直得，然后由向量夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律先求，即可得到的值. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又，所以，所以， 又，可得与的夹角为． 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以． 16. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的余弦公式可得答案； （2）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的正弦公式可得答案. 【小问1详解】 因，则. 从而； 【小问2详解】 因，则. 从而 17. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）. （1）求函数的解析式； （2）当时，求点到轴的距离的最大值. 【答案】（1）； （2）6. 【解析】 【分析】（1）根据已知有、、求解析式中的参数，即可得； （2）根据正弦型函数性质求值域范围，即可得点到轴的距离的最大值. 【小问1详解】 由题意，，则， 由题意，即，又，则. . 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， ，故， 点到轴的距离的最大值为6. 18. 在中，角的对边分别为.已知向量，，且. （1）求角的大小； （2）若是的中点，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量平行坐标表示可得，再根据正弦定理边化角化简求解即可； （2）由是的中点可得，再利用向量数量积的运算律可得，结合基本不等式和三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 因，，且， 所以， 由正弦定理得， 因为在中，，所以，， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为是的中点，所以， ， 因为，所以，化简得， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最大值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角为. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定推理得证. （2）利用（1）的信息确定二面角的平面角，再作出线面角，利用几何法求出正弦值. 【小问1详解】 在四棱锥中，由平面，平面，得， 由四边形是正方形，得，而平面， 因此平面，又平面, 所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面，而，则平面，又平面， 于是，为二面角的平面角，则， 令正方形的棱长为4，而，则， 取中点，连接，则，由（1）知平面平面， 又平面平面，平面，则平面， 是直线与平面所成的角，而， ，所以直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学试题 【检测范围：必修二全册】 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ） A B. 1 C. D. 0 3. 函数定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A. B. C. D. 12 5. 已知虚数单位，复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应点在第四象限 6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 现用一半径为，圆心角为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 与可以作为一组基底 D. 向量在向量上的投影数量是 10. 如图，正方体的棱长为为与的交点，则下列判断正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 平面 C. 直线与直线所成角是 D. 在直线上存在点，使平面 11. 设，定义运算已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 是的一个周期 C. 是偶函数 D. 的最小值为 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：___________. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则______. 14. 如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知与非零向量，，且． （1）求与的夹角； （2）求． 16. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 17. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）. （1）求函数的解析式； （2）当时，求点到轴的距离的最大值. 18. 在中，角的对边分别为.已知向量，，且. （1）求角的大小； （2）若是的中点，，求面积的最大值. 19. 如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角为. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$