9 对数运算与对数函数，指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学必修第一册同步周测卷(北师大版)

高一同步周测卷/数学必修第一册 (九)对数运算与对数函数，指数函数、 幂函数、对数函数增长的比较 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.下列四个函数中，当x足够大时增长速率最快的是 A.y=2026x B.y=l0g2 026x C.y=x2026 D.y=2026 2.已知集合M={xy=ln(1-2x)},N={yy=2x-1},则M∩N= A.(合，+∞) B.(-o,2) c.(-1,) D. 3.已知x=ln2.8,y=log2,之=log32,则 A.I<y< B.<<y C.<y< D.y<< 4.如图①②③④中，不属于函数y=logx,y=log÷x,y=log5x的一个是 ① ③ ③ ④ A.① B.② C.③ D.④ 5.若定义运算a©6=，a< 则函数f(x)=log2x①logx的值域是 a,a≥b A.[0,十∞) B.(0,1] C.[1,+∞) D.R 数学（北师大版）必修第一册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.猪血木又名阳春红檀，原产于广东阳江阳春市、广西平南县和巴马县，是中国特有的 单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物.猪血木不仅实现了人 工繁育，在阳江阳春市储备苗木近10万株，还被引种到广州、深圳、韶关、云浮等地. 某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，且该地的 猪血木数量超过2000株至少需要经过n(n∈N)年，则n= (参考数据：1g2≈0.3,1g11≈1.04) A.9 B.8 C.7 D.6 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列等式不成立的是 A.1og2(8-4)=log28-1og24 B.log8-log:是 .8 1og24 C.1og223=3log22 D.1og2(8+4)=1og28+1og24 8.已知函数f(x)=log2(x2-4ax十1)，则 A.f(x)的图象恒过原点 B.若a=0,则f(x)是增函数 C若f(x)的定义域为k,则a的取值范围为（一·】 D.若f(x)的值域为R,则a的取值范围为 -o,2)U(3,+∞) 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知3=2=m,且日+号=1，则实数m的值为 ·高一同步周测卷九 数学（北师大版）必修第一册第2页（共4页） 10.17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重 大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共 同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数N可以表示成N=a× 10"(1≤a<10,n∈Z)的形式，这便是科学计数法，若两边取常用对数，则有lgN=n 十lga,现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计3224的最高位的数值 为 真数x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 gx(近似值)0.30103 0.477120.602060.69897 0.778150.845100.90309 0.954241.000 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 求值：(1)log225×1og34×1og59; e)5688+lo9: 1g50-1g40 (3)log3√27+lg25+1g4+7og,2+(-9.8)°. 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=(1og2x-2)log4(2x). (1)当x∈[1,64幻时，求该函数的值域； (2)求不等式f(x)>5的解集； (3)若f(x)≤mlog4x对于x∈[4,16]恒成立，求m的最小值. 数学（北师大版）必修第一册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 已知函数y=f(x)与y=e的图象关于直线y=x对称. (1)若函数g(x)=f(ex+1)一mx是偶函数，求实数m的值； (2若关于x的方程f[-】-f儿2计台 有实数解，求实数飞的取值 范围； (3)已知实数a,b满足ae=1,b[f(b)一1]=e,求f(a)+f(b)的值. 高一同步周测卷九 数学（北师大版）必修第一册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（九） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ②③④⑤⑥ 档次 系数 指数函数、幂函数、 1 选择题 对数函数增长的 易 0.80 比较 2 选择题 5 对数函数的定义域 易 0.72 选择题 5 比较大小 中 0.60 对数函数图象的 4 选择题 5 中 0.55 识别 与对数函数有关的 5 选择题 5 中 0.45 新定义题 对数函数的实际 6 选择题 5 中 0.30 应用 对数运算性质的 选择题 6 易 辨析 0.72 对数函数性质的综 选择题 6 中 0.35 合应用 与对数运算有关的 9 填空题 5 中 0.65 条件求值 10 与对数有关的数学 填空题 5 中 0.35 文化题 对数的运算，换底公 11 解答题 13 中 0.60 式的应用 对数函数与二次函 12 解答题 15 中 0.45 数复合的函数问题 对数函数与指数函 13 解答题 20 0.25 数的综合 考答案及解析 一、选择题 、 1.D【解析】指数函数y=a,当a>1时呈爆炸式增 2.C【解析】由1-2x>0,解得x<号，所以M 长，当x足够大时，指数函数增长速度最快.故选D. (-∞，3)，而y=2-1>-1,所以N= ·33· ·数学（北师大版）必修第一册· 参考答案及解析 (-1,+∞)，所以MnN=(-1,2).故选C 三、填空题 9.12【解析】由3=2=m,得a=logm,b=log2m, 3.D【解析】由题得x=ln2.8>lne=1,y=log:2< 1og:5=1,z=1og:2<1og3=1,而1og2=1og5< 2=1oe3,言=1log2,日+号=log.3+2bg2 logm12=1,∴.m=12. 1og3=log:2,所以y<<x,故选D. 1 10.4【解析】依题意，设32021=a×10(1≤a<10,n∈ Z),则lg3221=n十lga,因为lg3221=2024lg3≈ 4.B【解析】~1og号号<1og号7-1og4号即当x 2024×0.47712=965.69088=965+0.69088,所 以lga≈0.69088，由表格可知，4<a<5,所以32021 号时，log+x<1ogx,.⑧是y=log+x,①是y 的最高位的数值为4. log5x,又y=log5x=-log5x与y=logx关于x轴 四、解答题 对称，∴.①是y=logx.故选B. 1.解：1)原式-罗×竖等×是号竖×张导× 5.A【解析】令log2x<log5x=-log2x,即log2x<0, 解得0<x<1,所以f(x)=log2x⊕log号x= 21g3=8. (4分) 1g5 /log号x,0<x<1 ,所以当0<x<1时，f(x)=log5x 2×5 log2x,x≥1 (2)原式= 1g8 50 十logE(W2)1=1-1=0.(8分) ∈(0，十∞)，当x≥1时，f(x)=log2x∈[0，十∞)， 1g 40 综上所述，当x>0时，f(x)∈[0，十o∞)，即函数 f(x)的值域为[0，十∞).故选A. (3)原式=1og3+1g100+2+1=号+2+2+1= 6.B【解析】由题意得1000(1+10%)”>2000，则 翠 (13分) (）)广>2，解得u>1og#2.因为1log号2=g号 11 1g10 12.解：(1)因为f(x)=(log2x-2)log1(2x) 返Dg是70是=75，所以>7.5 1g 2 1g 2 =(21ogx-2)(ogx+）, 令t=log1x, 又n∈N*,则n=8.故选B. 由x∈[1,64]，可知t∈[0,3]， 二、选择题 7,ABD【解析】对于A,log2(8-4)=log24=2,log8 函数fx)转化为y=(2-2)(+2)4∈[0,3]. 一4=8-2=1A给误：对于B器-是 (2分) 1og:=lbg2=1,B错误：对于C,1og2=3 因为y=(21-2)(t+号)=2-t-1=2(t-) .9 3log22,C正确；对于D,log2(8十4)=log212=2十 -8 l1og23,log28十log24=3十2=5，D错误.故选ABD. 8.AC【解析】对于A,因为f(0)=log1=0,所以 所以函数在[0，千]上单调递减，在（行，3]上单调 f(x)的图象恒过原点，故A正确；对于B,若a=0,则 递增， f(x)=log:(x+1),因为f(-√3)=f(W3)= 所以当=子时y取到最小值为一是 log24=2,可知f(x)不是增函数，故B错误；对于C, 若f(x)的定义域为R,则x2-4ax十1>0对任意x∈ 当t=0时，y=-1:当t=3时，y=14, 则当t=3时，y取到最大值14， k恒成立，则△=16c2-4<0,解得-号<a<号，所 故当x∈[1,64]时，函数f(x)的值域为 以a的取值范用为(-号，号)，故C正确；对于D, [-14] (4分) 若f(x)的值域为R,则y=x-4ax十1的取值取遍 (2)由题得(21og,x-2)(1ogx+7)-5>0, 所有正数，则△=16d-4≥0，解得a≤-子或a≥ 令t=log1x∈R, 名，所以。的取值范目为(-，]U 则(2-2)(+号）-5>0， 即2t-t-6>0, [号，十o∞)，故D错误.故选AC 解得>2或K一是 (6分) ·34· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第一册· 当t>2时，即log1x>2,解得x>16; 当1K-多时，即1gx<-多，解得0<x<名， 3 即x+1)+23x+6k>0), k k2 (8分) 依题意，关于x的方程x十D+23x十6k>0) 故不等式f(x)>5的解集为 0<<或x心 有实数解， 即关于x的方程(3一k)x2一2kx一3k十6=0有实数 16. 解， (8分) (9分) 当k=3时，方程为-6x一9十6=0，解得x=一之： 1 (3)由题得(21ogx-2)(log1x+)≤mlog对 符合题意； (9分) x∈[4,16]恒成立， 当k≠3时，△=4k2-4(3-k)(6-3k)=4(-2k2十 令t=log1x∈[1,2]， 15k-18)≥0， 即(21-2)(+名)<m在1∈[1,2]上恒成立， 解得2<6≤6，且≠3， (11分) 所以m≥2t- -1在[.2]上恒成立， 所以实数k的取值范围为[多，6] (12分) 所以m≥(2：-子-1） (12分) (3)由L6)-]=e,得1n6-1=云， 易得函数y=24-}-1在[1,2]上单调递增， 所以当1=2时=号 而ae=1, 所以m≥号加的最小值为。 因此ae=1=云cta>0.6>0, (15分) 令h(x)=xe,x>0,显然h(x)>0, 13.解：(1)因为函数y=f(x)与y=e的图象关于直线 设任意0<x1<x2, y=x对称， 所以f(x)=lnx, 则4<1，x-x<0,e1-4<1, 则g(x)=f(e十1)-m.x=ln(e十1)-m.x,函数 g(x)的定义域为R, 于是-<1 (17分) 由函数g(x)是偶函数，得g(-x)-g(x)=0, 因此h(x1)<h(x2), 即ln(ex十1)十m.x-ln(e+1)十m.x=0,(4分) 即函数h(x)=xe在(0，十o∞)上单调递增， 整理得2m.x=ln e*+1 e=x, 而ae=分ct, 而x不恒为0， 1 即ha=h(会) 因此2m=1,即m=立· 于是a=云，即ah=e, 所以实数m的值为2， (6分) 所以f(a)+f(b)=lna十lnb=lnab=lne=1. k (2)由题得1nx十)2=血x十2十ln3, ·35·