7 函数的奇偶性与简单的幂函数-【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学必修第一册同步周测卷(北师大版)

高一同步周测卷/数学必修第一册 (七)函数的奇偶性与简单的幂函数 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.下列说法错误的是 A.偶函数的图象关于y轴对称 B.奇函数的图象关于原点对称 C.偶函数的图象不一定和y轴相交 D.若f(x)为奇函数，则f(0)=0 2.已知幂函数f(x)=(m2一m一5)xm为偶函数，则f(m)= A司 B C. D.12 3.如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为 2 -2 A.y= T3 B.y=√x c D.y=x号 4.已知定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈[0，十∞)(x1≠x2)都有 f(x)一fx)<0,则 C2-x1 A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(3)<f(1) D.f(3)<f(1)<f(-2) 数学（北师大版）必修第一册第1页（共4页）】 衡水金卷·先享题 5.已知函数gx)=Ax-B+1(A,B∈R),若g(2)=-1,则g(-2)= A.-1 B.0 C.1 D.3 6.已知函数f(x)的定义域为{xx≠0}，函数f(x一2)的图象关于点(2,0)对称，且当 x2>x1>0时，x2f(x1)一x1f(x2)>0恒成立，若f(2)=0,则不等式xf(x)>0的解 集为 A.(-∞，-2)U(2,+∞) B.(-o∞，-2)U(0,2) C.(-2,0)U(2,+∞) D.(-2,0)U(0,2) 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列关于幂函数y=x的说法正确的是 A.幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1) B.幂函数图象不过第四象限 C.当α=2,3，一1时，幂函数是增函数 D.当α为奇数时，幂函数为奇函数 8.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y =f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b) 成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x十a)一b为奇函数.现已知函数f(x)= r叶+a,则 A.函数y=f(x十1)一2a为奇函数 B.当a>0时，f(x)在(1，十∞)上单调递增 C.若方程f(x)=0有实根，则a∈（一∞，0）U[1,十o) D.设定义域为R的函数g(x)关于(1,1)中心对称，若a=2,且f(x)与g(x)的图象 共有2026个交点，记为A,(x,y)(i=1,2,…,2026),则(x1+y1)十(x2十y2)十 …十(x2026十y2026)的值为4052 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 2 8 答案 高一同步周测卷七 数学（北师大版）必修第一册第2页（共4页） 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.请写出一个幂函数f(x)满足以下两个条件：①定义域为(0，十∞)；②当0<x1<x2 时，)-f)<0,则f)的一个可能解析式为f()= x1一x2 10.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且x>0时，f(x)=x2一x一2026，则x<0时 f(x)的解析式为f(x)= 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 判断下列函数的奇偶性： (1)f(.x)=√3-x2+Wx2-3; (2)f(.x)= V-r 1x-2-29 x2十x,x<0 (3)f(x)=-x2+x,x>0 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=(22十m)xm为幂函数，且在区间(0，十o)上单调递增，令g(x)= f(x)-(3a+1)·f(x)+3. (1)求函数f(x)的解析式； (2)当a=1时，求函数g(x)在区间[1,4]上的值域； (3)若存在xo∈[1,4]，使得g(xo)≤0能成立，求实数a的取值范围. 数学（北师大版）必修第一册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 已知函数f(x)的定义域为[一1,1]，对任意的非零实数x,y恒有f(xy)=f(x)十 f(y),且当x∈(0,1)时，f(x)>0. (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性； (2)证明：函数f(x)在区间(0,1)上单调递减； (3)若f(号)=2，函数g(x)的图象关于点（分，）对称，且当x∈[0,2]时，g(x) 2x2-m.x+ m(m>1.若对任意西∈[0,1，总存在，∈[2,1小，使得g() f(x2),求实数m的取值范围. 高一同步周测卷七 数学（北师大版）必修第一册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（七） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢN ① ②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 函数奇偶性的概念 易 0.80 由幂函数为偶函数 选择题 易 0.72 求值 3 选择题 5 幂函数图象的识别 中 0.65 由函数的奇偶性比 4 选择题 5 中 0.55 较大小 利用函数奇偶性 5 选择题 5 中 0.50 求值 利用函数奇偶性与 6 选择题 5 中 0.40 单调性解不等式 7 选择题 6 幂函数的性质综合 易 0.80 函数奇偶性与对称 选择题 6 中 0.45 性的综合 与幂函数有关的开 9 填空题 5 易 0.75 放型填空题 由函数的奇偶性求 10 填空题 5 中 0.45 解析式 11 解答题 13 判断函数的奇偶性 中 0.65 由幂函数的单调性 求解析式，幂函数与 12 解答题 15 中 0.45 二次函数的综合，不 等式有解问题 抽象函数的单调性 13 解答题 20 与奇偶性的综合 难 0.26 叁考答亲及解析 一、选择题 得m2-m-5=1,解得m=-2或m=3,当m=3时， 1.D【解析】若奇函数f(x)在x=0处无定义，则 f(x)=x是奇函数，不符合题意：当m=一2时， f(0)不存在，故D错误.故选D. f(x)=x-是偶函数，符合题意，因此m=一2，f(x) 2.B【解析】由函数f(x)=(m2一m一5)xm是幂函数， ·25· ·数学（北师大版）必修第一册· 参考答案及解析 =x2,所以f(m)=f(-2)=(-2)-2=1 ·故选B. (一∞，0)，(0，十∞)上皆单调递减，C错误；对于D, 若a为奇数，则（一x)°=一x,即幂函数为奇函数，D 8.C【解折】对于Ay=,定义镀为(-a0)U 正确.故选BD. 0,+0),当x<0时0=是<0，不符合题意：对于 8.ACD【解析】对于A,因为f(x+1)-2a=a(x+ D+士十a一2a=ar十士y=ar十士是奇函数，故 B,当x=0时，y=√xT=0,不符合题意；对于C,y =是定义域为(-0,0)U(0十0)，函数为偶函 A正确：对于B,因为f(号)=号a+2,f(2)=3a+ 数，且y=在(0，十∞)上单调递减，在 1,所以f(号)-f(2)=1-号，当0<a<2时， (-∞，0)上单调递增，符合题意；对于D,y=x,当 (x)在(1，十∞)上不是单调递增，故B错误；对于 x=0时，y=0,不符合题意.故选C. 1 C,令f(x)=ax十与十a=0,显然x≠-1，所以a 4,A【解析】因为对任意的x1,x2∈[0，十∞)(x1≠ )都有f）f)<0,所以3)22<0， =己，因为1-e(-0,0)U0.1],所以 x2一1 3-2 即f(3)<f(2),2)二f1D<0,即f(2)< 1-∈（-o∞0)U[1,十∞)，故C正确：对于D, 2-1 f(1),所以f(3)<f(2)<f(1),又因为f(x)是 由A可知，当a=号时，f(x)关于(1,1)中心对称， 定义在R上的偶函数，则∫(2)=∫（一2），所以 且g(x)关于(1,1)中心对称，所以这2026个交点 f(3)<f(-2)<(1).故选A. 关于(1,1)对称，故(x1十y1)十(x2十y)十…十 5.D【解析】令F(x)=g(x)-1=Ax- x ,则 (r26十y2o26)=(x1十x2十…十x2o2s)十(y十y2十 F-)=-(Ax-B)=-F(x),即F(为奇丽 …十y226)=2026十2026=4052，故D正确.故 选ACD. 数，则F(-2)十F(2)=g(-2)-1十g(2)-1=0,所 三、填空题 以g(-2)=2-g(2)=2十1=3.故选D. 9.x(答案不唯一)【解析】举例f(x)=x立，其定 6.D【解析】因为f(x-2)的图象关于点(2,0)对称， 义域为(0，十∞)，且f(x)为减函数，符合题意 所以f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函 10.-x2-x十2026【解析】设x<0,则-x>0,由题 数，因为当x2>x1>0时，xf(x1)-x1f(x2)>0, 意可得f(-x)=(-x)2-(-x)-2026=x2+x 所以f-f）>0.令g(x)=f卫，则g(2) 2026.又因为函数f(x)是奇函数，所以f(x) x -f(-x)=-(x2十x-2026)=-x2-x十2026. =0,g(x)为偶函数，定义域为{xx≠0}，且在 四、解答题 (0,十o)上单调递减，不等式xf(x)>0即x2g(x)> 3-x2≥0， 0,也即g(x)>0=g(2),于是g(|x|)>g(2),则 :11.解：(1)由 得x=3,解得x=士√3， x2-3≥0 1z<2所以x∈(-2,0U0,2).故选D (x子0 即函数f(x)的定义域为{一√3}， 二、选择题 从而f(x)=√3-x2+/x2-3=0. 7.BD【解析】对于A,当a<0时，幂函数的图象不过 因此f(-x)=-f(x)且(-x)=f(x), 点(0,0)，A错误；对于B,当x>0时，y=x>0 所以函数∫(x)既是奇函数又是偶函数.(4分) (α∈R),所以幂函数的图象不可能经过第四象限，B 1x-2|-2≠0 (2)由《 ,可得x≠0且-1≤x≤1， 正确：对于C,当a=一1时，幂函数y=x1在 1-x≥0 ·26· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第一册· 所以函数的定义域为{x|-1≤x≤1且x≠0}， 由基本不等式可得1十-1≥2√三-1=25 所以f(x)=一x 一x 一1，当且仅当t=,即=5时等号成立， 因为f(-x)=- -=-f(x), 所以a≥23-1 3 所以函数∫(x)为奇函数。 (8分) (3)显然函数f(x)的定义域为(-∞，0)U 综上可知，实数a的取值范围为 [2,+ (0,十∞)，关于原点对称. (15分) 因为当x<0时，-x>0, 13.解：(1)f(x)是偶函数. (1分) 则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 证明： 当x>0时，-x<0, 令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1), 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x), ∴.f(1)=0, 综上可知：对于定义域内的任意x,总有∫（一x)= 令x=y=-1,则f(1)=f(-1)十f(-1)=0, -f(x): .f(-1)=0, 所以函数f(x)为奇函数. (13分) 取y=-1,则∫(-x)=f(x)十f(-1)=f(x), 12.解：(1)因为幂函数f(x)=(2m2十m)xm在区间 .f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数.(4分) (0,十∞)上单调递增， (2)任取1>x2>x1>0, /2m2+m=1 则 m>0 令==… 朝得m子， 则f()=f(会）十f) 故f(x)=x立. (4分) 即f(a)-f()=(任) (2)当a=1时，可得g(x)=f(x)-4f(x)十3， 令t=f(x), 1>x2>x1>0,∈(0,1) 因为x∈[1,4]，所以t∈[1,2]， 又当x∈(0,1)时，f(x)>0, 即可得y=t-4t+3=(t-2)2-1, ÷f(号)>0，即f()-f(x:)>0, 所以函数y=(t-2)2-1在区间[1,2]上单调 ∴.f(x)在(0,1)上单调递减. (9分) 递减， (3)由(1)(2)知f(x)在(0,1)上单调递减且f(1) 当t=2时，yin=-1,当t=1时，ymax=0. =0, 所以函数g(x)在区间[1,4幻上的值域为[-1,0]. (9分) 又f(3)=2, (3)令t=f(xo), 当m∈[3,1]时，f)e[0,2],记A 因为xo∈1,4]，所以t∈[1,2]， 因为g(x0)≤0， =[0,2]. 即转化为t-(3a十1)t十3≤0， :对任意∈[01门，总存在，∈[宁1]，使得 可得3a≥1+号-1，其中e[1,2] g(x1)=f(x2), 所以3a≥(+-1） 记g(x)在[0,1]上的值域为B, ..BCA. (11分) ·27· ·数学（北师大版）必修第一册· 参考答案及解析 (1)当}<牙<号，即1<m<2时， 又1<m<2,解得1<m<2; (15分) 当x∈[0，]时，g(x)在[0，)上单调递减，在 (1)当受≥分，即m≥2时， (?,2]上单调递增， 当x∈[0，]时g()在[o,]上单调递减， ·g()≤g(x)≤g(0), ∴g(分)≤gx)≤g0),即2<g(x)≤m, 即一答十子m≤g)≤号m, “g(x)的图象关于点（受，）中心对称。 “g(x)的图象关于点（日，号）巾心对称， ∴当xe[31]时，1-m≤gx)≤1- 当x∈[分，1]时，1-分m≤g(r)<1 即1-m<)， -(-答+子m, 当x∈[0,1]时，1-号 wCgK3m. 1 1 即1-m≤g(x)<1+g-子 则g(x)as=之m,g(x)m=1-之m, 82m, 1<m<2时答+m= 8m(m-4)>0,1 即B=[1-子m7m] -m=2(2-m)>0, 1 1-m≥0 由B二A得 1 1 2m<2 2m≤2 ∴由B二A得 又m≥2，解得m=2, 1+m1 82m≤2 综上所述，实数m的取值范围为(1,2 ·28·