12 随机现象与随机事件、古典概型、频率与概率、事件的独立性-【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学必修第一册同步周测卷(北师大版)

高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（十二） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) I ⅢNV ① ②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 随机事件的辨析 易 0.80 2 选择题 5 事件的关系和运算 易 0.75 3 选择题 利用频率估算概率 易 0.72 利用随机数模拟 选择题 中 0.65 概率 古典概型与不等式 选择题 中 0.55 的综合 选择题 电路图中的概率 6 中 0.35 计算 互斥事件、相互独立 7 选择题 6 中 0.50 事件的辨析 利用相互独立事件 8 选择题 6 的概率公式解决比 L 书 0.30 赛问题 9 填空题 5 样本点个数的计算 易 0.72 10 填空题 5 概率的运算 中 0.40 11 解答题 13 游戏的公平性 / 中 0.60 古典概型的概率 12 解答题 15 中 0.45 计算 相互独立事件与互 13 解答题 20 中 0.35 斥事件概率的综合 ·45· ·数学（北师大版）必修第一册· 参考答案及解析 考答案及解析 一、选择题 ①@.①0.@0共3个.所以P(A)=是=子故 1.D【解析】A为必然事件，BC为不可能事件，对于 选B. D,抛掷一枚骰子时，可能出现3点，也可能不出现3 6.C【解析】设上半部分正常工作为事件M,下半部分 点，故此事件为随机事件.故选D. 正常工作为事件N,该电子元件能正常工作为事件 2.C【解析】“恰有一个不发生”是指三个事件中只有 s,则P(M)=(1-号)×(1-)=是，P(M)=1 一个不发生，同时另外两个发生，C符合题意.故 选C. -P(M)=1-子=号，P(N)=(1-号×)× 3.C【解析】在所给的数据中，在497.5g~501.5g之 (1-号)=8所以P(N)=1-P(N)=1-9 间的数据有498,501,500,501,499共5个，所以数据 5 在497.5g~501.5g之间的频率为0=0,25.用频率 所以P(S)=1-P(M)P(N)=1-号×品 30 估计概率，则所求概率为0.25.故选C. ·即该电子元件能正常工作的概率是磐枚选C 75 4.A【解析】依题意，该运动员三次投篮恰有两次命中 二、选择题 的结果有：137,271,436，共3个，所以该运动员三次 7.ABD【解析】依题意从中有放回地随机取两次球， 投篮给有两次命中的概率为是-子故选入 则可能结果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3 5.B【解析】取a=一4，b=-3,得a2>b2,故①错误； 1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2), 因为a<b0,所以两边同时乘以a,得a>ab,故② (4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5, 错误：因为a<6<0,则名>0，号>0，所以名+号≥ a 4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), 5·只=2，当且仅当a=b时取等号，显然等号 (6,6),共36个结果.事件M包含的基本事件有：(1， 2 a b 1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)共6个：事件N 无法取得，故③正确：因为a<<0,所以名<1<号， 包含的基本事件有：(1,2)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5， 故④错误，故四个命题中有一个是正确的，设事件“所 2),(6,2)共6个；事件S包含的基本事件有：(2,6)， 选2个不等式都不成立”为事件A,则从4个不等式 (3,5),(4,4),(5,3),(6,2)共5个：事件Q包含的基 中选2个的所有可能结果有：①②，①③，①④，②③， 本事件有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1) ②④，③④，共6个，其中事件A包含的结果有： 共6个.对于A,显然事件M与事件S不可能同时发 ·46· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第一册· 生，所以M与S互斥，故A正确；对于B,事件S与事 比赛全赢（概率是（号）广)时，丙得6分，其他3人分 件Q不可能同时发生，所以S与Q互斥，故B正确； 数最高为5分，这时甲乙、甲丁两场比赛中甲不能赢， 对于C.因为P(N)=亮=言，P(S)= 36P(NS)= 否则甲的分数不小于6分，只有全平或全输或一平一 6≠P(N)·P(S,所以V与S不相互独立，故C错 输，①若甲一平一输，概率是2×（号），如平乙，输 误：对于D,因为P(M0= 1 1 36= 6 丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是号：@若甲两场 P(MQ)= 1 =P(M)P(Q),所以M与Q相互独立， 均平概率是（兮）》，乙丁这场比赛无论结论如何均 故D正确.故选ABD. 符合题意；③若两场甲都输，概率是（号）广，乙丁这场 8.AC【解析】四支球队共6场比赛，有甲乙、甲丙、甲 丁、乙丙、乙丁，丙丁.对于A,四支球队共6场比赛， 比赛只能平，概率是行，综上，概率为3×号×（兮） 例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，则甲得9分， ×[2x(号)×号+(3)广+(3)广×子]=是 乙、丙、丁各得2分，所以四支球队的积分总和可能为 故D错误，故选AC. 15分，故A正确；对于B,每场比赛中两队胜、平、负 三、填空题 的概率都为弓，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 9.8【解析】因为是有放回地随机摸3次，所以随机试 (信)广×2×子×号言故B错误：对十C,若甲胜 验的样本空间为2={（白，白，白），（白，白，黑），（白， 黑，白)，（白，黑，黑），（黑，白，白），（黑，白，黑），（黑， 乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平，则甲、 黑，白)，（黑，黑，黑）}.共8个 乙、丙各得4分，丁得3分，出现三支球队积分相同且 和第四支球队积分不同的情况，故C正确；对于D,丙 10.8 【解析】因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字 队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 只表示1或5，因为个位、十位、百位、千位分别随机 三队中选一队与丙比赛，丙输，概率为3×子，例如是 拨动一粒珠子至梁上，所以所得的四位数的个数为 2=16个，能被3整除的四位数，数字1和5各出现 丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4 2个，这样的四位数有：1155,1515,1551,5511， 分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的 分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁 515,5151,共6个，所以P(M)=名=号，能被5 已有3分，那么它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁 整除的四位数，个位数为5，则这样的四位数为： 中有一人得分不小于4分，不合题意；若丙与乙、丁的 1115,1155,1515,1555,5555,5115,5155,5515,共8 ·47 ·数学（北师大版）必修第一册· 参考答案及解析 个，所以P(N)=是=合，所以P(MUN)十 基本事件， 分别为12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36， P(MN)=P(M)+P(N)= 317 82=8 45,46,56, (10分) 四、解答题 其中恰好只有一位研究生的基本事件共有8个，分 11.解：(1)分别用2,3,4,4'表示红桃2，红桃3，红桃4， 别为15,16,25,26,35,36,45,46， (13分) 方片4， 故所求事件的概率为P-。 (15分) 则甲、乙抽到牌的所有情况为(2,3)，(2,4)，(2,4')， 13.解：(1)记甲投篮一次命中为事件A,乙投篮一次命 (3,2),(3,4),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),(4,2), 中为事件B,丙投篮一次命中为事件C, (4',3),(4,4), 共12种不同的情况. (4分) 依题意，P(A)=子，P(AB)=P(AP(B)=号 (2)事件A={(2,4),(2,4),(3,4),(3,4'),(4,4), 则P(B)=3' 1 (3分) (4,4) (6分) P(BC)=P(B)P(C)= 18 故P(A)=2=立 61 (8分) 解得P(C)= 6 (3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2)，(4,2)， 1 (4,3),(4′，2)，(4′，3)，共5种情况， (10分) 所以乙投篮一次命中的概率为3，丙投篮一次命中 5 因此甲胜的概率为2，乙胜的概率为2， 1 的概率为 (6分) 因为品<备： (2)记甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中为事 件D, 所以此游戏不公平. (13分) 则D=ABC+ABC+ABC, (8分) 12.解：(1)由已知可得+35-17 130=26' (3分) P(D)=P(ABC+ABC-ABC) 解得a=50, (5分) -P(ABC)P(ABC)P(ABC) 故b=130-(50十35十25十4+2)=14， 2 618 则b=14. (7分) 所以甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率为 (2)将50岁以上的6人进行编号，四位本科生为1， 5 2,3,4,两位研究生为5,6， (11分) 从这6人中随机抽取两人，共有15个等可能发生的 (3)设乙投篮n(n∈N*)次， ·48· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第一册· 则至少有一次命中的概率为1一[P(B)]”=1一 4 因此n≥g3-g2≈0.4771-0.3010≈22.7144， (径)八， (13分) (18分) 由1-（号）广≥0.999， 则nmin=23, 所以乙至少要投篮23次， (20分) 得（号）广≤10doo (15分) 两边取常用对数得n(1g2-lg3)≤一4， ·49·高一同步周测卷/数学必修第一册 (十二)随机现象与随机事件、古典概型、 频率与概率、事件的独立性 (考试时间40分钟，满分100分)》 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.下列各项中，属于随机事件的是 A.若圆的半径为r,则圆的面积为πr2 B.在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C.在一个标准大气压下，温度达到80℃时水会沸腾 D.抛掷一枚骰子，出现3点 2.设H,E,F为三个相互独立的事件，H,E,F分别表示它们的对立事件，表示“H,E,F 三个事件恰有一个不发生”的表达式为 A.H+E+F B.HEF+HEF+HEF C.HEF+HEF+HEF D.H+E+F 3.从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g): 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在497.5g~501.5g之间的概率 约为 A.0.1 B.0.15 C.0.25 D.0.5 4.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员 三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定 1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮 结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952 683123436730257,据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A B司 号 数学（北师大版）必修第一册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 5.已知a<b<0,从4个不等式①a2<,@a<h,③会+号>2，④会>号中任选2个， 事件“所选2个不等式都不成立”的概率是 B号司 c D.6 6.如图，某电子元件由A,B,C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经 过反复测试，A,BC三种部件不能正常工作的概率分别为分，号号，各个部件是否正 常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是 B 18 A.25 7 B.2 c岩 D号 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取一 个球.事件M=“第一次取出的球的数字是1”，事件N=“第二次取出的球的数字是 2”,事件S=“两次取出的球的数字之和是8”，事件Q=“两次取出的球的数字之和是 7”,则 A.M与S互斥 B.S与Q互斥 C.N与S相互独立 D.M与Q相互独立 8.在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支 队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠 前，积分同者名次并列)，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0 分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为了，每场比赛结果相互独立，则在比赛结 束时 A.四支球队的积分总和可能为15分 B甲队胜3场且乙队胜1场的概率为号 C.可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况 D.丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为 高一同步周测卷十二 数学（北师大版）必修第一册第2页（共4页） 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 2 P 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.袋中有黑、白围棋棋子各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出的 棋子的颜色，则此随机试验的样本点个数为 10.算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算 盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上 珠)代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠表示的数的大小等于同组一 粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示 数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件 M=“表示的四位数能被3整除”，N=“表示的四位数能被5整除”，则P(MUN)十 P(MN)= 档 一上珠 梁 下珠 框、 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克 牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张 (1)写出甲、乙抽到牌的所有情况； (2)设事件A=“乙抽到的牌的数字比3大”，求A的概率； (3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是 否公平？为什么？ 数学（北师大版）必修第一册第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 某机构有职工130人，对他们进行年龄状况和受教育情况（只有本科和研究生两类） 的调查，其结果如图： 本科 研究生 35岁以下 a 35 35~50岁 25 b 50岁以上 4 2 (1)随机拍取一人，是35岁以下的概率为2名求a,6的值： (2)从50岁以上的6人中随机抽取两人，求恰好只有一位研究生的概率. 13.(本小题满分20分) 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中的概率为号，甲，乙两人各投篮一 次且都命中的概率为后，乙、丙两人各投篮一次且都命中的概率为8且任意两次投 篮互不影响， (1)分别计算乙、丙两人投篮一次命中的概率； (2)求甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率； (3)若乙想命中的概率不低于0.9999，则乙至少需要投篮多少次？ 参考数据：1g2≈0.3010，lg3≈0.4771. 高一同步周测卷十二 数学（北师大版）必修第一册第4页（共4页）