1.5.1 等腰三角形的性质与判定 导学案-2026--2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦等腰三角形的性质与判定，通过“等边对等角”“等角对等边”“三线合一”三个核心问题导入，衔接全等三角形判定旧知，搭建从特殊到一般的几何思维支架，引导学生理解定理及应用场景。 资料以典例精讲结合变式训练分层设计，通过基础求角度长度、综合证明线段相等、提优多等腰三角形推导，培养学生几何推理能力与抽象能力，强化符号语言表达，助力学生掌握性质与判定的区别及综合应用，提升数学思维与应用意识。

1.5等腰三角形的性质与判定导学案 一、学习目标 1、理解等腰三角形的定义，掌握其性质定理和判定定理，理解定理的几何意义，能运用定理解决相关的几何问题。 2、能区分性质定理和判定定理的区别，掌握它们的运用场景，能解决求长度、求角度、证明等问题。 3、能处理综合的几何问题，提升几何推理能力，体会从特殊到一般的几何思维，学会运用 “三线合一” 解决复杂的线段与角度问题。 二、学习重难点 学习重点：掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，能运用它们解决基础的几何问题，理解 “三线合一” 的核心意义。 学习难点：综合运用两个定理解决复杂的综合问题，比如多等腰三角形的角度推导、动点问题，以及 “三线合一” 的综合应用。 三、预习导学・问题引入 我们之前学习了全等三角形的判定，今天我们来学习一个特殊的三角形 —— 等腰三角形。 我们来想几个问题： 1、如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角有什么关系？ 2、反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边是不是也相等？ 3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，这三条线是不是同一条？ 这三个问题，就是我们今天要学习的核心内容，掌握了这些，我们就不用每次都通过证明全等来解决问题，可以直接用这些定理来快速解决很多几何问题。 四、课堂探究・知识点梳理 1. 等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 其中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 2. 性质定理 1：等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简写成 “等边对等角”）。 这是我们解决很多求角度问题的核心，只要知道了等腰三角形的腰相等，我们就可以直接得到对应的底角相等。 符号语言： ∵ ， ∴ 。 3. 性质定理 2：三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称为 “三线合一”。 也就是说，在等腰三角形中，只要我们知道了其中一个条件，就可以推出另外两个条件： 如果 AD 是顶角平分线，那么 AD 也是底边上的中线，也是底边上的高； 如果 AD 是底边上的中线，那么 AD 也是顶角平分线，也是底边上的高； 如果 AD 是底边上的高，那么 AD 也是顶角平分线，也是底边上的中线。 4. 判定定理：等角对等边 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角对等边”）。 这是性质定理的逆定理，我们可以用它来判断一个三角形是不是等腰三角形，不用再证明全等了。 符号语言： ∵ ， ∴ 。 五、典例精讲・变式训练 典例 1：基础应用 —— 利用性质求角度与长度 原题：如果等腰三角形的两边长分别为 4 和 8，则它的周长为（ ） A．12 或 16 B．16 C．20 D．20 或 16 解析： 本题需要分情况讨论，同时要结合三角形的三边关系来判断： 1、当腰长为 4 时，三边长为 4、4、8，此时，不满足三角形的三边关系，无法构成三角形，舍去； 2、当腰长为 8 时，三边长为 8、8、4，此时满足三边关系，周长为。 所以答案是 C。 变式训练 1 一个等腰三角形的两边长分别是 3cm 和 7cm，则它的周长是（ ）cm． A．13 B．17 C．13 或 17 D．10 变式训练 2 在中，，AD 为 BC 边上的中线，，则的度数为（ ） A．55° B．65° C．75° D．85° 变式训练 3 等腰三角形的周长为 10cm，其中一边长为 3cm，则该等腰三角形的腰长为（ ） A．3cm B．3.5cm C．3cm 或 3.5cm D．7cm 典例 2：综合应用 —— 利用判定证明线段相等 原题：如图，在中，BD 平分，交 AC 于点 D，，交 AB 于点 E，求证：。 解析： 我们可以利用平行线的性质和角平分线的性质，得到两个角相等，然后用 “等角对等边” 来证明线段相等： 1、因为，根据平行线的内错角相等，我们可以得到； 2、因为 BD 平分，所以； 3、因此，，根据 “等角对等边”，我们就可以得到。 变式训练 1 如图，在中，和的平分线交于点 O，过 O 作，分别交 AB、AC 于点 E、F，求证：。 变式训练 2 如图，在中，，，BD 平分，交 AC 于点 D，求证：。 变式训练 3 如图，，AE 平分，求证：。 典例 3：提优应用 —— 多等腰三角形的综合推导 原题：如图，在中，，点 D 在 AC 上，且，求各角的度数。 解析： 本题中有多个等腰三角形，我们可以设未知数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和来求解： 设， 1、因为，设，根据外角的性质，； 2、因为，所以； 3、因为，所以； 4、根据三角形内角和为 180°，我们有：，解得。 因此，，。 变式训练 1 如图，在中，，，AD 平分，交 BC 于点 D，过点 D 作于点 E，若，求的周长。 变式训练 2 如图，在中，，点 D、E 分别在 BC、AC 上，且，，求的度数。 六、巩固练习・分层训练 基础过关 1、等腰三角形的一个内角是，则这个三角形的底角的度数是（ ） A． B． C．或 D．或 2、下列说法中，正确的是（ ） A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B．等腰三角形的两腰上的高相等 C．等腰三角形的腰可以等于底边的一半 D．等腰三角形的顶角一定是锐角 3、如图，在中，，D 是 BC 的中点，下列结论中不正确的是（ ） A． B．AD 平分 C． D． 4、已知一个等腰三角形的两条边长分别为 2 和 5，则它的底边长是 。 5、如图，在中，，点 D 是 BC 的中点，，，垂足分别为 E、F，求证：。 6、如图，平分，，若，求的长。 能力提升（5 题） 7、如图，在中，，，AD 是 BC 边上的中线，求的度数。 8、 如图，在中，，，BD 平分，交 AC 于点 D，求证：。 9、如图，在中，，点 E 在 AB 上，点 F 在 AC 的延长线上，且，EF 交 BC 于点 D，求证：。 10、如图，在中，，，点 D 是 AB 的中点，点 E、F 分别在 AC、BC 上，且，求证：。 七、答案与解析 变式训练答案 典例 1 变式 1、答案：B 解析：当腰长为 3 时，，不满足三边关系，舍去；当腰长为 7 时，周长为。 2、答案：B 解析：因为，AD 是中线，所以 AD 平分，且，，所以。 3、答案：C 解析：当腰长为 3 时，底边长为 4，满足三边关系；当底边长为 3 时，腰长为 3.5，也满足，所以腰长为 3 或 3.5。 典例 2 变式 1、证明： 因为 BO 平分，所以， 因为，所以， 所以，所以， 同理，， 所以。 2、证明： 因为，， 所以， 因为 BD 平分， 所以， 所以， 所以。 3、 证明： 因为，所以， 因为 AE 平分， 所以， 所以，所以。 典例 3 变式 1、答案：8 解析：因为 AD 平分，，，所以， 又因为，所以，所以， 因为，所以， 所以的周长为。 2、答案： 解析：设，，则， 因为，所以， 因为，所以， 所以。 巩固练习答案 基础过关 1、答案：C 解析：当是顶角时，底角为；当是底角时，底角就是，所以是或。 2、答案：B 解析：A 选项，只有等腰三角形底边上的三线才重合；C 选项，腰不能等于底边的一半，否则无法构成三角形；D 选项，顶角可以是钝角，所以 B 正确。 3、答案：D 解析：根据三线合一，A、B、C 都正确，不能得到。 4、答案：2 解析：当腰长为 2 时，，不满足三边关系，所以腰长为 5，底边长为 2。 5、证明： 因为，所以， 又因为 D 是 BC 的中点， 所以 AD 平分， 因为，， 所以。 6、 答案：4 解析：因为 OC 平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以。 能力提升 7、答案： 解析：根据三线合一，AD 平分，所以。 8、证明： 因为，， 所以， 因为 BD 平分， 所以， 所以， 所以， 所以。 9、证明： 过点 E 作，交 BC 于点 G， 则，， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 在和中， 所以，所以。 10、证明： 连接 CD， 因为，，D 是 AB 的中点， 所以，，， 在和中， 所以， 所以。 学科网（北京）股份有限公司 $