精品解析：江西新余市高新区2025-2026学年下学期八年级数学期末质量监测试卷

江西新余市高新区2025-2026学年下学期八年级数学期末质量监测试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是假分数，则自然数可取值的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 一个保温杯的价格是100元，打八折销售，买两个这样的保温杯比原来便宜（ ）元． A. 20 B. 80 C. 40 D. 160 3. 若一次函数y=(k－3)x－1的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（　　） A. k>0 B. k<0 C. k<3 D. k>3 4. 某快递公司每天上午9:30至10:30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（）之间的函数关系图象如图所示，则从开始，当两仓库快递件数相同时，经过了（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. 在图象的每个象限内，随的增大而增大 D. 若，则0＜ 6. 如图1，在菱形中，点P为对角线上一动点，沿路径以的速度运动，同时点Q从B出发沿路径以的速度运动．设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示．若，则图2中m的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 函数的定义域是___________. 8. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个内角为________度． 9. 若，则______________． 10. 已知点都在直线上，那么_________（填“>”“<”或“=”）． 11. 一件衣服进价为120元，标价为200元，打九折后售出，那么它的盈利率是___________． 12. 在矩形中，，，点是折线上的动点（且点不与点重合），当的长为整数时，则的长是___________． 三、解答题：本题共11小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 在平面直角坐标系中，点，点，点 （1）若，求点A的坐标． （2）当点A到x轴、y轴的距离相等时，在y轴上存在点D，使，求点D的坐标． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线过x轴上的点A，且与直线相交于点，直线与x轴相交于点C． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 15. 如图，在正方形中，点M为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，在上作出点E，使； （2）在图2中，在的延长线上作出点F，使． 16. 若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与互为“相关代数式”． （1）若与是互为“相关代数式”，则______ ； （2）若是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值； （3）若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值． 17. 某运动场正在建设中，运动场的环形跑道由两个直道和两个半圆形塑胶跑道组成，直道长米，半圆形最内圏直径长米，每条跑道宽米，共有条跑道（取）． （1）最内圈跑道的长度是多少米？ （2）塑胶跑道的面积是多少平方米？ （3）为了铺设塑胶跑道，采购人员先后到甲、乙两个销售点询问价格，这两个销售点所用材料产品质量相同，购买所产生的费用如下表，请问采购人员在哪个销售点购买最优惠？求出这个最优惠的价格是多少元． 甲销售点： ．每平方米塑胶跑道价格为元； ．购买面积不超过平方米不优惠，超过平方米的部分优惠． 乙销售点： ．每平方米塑胶跑道价格为元； ．购买每满元减元． 18. 已知一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于A、B两点，坐标分别为（—2，4）、（4，—2）． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直线AB上是否存在一点P（A除外），使△ABO与以B﹑P、O为顶点的三角形相似？若存在，直接写出顶点P的坐标． 19. 八年级语文老师对（1）、（2）班学生的语文阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）． 平均数/分 方差 中位数/分 众数/分 合格率 优秀率 （1）班 7.2 2.11 7 6 92.5% c （2班 6.85 4.28 8 a b 10% 根据图表信息．回答问题： （1）（2）班参加测试的人数有___________人，___________，___________，___________； （2）用方差推断：___________班的成绩波动比较大；用优秀率推断：___________班的阅读水平更好些； （3）甲同学用平均数推断，认为（1）班的阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，认为（2）班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些？为什么？ 20. 【课本再现】 我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 【定理证明】 （1）如图1，已知：在中，对角线相交于，且，求证：是矩形． 【知识应用】 （2）如图2，是的中线，，且，连接，． ①求证：； ②当满足条件___________时，四边形是矩形． 21. 小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y(米)与时间x(分)的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： （1）　　，　　，　　； （2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； （3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，且，满足．一动点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动；动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动．点分别从点同时出发，当点运动到点时停止运动，点随之停止运动．设运动时间为秒． （1）求两点的坐标； （2）当为何值时，四边形是平行四边形？请求出此时两点的坐标． （3）当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 23. 【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于的角）与旋转角的关系． 【问题初探】线段绕点顺时针旋转得线段，其中点与点对应，点与点对应，旋转角的度数为，且． （1）如图（1）当时，线段、所在直线夹角为______． （2）如图（2）当时，线段、所在直线夹角为_____． （3）如图（3），当时，直线与直线夹角与旋转角存在着怎样的数量关系？请说明理由； 【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角_____． 【运用拓广】运用所形成的结论求解下面的问题： （4）如图（4），四边形中，，，，，，试求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西新余市高新区2025-2026学年下学期八年级数学期末质量监测试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是假分数，则自然数可取值的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查假分数的定义，假分数是指分子大于或者等于分母的分数；根据假分数的定义列出关于的不等式，再结合自然数的概念确定的取值． 【详解】解：∵为假分数， ∴且， ∵为自然数， ∴为． 故选：D． 2. 一个保温杯的价格是100元，打八折销售，买两个这样的保温杯比原来便宜（ ）元． A. 20 B. 80 C. 40 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】根据折扣问题列式计算即可． 【详解】解：（元）， 即买两个这样的保温杯比原来便宜40元，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了百分数的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 3. 若一次函数y=(k－3)x－1的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（　　） A. k>0 B. k<0 C. k<3 D. k>3 【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数y＝（k﹣3）x﹣1的图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出k﹣3＜0，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数y＝（k﹣3）x﹣1的图象经过第二、三、四象限， ∴k﹣3＜0， ∴k＜3． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限”是解题的关键． 4. 某快递公司每天上午9:30至10:30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（）之间的函数关系图象如图所示，则从开始，当两仓库快递件数相同时，经过了（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可． 【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：， 根据题意得， 解得， ∴； 设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：， 根据题意得， 解得， ∴， 联立， 解得， ∴当两仓库快递件数相同时，经过了． 5. 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. 在图象的每个象限内，随的增大而增大 D. 若，则0＜ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据反比例函数的性质对选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、， ∴图象必经过点，正确，不符合题意； B、， ∴图象在第一、三象限内，正确，不符合题意； C、， ∴图象在第一、三象限内，在每一象限内y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意； D、∵当时，， ，正确，不符合题意， 故选：C． 6. 如图1，在菱形中，点P为对角线上一动点，沿路径以的速度运动，同时点Q从B出发沿路径以的速度运动．设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示．若，则图2中m的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数图形的性质，根据菱形的性质得到，结合题意，，则，由二次函数图形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 点P的运动路径以的速度运动，点Q的运动路径以的速度运动，设运动时间为， ∴，， 如图所示，过点作于点， 在中，， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，， ∵， ∴， ∴， 故选：C ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 函数的定义域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式成立的条件求解即可. 【详解】解：由题意可得： 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式成立的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是本题的解题关键. 8. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个内角为________度． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和正多边形，首先设此多边形为n边形，根据题意得：，即可求得，再由多边形的内角和除以6，即可求得答案． 【详解】解：设此多边形为n边形， 根据题意得：， 解得：， ∴这个正多边形的每一个内角等于：． 故答案为：120． 9. 若，则______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 10. 已知点都在直线上，那么_________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题关键是掌握当自变量的系数为负数时，y随x的增大而减小，本题依此求解即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵ ∴ 故答案为：． 11. 一件衣服进价为120元，标价为200元，打九折后售出，那么它的盈利率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了盈利率的计算，先求出售价，从而得出利润，最后利用盈利率公式计算即可得解． 【详解】解：售价为（元）， 利润为（元）， 利润率为， 故答案为：． 12. 在矩形中，，，点是折线上的动点（且点不与点重合），当的长为整数时，则的长是___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，点在折线上运动，不与点重合．分两种情况：当点在上运动时，当点在上运动时，分别结合勾股定理计算即可得出结果，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点是折线上的动点（且点不与点重合）， ∴当点在上运动时，如图： ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵的长为整数， ∴当时，，此时（负值不符合题意，舍去），此时； 当时，，此时（负值不符合题意，舍去），此时； 当点在上运动时，如图： ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵的长为整数， ∴当时，，此时（即点与点重合），此时； 综上所述，当为整数时，的长为或或， 故答案为：或或． 三、解答题：本题共11小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 在平面直角坐标系中，点，点，点 （1）若，求点A的坐标． （2）当点A到x轴、y轴的距离相等时，在y轴上存在点D，使，求点D的坐标． 【答案】（1） （2）点D的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由题意得出方程，求出a的值可得出答案； （2）由题意求出或．当时，，如图，过点A作轴于点E，轴于点F，则四边形为正方形，证明，由全等三角形的性质得出，求出；当时，，同理可求出． 【小问1详解】 解：∵点，点，， ∴在y轴的异侧，轴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵点A到x轴、y轴的距离相等时， ∴， ∴或． 当时，， 如图，过点A作轴于点E，轴于点F，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，如图， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 综合以上可得点D的坐标为或． 【点睛】本是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线过x轴上的点A，且与直线相交于点，直线与x轴相交于点C． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）由点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出值，再根据待定系数法可求直线的解析式； （2）由点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点、的坐标，由点、、的坐标利用三角形的面积可求出的面积； 本题考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）将代入中求出值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点、的坐标 【小问1详解】 解：直线过点， ， 解得：， 把代入直线的解析式得， 解得． 故直线的解析式为； 【小问2详解】 解：直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为． 当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为， ， 15. 如图，在正方形中，点M为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，在上作出点E，使； （2）在图2中，在的延长线上作出点F，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，正确作图是解答本题的关键． （1）连接交于点，连接并延长交于点，则点为的中点，可得四边形是平行四边形，则； （2）在（1）的基础上连接交于点，连接并延长交于点，由互相垂直平分得，得，根据证明得，再证明，可证明四边形是平行四边形，可得． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所作． 16. 若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与互为“相关代数式”． （1）若与是互为“相关代数式”，则______ ； （2）若是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值； （3）若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据“相关代数式”的定义列式求解即可； （2）先根据“相关代数式”的定义列式，再结合，都是有理数，求解即可； （3）根据“相关代数式”的定义列式，再结合平方差公式，以及二次根式有意义的条件求解即可． 【小问1详解】 解：与是互为“相关代数式”， ， 则； 【小问2详解】 解：与是互为“相关代数式”， ， ，， ， 则， 即， ，都是有理数， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：代数式与互为“相关代数式” ， 则，  ，即， 则有，解得， 时二次根式有意义， ． 17. 某运动场正在建设中，运动场的环形跑道由两个直道和两个半圆形塑胶跑道组成，直道长米，半圆形最内圏直径长米，每条跑道宽米，共有条跑道（取）． （1）最内圈跑道的长度是多少米？ （2）塑胶跑道的面积是多少平方米？ （3）为了铺设塑胶跑道，采购人员先后到甲、乙两个销售点询问价格，这两个销售点所用材料产品质量相同，购买所产生的费用如下表，请问采购人员在哪个销售点购买最优惠？求出这个最优惠的价格是多少元． 甲销售点： ．每平方米塑胶跑道价格为元； ．购买面积不超过平方米不优惠，超过平方米的部分优惠． 乙销售点： ．每平方米塑胶跑道价格为元； ．购买每满元减元． 【答案】（1）最内圈跑道的长度是米； （2）塑胶跑道的面积是平方米； （3）乙销售点更优惠，这个最优惠的价格是元． 【解析】 【分析】本题考查了圆的周长，圆环面积，长方形面积的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意可知直道总长最内圈圆的周长即为最内圈跑道的长度，然后列式计算即可； （）用两个长方形面积加上圆环面积即可； （）分别求出甲销售点和乙销售点得费用，然后比较即可． 【小问1详解】 解：最内圈跑道的长度： 直道总长：（米）， 圆的周长：（米）， 所以最内圈跑道的长度是（米）， 答：最内圈跑道的长度是米； 【小问2详解】 解：塑胶跑道的面积是 （平方米）， 答：塑胶跑道的面积是平方米； 【小问3详解】 解：甲销售点： （元）； 乙销售点：原价（元） 减免次数为： 所以总费用： （元） 由于， 答：乙销售点更优惠，这个最优惠的价格是元． 18. 已知一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于A、B两点，坐标分别为（—2，4）、（4，—2）． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直线AB上是否存在一点P（A除外），使△ABO与以B﹑P、O为顶点的三角形相似？若存在，直接写出顶点P的坐标． 【答案】（1）y=-x+2 ，y=；（2）AOB的面积为6；（3）（，）． 【解析】 【详解】（1）将点（－2，4）、（4，－2）代入y1=ax+b，得，解得：， ∴y=-x+2 ， 将点（－2，4）代入y2=，得k＝－8， ∴y=； （2）在y=-x+2中，当y＝0时，x＝2， 所以一次函数与x轴交点是（2，0）， 故△AOB的面积为=； （3）∵OA＝OB＝， ∴△OAB是等腰三角形， ∵△ABO与△BPO相似， ∴△BPO也是等腰三角形， 故只有一种情况，即P在OB的垂直平分线上， 设P（x，-x+2） 则， 解得：， ∴顶点P的坐标为（，）. 19. 八年级语文老师对（1）、（2）班学生的语文阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）． 平均数/分 方差 中位数/分 众数/分 合格率 优秀率 （1）班 7.2 2.11 7 6 92.5% c （2班 6.85 4.28 8 a b 10% 根据图表信息．回答问题： （1）（2）班参加测试的人数有___________人，___________，___________，___________； （2）用方差推断：___________班的成绩波动比较大；用优秀率推断：___________班的阅读水平更好些； （3）甲同学用平均数推断，认为（1）班的阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，认为（2）班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些？为什么？ 【答案】（1）40，，， （2）（2）班；（1）班 （3）乙同学的推断比较科学合理，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先通过（2）班优秀人数和优秀率算出（2）班总人数，由（1）班合格人数及合格率算出（1）班人数，再依据众数、合格率、优秀率的定义，结合统计图数据计算对应值． （2）根据方差的大小即可判断出波动的大小；结合合格率和优秀率则要先数值大的，由此即可得答案； （3）结合条形统计图，根据平均分、中位数、众数的优缺点进行解答即可. 【小问1详解】 解：（2）班人数为人人． （2）班分出现次数最多（次 ）， 众数是一组数据中出现次数最多的数 ， ． （2）班合格人数人， ． 设（1）班人数为，合格人数为人，合格率， ， ， ． 故答案为：40，，， 【小问2详解】 解：（1）班的方差为2.11，（2）班的方差为4.28，用方差推断，（2）班的成绩波动较大； （1）班的合格率为92.5% ，优秀率为20%，（2）班的合格率为85%，优秀率为10%， （1）班的合格率与优秀率均比（2）班的大，因此用优秀率和合格率推断，（1）班的阅读水平更好些， 故答案为：（2）班；（1）班； 【小问3详解】 解：乙同学的推断比较科学合理．理由：虽然（2）班成绩的平均分比（1）班低，但从条形图中可以看出，（2）班有3名学生的成绩是1分，它在该组数据中是一个极端值，平均数受极端值影响较大，而中位数或众数不易受极端值的影响，所以，乙同学的推断更客观些． 【点睛】本题考查了数据的收集整理与描述，涉及了平均数，方差，众数和中位数等知识，熟练掌握相关知识以及各自的优缺点是解题的关键. 20. 【课本再现】 我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 【定理证明】 （1）如图1，已知：在中，对角线相交于，且，求证：是矩形． 【知识应用】 （2）如图2，是的中线，，且，连接，． ①求证：； ②当满足条件___________时，四边形是矩形． 【答案】（1）证明：在中，，，则， 在和中， ， ， ， 又， ， 是矩形； （2）①证明：是的中线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴； ②或 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，从而确定，再证明，由全等三角形性质即可得到，由有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证； （2）①由中线定义及，从而得到，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进而由平行四边形性质即可得证； ②同①证法可得四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理，只要是等腰三角形即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）①略 ②是的中线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 由矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，需要补充， 由①可知，， 当满足条件时，四边形是矩形； ， ， 当满足条件时，四边形是矩形； 故答案为：或． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及平行四边形判定与性质、平行线性质、三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质、中线定义、等腰三角形的判定与性质等知识．熟记相关几何性质与判定，并灵活运用是解决问题的关键． 21. 小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y(米)与时间x(分)的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： （1）　　，　　，　　； （2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； （3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？ 【答案】（1）10，15，200 （2）小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米． （3）爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发分钟和20分钟时与小军相距100米． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据时间路程速度，即可求出值，结合休息的时间为5分钟，即可得出值，再根据速度路程时间，即可求出的值； （2）根据数量关系找出线段、所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用3000去减交点的纵坐标，即可得出结论； （3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出的值，即可得出结论； 准确分析图中的数量关系，利用数形结合解决问题是解题的关键． 【小问1详解】 解：(分钟)， (分钟)， (米分)． 故答案为：10；15；200． 【小问2详解】 线段所在直线的函数解析式为； 线段所在的直线的函数解析式为． 联立两函数解析式成方程组， ，解得：， (米． 答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米． 【小问3详解】 根据题意得：， 解得：，． 答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发分钟和20分钟时与小军相距100米． 22. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，且，满足．一动点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动；动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动．点分别从点同时出发，当点运动到点时停止运动，点随之停止运动．设运动时间为秒． （1）求两点的坐标； （2）当为何值时，四边形是平行四边形？请求出此时两点的坐标． （3）当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】（1） （2）当时，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为； （3）当或 时, 是以为腰的等腰三角形； 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形和矩形判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，关键是注意分类讨论，不要漏解. （1）根据非负数的性质得出的值进而得出答案； （2）由题意得: ， ，根据平行四边形的判定可得，再解方程即可； （3）①当时, ，解方程得到的值；②当时， 由题意得：，进而得到方程：，再解方程即可. 【小问1详解】 解：， ，， ∴， ∵,，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图： 由题意得: ， 则:，， ∵， ∴当时, 四边形是平行四边形， ∴， 解得: ， 故当时，四边形是平行四边形， 此时，点的坐标为，点的坐标为； 【小问3详解】 ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况：或， ①当时，如图， 过作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴中： ， ∵， ，即 ， 解得：， ②当时，过作轴于， ∴， 由题意得:， 则， 解得：， ， 综上所述，当或 时， 是以为腰的等腰三角形. 23. 【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于的角）与旋转角的关系． 【问题初探】线段绕点顺时针旋转得线段，其中点与点对应，点与点对应，旋转角的度数为，且． （1）如图（1）当时，线段、所在直线夹角为______． （2）如图（2）当时，线段、所在直线夹角为_____． （3）如图（3），当时，直线与直线夹角与旋转角存在着怎样的数量关系？请说明理由； 【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角_____． 【运用拓广】运用所形成的结论求解下面的问题： （4）如图（4），四边形中，，，，，，试求的长度． 【答案】（1）90°；（2）60°；（3）互补，理由见解析；相等或互补；（4）. 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线如图1，延长DC交AB于F，交BO于E，可以通过旋转性质得到AB=CD，OA=OC，BO=DO，证明△AOB≌△COD，进而求得∠B=∠D得∠BFE=∠EOD=90° （2）通过作辅助线如图2，延长DC交AB于F，交BO于E，同（1）得∠BFE=∠EOD=60° （3）通过作辅助线如图3，直线与直线所夹的锐角与旋转角互补， 延长，交于点通过证明得，再通过平角的定义和四边形内角和定理，证得； 形成结论：通过问题（1）（2）（3）可以总结出旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角相等或互补； （4）通过作辅助线如图：将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，延长，交于点，可得，进一步得到△BDF是等边三角形，，再利用勾股定理求得. 【详解】（1）解：（1）如图1，延长DC交AB于F，交BO于E， ∵α=90° ∴∠BOD=90° ∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD， ∴AB=CD，OA=OC，BO=DO ∴△AOB≌△COD（SSS） ∴∠B=∠D ∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF ∴∠BFE=∠EOD=90° 故答案为90° （2）如图2，延长DC交AB于F，交BO于E， ∵α=60° ∴∠BOD=60° ∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD， ∴AB=CD，OA=OC，BO=DO ∴△AOB≌△COD（SSS） ∴∠B=∠D ∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF ∴∠BFE=∠EOD=60° 故答案为60° （3）直线与直线所夹的锐角与旋转角互补， 延长，交于点 ∵线段绕点顺时针旋转得线段， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴直线与直线所夹的锐角与旋转角互补； 形成结论：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角相等或互补； （4）将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，延长，交于点， ∴旋转角为， ∴，，， ∴△BDF是等边三角形， ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $