精品解析：江西省新余市高新区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年江西省新余市高新区八年级（下）期末数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 把能够围成直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．下列不是勾股数的是（    ） A. ，， B. ， ， C. ，， D. ， ， 3. 如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结 ，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（ ） A. 10 B. C. D. 4. 已知直线与轴交点的坐标为，则关于的不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 5. 我国著名短跑名将张培萌在100米的各级比赛中多次创下骄人战绩，创造了黄种人站在奥运会100米决赛场上的记录，成为无数体育迷的榜样．下表记录了某校4名同学100米成绩的平均数（单位：秒）和方差，根据表中数据，要选一名成绩好又发挥稳定的运动员参加校内比赛，应选择（ ） 队员1 队员2 队员3 队员4 秒 12 14 12 13 3.5 3.5 7.5 8.5 A. 队员1 B. 队员2 C. 队员3 D. 队员4 6. 如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，正确的有（ ） ①； ② ； ③； ④当时， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 若有意义，则字母x应满足的条件为________． 8. 如图所示，直角三角形两直角边，，是斜边上的高，则的长为______． 9. 已知，在菱形中，点E为上一动点，点F是上一动点，连接．若， 是等边三角形，若，则面积的最大值是_______________． 10. 已知数据：， ，，，，，则这组数据的中位数是______． 11. 新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， _____； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ____________________． 12. 如图，等边沿射线向右平移到的位置，连接、，则下列结论：①；②、互相平分；③四边形 是菱形；④，其中正确是_________．（填所有正确答案的序号） 三、解答题：本题共11小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算或化简： （1） （2） （3） （4） 14. 如图，在等腰直角中，，点为边上的两点， ，连接，过点作的垂线角于点，连接． （1）若，，求线段的长度． （2）求证：． 15. 如图，和在线段两侧， 且 ，，求证： ． 16. 已知一次函数 的图象经过两点，． （1）求和的值． （2）求出直线与两坐标轴围成的三角形面积． 17. 在中，，利用直尺和圆规作图． （1）作出边上的中线；（不写做法，保留作图痕迹） （2）作出的角平分线；（不写做法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，若，求的度数． 18. 如图，为的直径，点C是上一点，于点D，连接，．作的平分线，交于点E，交于点F． （1）求证： ． （2）若， ，求的长． 19. 如图，在靠墙的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为 米，墙的总长度为 米，设养鸡场与墙垂直的一边长为，另一边长为 （1）求与函数关系式，并求自变量的取值范围； （2）画出这个函数的大致图象． 20. 从七年级一班和二班各选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投10个球，两个班选手的进球数情况如下表，请根据表中数据回答问题． 进球数 人数 班级 10个 9个 8个 7个 6个 5个 一班 1 1 1 4 0 3 二班 0 1 2 5 0 2 （1）分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数； （2）如果要从这两个班中选出一个班代表年级参加学校的团体投篮比赛，你认为应该选择哪个班？ （3）如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班？ 21. 已知：如图，在直角梯形中，，以为原点建立平面直角坐标系，，，三点的坐标分别为，，，点为线段的中点，动点从点出发，以每秒个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为秒． （1）求直线的解析式； （2）若动点在线段上移动，当为何值时，四边形的面积是梯形面积的； （3）动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围； （4）试探究：当动点在线段上移动时，能否在线段上找到一点，使四边形为矩形？并求出此时动点的坐标． 22. 问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究． 探究一：如图1，在中，，，，，求的面积． 在中，， ． ． 探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含、、代数式表示），写出探究过程． 探究三：如图3，中， ，，，求的面积（用、、表示）写出探究过程． 问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）． 问题应用：如图4，已知平行四边形中， ，，，求平行四边形的面积（用、、表示）写出解题过程． 问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用、、、、、表示），其中 ，，， ， ，． 23. 【问题提出】（1）为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导，如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，设． ①则 　　，　　.(用含x的代数式表示)． ②如图2，过点E作交的延长线于F，构造矩形，连接，此时A、C、E三点共线，的值最小，则的最小值=　　． 【迁移应用】（2）如图3，正方形中，点E在边上，点G在边上，且 ．已知，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江西省新余市高新区八年级（下）期末数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．进行解题即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 把能够围成直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．下列不是勾股数的是（    ） A. ，， B. ， ， C. ，， D. ， ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．对于三个正整数，先找出最大的数，若较小的两个数的平方和等于最大的数的平方，则这组数为“勾股数”，计算即可． 【详解】解：∵，∴，， 是“勾股数”，∴选项A不符合题意； ∵，∴， ，是“勾股数”，∴选项B不符合题意； ∵，∴，， 是“勾股数”，∴选项C不符合题意； ∵，∴ ， ， 不是“勾股数”，∴选项D符合题意； 故选：D． 3. 如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点O作 于点H，作 于点I，连接，证明点P运动的轨迹是线段，作点A关于直线的对称点，当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点O作 于点H，作 于点I，连接，， ∵点O为正方形的中心， ∴，， ∴四边形为正方形，为正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 与都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴E、I、O、P四点共圆， ∴， ∵， ∴点P运动的轨迹是线段， 作点A关于直线的对称点， 当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长， 过点作交延长线于点Q， 同理得四边形为正方形，且边长为4， ∴，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，得到点P运动的轨迹是线段是解题的关键． 4. 已知直线与轴交点的坐标为，则关于的不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，不等式的解法，由直线与x轴交点坐标求出m的值，再解不等式即可. 【详解】解：直线与x轴交点为， 代入得， 解得， ∴原不等式为， 即， 移项得， 两边除以3得 ； 故选：A 5. 我国著名短跑名将张培萌在100米的各级比赛中多次创下骄人战绩，创造了黄种人站在奥运会100米决赛场上的记录，成为无数体育迷的榜样．下表记录了某校4名同学100米成绩的平均数（单位：秒）和方差，根据表中数据，要选一名成绩好又发挥稳定的运动员参加校内比赛，应选择（ ） 队员1 队员2 队员3 队员4 秒 12 14 12 13 3.5 3.5 7.5 8.5 A. 队员1 B. 队员2 C. 队员3 D. 队员4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由平均数和方差做决策，先利用平均数的大小确定成绩好的运动员，然后根据方差的意义，方差小的成绩稳定，从而选出队员． 【详解】解：由题意可知，因为队员1和队员3的平均数比另外两人小，但队员1的方差比队员3的方差小，发挥稳定，则队员1的成绩好且稳定，所以应该选队员1． 故选：A． 6. 如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，正确的有（ ） ①； ② ； ③； ④当时， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据一次函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴，故①选项不符合题意； 由图象可知一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴， ∴，故②选项不符合题意； ∵一次函数与的图象交于点P，且P的横坐标为1， ∴，故③选项符合题意； 由图象可知，当时，，故④选项不符合题意； 综上，正确的选项只有③， 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 若有意义，则字母x应满足的条件为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ， 故答案为： ． 8. 如图所示，直角三角形两直角边，，是斜边上的高，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，三角形面积计算，正确得出的长是解题关键．直接利用勾股定理得出的长，再利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：直角三角形两直角边，， ， ， 则， 解得：． 故答案为：． 9. 已知，在菱形中，点E为上一动点，点F是上一动点，连接．若， 是等边三角形，若，则面积的最大值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理、垂线段最短的性质等知识；根据菱形的性质和等边三角形的性质证明，证明，求出 的最小面积，即可得出的面积最大值． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴和都是等边三角形，由“垂线段最短”可知：当等边三角形的边与垂直时，边最短， 此时，，，． ∴， 又， 同理三角形的高为， 的面积， 则此时的面积就会最大． ∵和 都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ． 故答案为：． 10. 已知数据：， ，，，，，则这组数据的中位数是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．先将这组数据按照从小到大的顺序排列，再根据中位数的概念求解即可． 【详解】解：这组数据从小到大重新排列为 、、、、、， 这组数据的中位数是， 故答案为：． 11. 新定义：对于两个实数、 ，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， _____； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ____________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，一次函数的图象及性质，能够根据定义，画出分段函数的图象，数形结合解题是关键． （1）利用新定义求得即可； （2）根据题意，当时，，当时，，再数形结合解题即可． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：； （2）当时，， 当时，， 如图： 当直线经过点时，， 当与直线平行时，， 时，直线与函数的图象有两个交点， 故答案为： ． 12. 如图，等边沿射线向右平移到的位置，连接、，则下列结论：①；②、互相平分；③四边形 是菱形；④，其中正确是_________．（填所有正确答案的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由、是等边三角形，可求出，继而可判断是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断四边形 是菱形，即③正确，继而判定④正确． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，故①正确； 由①可得， ∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∴、互相平分，故②正确； 由①可得， 故四边形 是菱形，即③正确； 由①知，， ∴, ∴；故④正确． 故答案为①②③④． 【点睛】本题考查了平移的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质及菱形的判定．解答本题的关键是先判断出是等边三角形． 三、解答题：本题共11小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算或化简： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）分别先计算二次根式的乘法与除法，再合并同类二次根式即可， （2）利用乘法公式先计算二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式即可， （3）利用乘法公式先计算二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式即可， （4）利用乘法公式把分子分解，约分后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查的是二次根式的加减乘除的混合运算，掌握运算顺序，运算法则，以及利用乘法公式进行简便运算是解题的关键． 14. 如图，在等腰直角中，，点为边上的两点， ，连接，过点作的垂线角于点，连接． （1）若，，求线段的长度． （2）求证：． 【答案】（1）8 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）首先根据等腰直角三角形的性质以及三角函数得到，，由，得到，然后利用三角函数计算的长； （2）过点 作垂直，交的延长线于，设与交于点，证明，易得，进而可得 ，再证明，可得，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如下图，过点 作垂直，交的延长线于，设与交于点， 则， ∴， ∵， 又∵ ， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 15. 如图，和在线段 两侧， 且 ，，求证： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．根据平行线的性质得出，即可得出，由“ ”可证明，可得 ． 【详解】证明：∵ ， ∴， ∴， 在和 中，， ∴， ∴ ． 16. 已知一次函数 的图象经过两点，． （1）求和的值． （2）求出直线与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把代入 ，根据待定系数法即可求得的值，再把代入求出的值即可； （2）求得直线与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得． 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与两坐标轴的交点坐标，关键是正确求出解析式． 【小问1详解】 解：将代入 得： 解得：， 则一次函数解析式为 ． ∴当时 ， ； 【小问2详解】 ∵ ， ∴当 时，，当时，，解得， 与坐标轴的交点坐标为， ∴此函数与坐标轴围成的三角形面积：． 17. 在中，，利用直尺和圆规作图． （1）作出边上的中线；（不写做法，保留作图痕迹） （2）作出的角平分线；（不写做法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1） 如图，线段即为所求， （2） 如图，线段即为所求作的线段， （3） 【解析】 【分析】本题考查复杂作图、角平分线的定义，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解为简单作图是关键． （1）作的垂直平分线，交于，连接即可； （2）利用基本作图法作出角平分线即可； （3）根据角平分线的定义得到，再由三角形的外角定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 平分，  ， ． 18. 如图，为的直径，点C是上一点，于点D，连接，．作的平分线，交于点E，交于点F． （1）求证： ． （2）若， ，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ； （2） 【解析】 【分析】此题考查了直径的性质，等角对等边，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由直径得到，然后等量代换得到 ，即可推出 ； （2）设，则 ，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 19. 如图，在靠墙的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为米，墙的总长度为 米，设养鸡场与墙垂直的一边长为，另一边长为 （1）求与函数关系式，并求自变量的取值范围； （2）画出这个函数的大致图象． 【答案】（1）； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了考查了一次函数的应用，正确得出与之间的函数关系式是解题关键． （）直接利用矩形的长乘以宽得出其与之间的函数关系即可． （）由“两点确定一条直线”作出函数图象即可，同时注意自变量的取值范围． 【小问1详解】 解：（）由题意可得：， ∵墙长为 ， ∴， 解得：， 故自变量的取值范围是：； ∴； 【小问2详解】 解：由（）知，与函数关系式是． 所以该直线与坐标轴的交点是，， 所以，该函数的大致图象为： ． 20. 从七年级一班和二班各选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投10个球，两个班选手的进球数情况如下表，请根据表中数据回答问题． 进球数 人数 班级 10个 9个 8个 7个 6个 5个 一班 1 1 1 4 0 3 二班 0 1 2 5 0 2 （1）分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数； （2）如果要从这两个班中选出一个班代表年级参加学校的团体投篮比赛，你认为应该选择哪个班？ （3）如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班？ 【答案】（1）一班的平均数是7个，众数是7个，中位数是7个；二班的平均数是7个，众数是7个，中位数是7个 （2）选择二班 （3）选择一班 【解析】 【分析】（1）利用平均数、中位数和众数的定义直接求出； （2）根据方差判断稳定性即可； （3）根据表格数据得出个人发挥的最好成绩进行选择． 【小问1详解】 解：一班进球平均数:（个）， 二班进球平均数：（个）， 一班投中7个球的有4人，人数最多，故众数为7个； 二班投中7个球的有5人，人数最多，故众数为7个； 一班中位数：第五、第六名同学进7个球，故中位数为7个； 二班中位数：第五、第六名同学进7个球，故中位数为7个． ∴一班的平均数是7个，众数是7个，中位数是7个；二班的平均数是7个，众数是7个，中位数是7个； 【小问2详解】 解：一班进球的方差为： ， 二班进球的方差为： ， ∴ ∴选择二班代表年级参加学校的团体投篮比赛较好； 【小问3详解】 解：一班前三名选手的成绩突出，分别进10个、9个、8个球，如果要争取个人进球数进入学校前三名，应该选择一班． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 21. 已知：如图，在直角梯形中，，以为原点建立平面直角坐标系，， ，三点的坐标分别为，，，点为线段的中点，动点从点出发，以每秒个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为 秒． （1）求直线的解析式； （2）若动点在线段 上移动，当 为何值时，四边形的面积是梯形面积的； （3）动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为 ，请直接写出 与 的函数关系式，并指出自变量 的取值范围； （4）试探究：当动点在线段上移动时，能否在线段 上找到一点，使四边形为矩形？并求出此时动点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3） ；； （4）不能．理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形，解直角三角形，矩形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键。 （1）利用待定系数法求解即可； （2）由中点坐标公式得到，求出，根据四边形的面积是梯形面积的，且列式求解即可； （3）当 ，点在 上，；当，在上，，据此列式求解即可；由两点距离计算公式可得 ，当时，如图所示，分别过点B和点P作y轴的垂线，垂足分别为H、G，则，，由勾股定理可得，解直角三角形得到；则可求出，再根据求解即可； （4）过点C作 交于，则，， 求出，若四边形为矩形，则， ，，解直角三角形得到，则，则，证明 ，得到，而，则，则，则，则四边形不能是矩形． 【小问1详解】 解：设所在直线的解析式为， ∵直线过，两点， ∴， ∴， ∴所在直线的解析式是； 【小问2详解】 解：∵点为线段的中点，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵四边形的面积是梯形面积的，且， ∴， 解得； 【小问3详解】 解；当 ，点在 上， ∴； 当，在上， ∴ ； ∵，， ∴， 当时，如图所示，分别过点B和点P作y轴的垂线，垂足分别为H、G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ； 综上所述， ；；； 【小问4详解】 解：不能，理由如下： 过点C作 交于， ∴，， ． 由（2）可得， ， 若四边形为矩形，则， ，， 在 中，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 而，则，则，则， ∴四边形不能是矩形． 22. 问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究． 探究一：如图1，在中，，，，，求的面积． 在中，， ． ． 探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含、 、代数式表示），写出探究过程． 探究三：如图3，中， ，，，求的面积（用、 、表示）写出探究过程． 问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）． 问题应用：如图4，已知平行四边形中， ，，，求平行四边形的面积（用、 、表示）写出解题过程． 问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用、 、 、、、表示），其中 ，，， ， ，． 【答案】，见解析；，见解析；一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半；； 【解析】 【分析】探究二：如图2中，作于．求出高，即可解决问题； 探究三：如图3中，作于．求出高，即可解决问题； 问题解决：（）是a、b两边的夹角）； 问题应用：如图4中，作AH⊥CB于H．求出高，即可解决问题； 问题拓广：如图5，连接，由探究三的结论可得出答案． 【详解】解：探究二：如图2中，作于． ，，， ， 在中， ， ， ， ． 探究三：如图3中，作于． 在中， ， ． 问题解决：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半． 故答案为：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半． 问题应用：如图4中，作于． 在中， ， ． 问题拓广： 连接，由探究三的结论可得：． ． ． 【点睛】本题考查四边形综合题、三角形的面积、平行四边形的面积，锐角三角函数知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 23. 【问题提出】（1）为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导，如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，设． ①则 　　，　　.(用含x的代数式表示)． ②如图2，过点E作交的延长线于F，构造矩形，连接，此时A、C、E三点共线，的值最小，则的最小值=　　． 【迁移应用】（2）如图3，正方形中，点E在边上，点G在边上，且 ．已知，求的最小值． 【答案】（1）①　，；② 10；（2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得； ②求出的值便是的值最小； （2）过点E作 于点H，证明，得出，，设 ，则，由勾股定理表示出，，从而得出，由（1）②的方法可求的最小值． 【详解】解：（1）① ，， ∴， ∵， ，，， ∴由勾股定理得：，； 故答案为：　，； ②根据题意可得，四边形为矩形， ∴， 在中，，，， ，即的最小值为 ， 故答案为：10； （2）过点E作 于点H，如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵ ， ∴四边形 为矩形， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设 ，则， ∴，， ∴， 由（1）②的方法可求的最小值为，即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $