卷13 九下第一章 直角三角形的边角关系 综合检测卷-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（北师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件聚焦直角三角形的边角关系，系统梳理锐角三角函数定义、特殊角值及解直角三角形应用，通过典型例题解析和“上分技巧”总结，帮助学生构建从概念到实际应用的知识网络。 其亮点在于融入新情境与跨学科问题，如“飞梯”高度计算、物理单摆运动分析等，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过基础题到探究题的分层设计，助力教师实施个性化复习，有效提升学生知识应用与逻辑推理能力。

数 学 九年级全一册 BS 1 2 3 卷13 九下第一章综合检测卷 考查内容：直角三角形的边角关系 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） （第1题图） 1.[2026安徽合肥月考]如图，中， ， ， ，则 的值为( ) D A.3 B. C. D. 【解析】由条件可得 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2026安徽淮南月考]在中， ，，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】在中， ，，故可设， ， 则， .故选B. 上分技巧 设参法 已知直角三角形中两条边的长度关系时，可通过采用设参数的方法，并结合勾股 定理表示出三角形的三条边的长，再根据锐角三角函数的定义求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 （第3题图） 3.新情境 [2026吉林长春月考]许多大型购物中心为了引导人流 前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超 长的自动扶梯）.某大型购物中心的“飞梯”从3层直达7层，“飞 梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为 ，则高 是( ) A A. 米 B. 米 C.米 D. 米 【解析】在中， ，米， ， 米.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 4.[2025云南模拟]在中，,均为锐角,若 ， 则 的度数是( ) C A. B. C. D. 【解析】，， ， ，,均为锐角， ， ， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 5.[2026湖北襄阳期末]在平面直角坐标系的第一象限内有一点，若射线 与轴正半轴的夹角为 ，则( ) C A. B. C. D. 【解析】如图所示，过点作轴于点.由 可知 ，， ， ． 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 6.[2026江苏徐州月考]在中，如果各边的长度都缩小至原来的 ，那么锐 角 的各个三角函数值( ) B A.都缩小至原来的 B.都不变 C.都扩大至原来的5倍 D.无法确定 【解析】当各边的长度都缩小至原来的 时，新三角形与原三角形对应边 成比例，则新三角形与原三角形相似，所以两三角形对应角相等，所以锐角 的大 小不变.因为锐角的各个三角函数值只与角的大小有关，与角的边长无关，所以锐 角 的各个三角函数值都不变.故选B. 上分心得 锐角的三角函数值 锐角的各个三角函数值只与角的大小有关，与角的边长无关. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 7.[2026四川绵竹月考]如图，某拦水坝的横断面为梯形， ，斜坡 的坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度 的比.根据图中数据，可 得斜坡 的长为( ) B （第7题图） A. B. C. D. 【解析】，，. ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第8题图） 8.[2026浙江金华月考，中]如图，在中， ， ，为上一点，且，于点 ，连 接，则 的值等于( ) A A. B. C. D. 【解析】， ，，. ， ，.设 ， ， ， ，， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 9.[2026河南平顶山期末，中]如图，一条笔直的东西走向的公路的北边有一个建筑 物，小明在公路上的点处测得建筑物在北偏东 的方向上；小明向东走20 米到达点处，测得建筑物在北偏东 方向上，则建筑物 到公路的距离为 ( ) B （第9题图） A.10米 B.米 C.15米 D. 米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】如图，过点作 直线于点.由题意得 ， ， ， ， ， 米,故建筑物到公路的距离为 米.故选B. （第9题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第10题图） 10.[2026湖南衡阳期末，偏难]如图所示，在四边形 中， ，，为中点，动点从点出发沿 向 终点运动，连接，，取中点，连接 ，则线段 的最小值等于( ) C A.4 B.3 C.2 D.1 （第10题图） 【解析】为的中点，为的中点，为 的中 位线，如图，过点作于点，则当点 与点重合时，的值最小，则的值最小.在 中， ，，，的最小值为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.[2026陕西西安月考]在中，，，所对的边分别为，， ， ，，，则____， ___.（每空2分） 6 【解析】由题意得， .在 中，由勾股定理得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 12.[2026山东聊城月考]比较大小： ___ .（填“ ”“”或“ ”） 【解析】 ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 13.跨学科问题 [2025吉林松原模拟]如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆 动过程中抓拍了两个瞬时状态，从处测得，两点的俯角 ， 分别为 和 ，若摆绳（无弹性）的长度为，则此时点相对于点 升高 了__________ . （第13题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为 ，如图.由题 意得., ， .在中， . 在中， ， ，即点相对于点升高了 .故答案 为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 14.[2026山东烟台期中，中]如图，在中，，，点 在 的延长线上，和的平分线交于点，连接，则 的值是_ __． （第14题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 【解析】过点作于点，， , ， ， .和的平分线交于点，过点分别作 交 于点，交于点，交延长线于点, , ,,平分， ， ， ， ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 （第15题图） 15.[2026山东枣庄期末，中]如图， 的顶点是正方形网格的 格点，则 的值为_ __. 【解析】如图所示，取格点，连接 .设每个小正方形的边长均为1， 易知，， ， ，，，， 是直 角三角形，且 ， 在中， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 上分技巧 在网格中求锐角三角函数值的方法 在网格中求某一锐角的三角函数值时，要借助网格的特点，将涉及的锐角放在某 格点直角三角形中，结合网格的单位长度求出直角三角形的各边长，再利用锐角 三角函数的定义求值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 16.[2026湖北武汉期末，难]如图，在中， ， ，点 ，分别是，上的点，且于，若， ，连接 ，则 的长为____. （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 【解析】如图，过点作，交延长线于点 ，则 , ， ， ， ，， 由勾股定理易得 . ，, ， ， . , ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 ， ， ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2026天津河西区月考]（8分）计算： （1） ；（4分） 【解】原式 .…………（4分） （2） .（4分） 【解】原式 . …………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 18.[2026浙江诸暨月考]（10分）如图所示，在 中， ，是边上的高线，是的中点，连接 ，已 知， . （1）求 的长；（5分） 【解】 ，， ， .…………（1分） ， ， .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 （2）求 的值.（5分） 【解】 ，是 的中点， .…………（7分） 在中， . …………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 19.跨学科问题 [2026江苏南京期中]（10分）如图（1）是小伟同学为准备实验考 试组装的制取氧气的实验装置，图（2）是此实验装置的示意图，已知试管 ，，试管倾斜角 为 .实验时，导气管紧贴水槽壁 ， 延长交的延长线于点，且,（点，，， 在同一条直 线上），测得，， ，请求出铁架台与水槽 之间的水平距离结果精确到，参考数据： ， ， 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 【解】如图，过点作于点，作于点 .…………（1分） ， ， . 易得 ， ， .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 ， . ，， , 四边形 是矩形， ， .…………（6分） ，， ， , , ,…………（8分） . …………（9分） 答：铁架台与水槽之间的水平距离约为 ．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20.项目式学习 [2026广东深圳期末]（12分）根据以下素材，探索完成任务.#1 探究车牌识别系统的识别角度 素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造了一个地下停车库．图（1）是 该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高 , ，出入口斜坡长 ________________________________________________________________ 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 探究车牌识别系统的识别角度 素材2 地下停车库门口安装了车牌识别设备，如图（2），摄像头位于点 正 上方，，，， 三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别 区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门 即会自动打开，车辆 通过后，闸门才会自动关闭 __________________________________________________________________________ 素材3 汽车从地下停车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速 图（2） 续表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 问题解决#1.1.1 任务一 确定斜坡坡度：如图（1），求 的值（5分） 【解】，， ， ， .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 任务二 判断车辆能否顺利通过：如图（2），当 时，请判断此时车 辆以最高限速行驶到达点时，闸门是否已经打开，并说明理由 参考数据： ，，分 【解】闸门没有打开.…………（6分） 理由如下：如图，过点作于点 . ， ， 可设，则 . ，， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 ，…………（8分） ， ， , . ,，解得 ， .…………（10分） , 车辆以最高限速行驶到达点所需的时间为 . ， 闸门没有打开.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21.[2026重庆校级期中]（12分）如图是某湿地公园 健身步道示意图．小明准备从点 出发到公园广场点 处玩耍，已知从点到点 有两条路线可以选择： ；．经勘测， 在的正东方向，且在的正南方向450米处，在 的 正北方向360米处，在的南偏西 方向，在 的东南方向，，分别在， 的正东方向且 米．参考数据：， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （1）求路线①的长度．（结果精确到个位）（5分） 【解】如图，过点作于点 ． 由题意易得四边形是矩形，米， ， 米， （米），…………（3分） 路线①的长度为 （米）． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 答：路线①的长度约为1 369米.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （2）［中］由于路线②道路较窄，平均步行速度为 ，路线①平均步行速 度为，请通过计算说明小明选择哪条路线才能尽快到达广场点 处．（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 【解】如图，过点作于点 . 由题意易得四边形是矩形，米， ， 米， ， 米， 米. 由（1）可得 （米）， 米， 米， 米， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 路线②的长度为 米，…………（8分） 走完路线②需要的时间为 ，走完路线①需要的时间为 .…………（10分） ， 小明选择路线①才能尽快到达广场点 处． …………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 22.探究性问题 [2026四川内江月考]（14分）在学习锐角三角函数时，小明同学 对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚 的兴趣，并进行了一些探究. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 （1）初步尝试： 我们知道____， _ __. 发现结论 ___ （填“”或“ ”）.（每空1分） 【解】根据特殊角的三角函数值得， . ， . 故答案为，， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 （2）［中］在中， ，，，求 的值. 研究思路：小明想构造包含的直角三角形，于是延长至 ，使得 ，连接，如图，所以得到，即转化为求 的正切值，那 么 __.（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 【解析】延长至，使得，连接 ， ，， . 在中，， ， 由勾股定理得 ， ， ， 在中， ， .故答案为 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 （3）［难］在中，为锐角，，， ,求 的值.（8分） 【解】过点作于点，在上截取 ，使得 ，连接 ，如图所示. ,,是线段 的垂直平分线， ， . ， ， ， ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 在中，， 设，则 ， ， ， ， ， , ， . 在中，由勾股定理，得 , ，…………（11分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 整理，得，解得或 （不合题意，舍去）， ， . …………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $