第一章 直角三角形的边角关系 章末小结 课件 -2026--2027学年北师大版九年级数学下册

章末小结 第一章 直角三角形的 边角关系 实际背景 锐角三角函数的意义 锐角三角函数的计算 解直角三角形 一般锐角的三角函数值 由三角函数值求锐角 30°,45°,60°角的三角函数值 利用三角函数解决实际问题 单元知识梳理 知识点1 锐角三角函数 一、锐角三角函数： 1.定义：在Rt△ABC中， ∠A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作tan A，tan A = ， ∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sin A，sin A = ∠A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作cos A，cos A = 。 2.锐角三角函数 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。当锐角A变化时，相应的正弦值、余弦值和正切值也随之变化。 单元知识梳理 2.锐角三角函数之间的关系： 锐角A的三角函数之间的关系： 互余两角的三角函数之间的关系(∠A + ∠B = 90°)： sin²A + cos²A = 1， tan A = 。 sin A = cos B = cos(90° − ∠A)， cos A = sin B = sin(90° − ∠A)， tan A · tan B = 1。 知识点1 锐角三角函数 单元知识梳理 3.特殊角的三角函数值：  ∠α 三角函数 sin α cos α tan α 30°       45°       60°       1 知识点1 锐角三角函数 单元知识梳理 知识点1 锐角三角函数 4.三角函数值的计算——利用计算器： 求一般锐角的三角函数值，要用到sin，cos和tan键； 由三角函数值求锐角，要用到sin，cos，tan键的第二功能“sin⁻¹”“cos⁻¹” “tan⁻¹” 和↑键。 单元知识梳理 5.应用： 坡度：斜坡起止点的高度差与水平距离的比值称为坡度，常用i表示。 坡度是坡角的正切。 i = tan α = 。 知识点1 锐角三角函数 梯子的倾斜程度 tan A的值越大，梯子越陡； sin A的值越大，梯子越陡； cos A的值越小，梯子越陡。 （坡度越大，坡面越陡） 单元知识梳理 在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC׃AB = 2 ׃ 3，求∠A的三角函数值。 解：如图，由BC ׃ AB = 2 ׃ 3，可设BC = 2x，AB = 3x(x>0)。 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC = = = x。 由锐角三角函数的定义可知， sin A = = = ， cos A = = = ， tan A = = = 例1 知识点1 锐角三角函数 单元知识梳理 计算：(1) (2cos 45° − sin 60°) + ； (2) cos 45° − (tan 40° + 1)0 + + sin 30°； (3) + − 。 解：(1)原式 = ×(2× − ) + = ×( − ) + = 2 − + = 2； (2)原式 = × − 1 + + = − 1 + 1 = ； (3)原式 = + − |1 − | = ()× + − (−1) = − + − + 1= 。 例2 知识点1 锐角三角函数 单元知识梳理 如图，小明从点A出发，沿着坡度 i 为1 ׃ 2.4的坡道AB向上走了130 m到达点B， 再沿着水平平台BC向前走了80 m到达点C， 最后沿着坡角为36.8°的坡道CD向上走了150 m到达点D。 (1) 当小明到达点B时，求他沿垂直方向上升的高度； (2) 求点A，D间的水平距离AE的长。 (参考数据：sin 36.8°≈ 0.6，cos 36.8°≈ 0.8，tan 36.8°≈ 0.75) 例3 知识点1 锐角三角函数 单元知识梳理 解：(1) 如图，过点B作BF⊥AE于点F，设BF = x m， ∵坡道AB的坡度为1 ׃ 2.4， ∴AF = 2.4x m， 在Rt△ABF中，AB² = BF² + AF²， ∴130² = x² + (2.4x)²， 解得x = 50(负值已舍去)， ∴他沿垂直方向上升的高度为50 m。 知识点1 锐角三角函数 单元知识梳理 (2) 如图，延长BC交DE于点H，则CH⊥DE， 易知四边形BFEH为矩形，∴BH = FE。 由(1)可知AF = 2.4x = 120(m)。 在Rt△DCH中，CD = 150 m，∠DCH = 36.8°， ∴CH = CD · cos∠DCH ≈ 150×0.8 = 120(m)， ∴FE = BH = BC + CH = 80 + 120 = 200(m)， ∴AE = AF + FE = 120 + 200 = 320(m)， ∴点A，D间的水平距离AE长约为320 m。 知识点1 锐角三角函数 单元知识梳理 郑国渠旅游风景区内的泾河大峡谷被誉为“关中第一大峡谷”，它是泾河长期冲刷切割形成的自然景观，如图(1)。小晨想借助无人机测量某段峡谷的宽度，于是他进行了如下操作：如图(2)，无人机在峡谷上方的点C处测得峡谷边缘A处的俯角为36.9°，测得与A处正对的峡谷边缘B处的俯角为60°(A，B，C三点在同一竖直平面内，A，B在同一水平线上)，并测得点C到点A的距离为100 m，求该段峡谷两端A，B间的距离(结果保留整数)。 (参考数据：sin36.9°≈0.60， cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈ 0.75， ≈1.41，≈1.73) 例4 知识点1 锐角三角函数 图1 图2 单元知识梳理 解：如图，分别过A，B作AE，BF垂直于过点C的水平线，垂足分别为E，F，连接AB。 在△AEC中，∠AEC = 90°，∠ACE = 36.9°，AC = 100 m， ∴AE = AC · sin∠ACE = 100×sin 36.9°≈ 60(m)， CE = AC · cos∠ACE = 100×cos 36.9°≈ 80(m)。 ∵A，B在同一水平线上，∴四边形AEFB是矩形， ∴FB=AE=60m，AB=EF。 在△BCF中，∠BFC = 90°，∠BCF=60°，FB= 60m， ∴CF = = = 20 ≈34.6(m)， ∴EF=EC+CF= 80+34.6=114.6≈115(m)，∴AB=EF=115m。 答：该段峡谷两端A，B间的距离约为115 m。 知识点1 锐角三角函数 单元知识梳理 二、解直角三角形 1.定义：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形。 知识点2 解直角三角形 单元知识梳理 知识点2 解直角三角形 2.直角三角形中各元素之间的关系（依据）： 元素之间的关系(△ABC，∠C = 90°) 锐角之间的关系 三边之间的关系  边角之间的关系 ∠A + ∠B = 90° a² + b² = c²(勾股定理) sin A = ，cos A = ，tan A = ， sin B = ，cos B = ，tan B = 。 单元知识梳理 3.解直角三角形的类型及基本解法： 已知条件 示意图 解法 两边   (1)两条直角边a，b (2)斜边和一条直角边(如a ，c) ①由tan A = 求∠A； ②∠B = 90°−∠A； ③c = 。 ①由sin A = = cos B 求∠A，∠B； ② = 。 知识点2 解直角三角形 单元知识梳理 已知条件 示意图 解法 一边 一锐角 (3)一个锐角及其对边(如a，∠A) (4)一个锐角及其邻边(如b，∠A) (5)一个锐角及斜边(如∠A，c) ①∠B = 90°−∠A； ②c = ， = 。 ①∠B = 90°−∠A； ②a = btan A，c = 。 ①∠B = 90°−∠A； ②a = csin A，b = ccos A。 知识点2 解直角三角形 单元知识梳理 如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = 8，AD为∠BAC的平分线，且AD = ，解直角三角形ABC。 解：∵在Rt△ACD中，AC = 8， AD = ， ∴cos∠CAD = = = ， ∴∠CAD = 30°。 ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC = 2∠CAD = 2×30° = 60°， ∴∠B = 90° − ∠BAC = 30°， ∴AB = = = ， BC = = = 8。 例5 知识点2 解直角三角形 单元知识梳理 如图所示，在△ABC中 ，AB = 1，AC = ，sinB = ，求BC的长。 解：如图所示，过点A作AE⊥BC，垂足为E。 在Rt△ABE中，∵sinB = = ，AB = 1， ∴AE = ABsinB = ， ∴BE = = 。 在Rt△ACE中，AC = ， ∴CE = = ， ∴BC = BE + CE = 。 例6 知识点2 解直角三角形 单元知识梳理 如图(1)，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起。 起始位置示意图如图(2)，此时测得点A到BC所在直线的距离AC = 3 m，∠CAB = 60°，停止位置示意图如图(3)，此时测得∠CDB = 37°(点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行，图(3)中所有点在同一平面内。定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变)。(参考数据：sin 37°≈ 0.60，cos 37°≈ 0.80，tan 37°≈ 0.75，≈ 1.73) (1)求AB的长； (2)求物体上升的高度 CE(结果精确到0.1 m)。 例7 知识点2 解直角三角形 单元知识梳理 解：(1)如图(2)，在Rt△ABC中，AC = 3 m，∠CAB = 60°， ∴∠ABC = 30°， ∴AB = 2AC = 6 m，故AB的长为6 m。 (2)如图(3)，在Rt△ABC中，AB = 6 m，AC = 3 m， 根据勾股定理得BC = = = 3(m)。 在Rt△BCD中，∠CDB = 37°， ∴sin∠CDB = ≈ 0.60，即 ≈ 0.60， ∴BD ≈ 8.65 m， ∴CE = BD − AB ≈ 8.65 − 6 = 2.65 ≈ 2.7(m)。 答：物体上升的高度CE约为2.7 m。 知识点2 解直角三角形 单元知识梳理 知识点3 三角函数的应用 三、利用三角函数解决实际问题 1.与方位角有关的问题： 方位角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于90°的角。 单元知识梳理 知识点3 三角函数的应用 三、利用三角函数解决实际问题 2.与仰角、俯角有关的实际问题： 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角。 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角。 单元知识梳理 知识点3 三角函数的应用 三、利用三角函数解决实际问题 3.与坡度有关的实际问题： 坡度：斜坡起止点的高度差与水平距离的比值。 坡度是坡角的正切。用i表示：i = tanα = 。 单元知识梳理 知识点3 三角函数的应用 4.利用三角函数解决实际问题的一般步骤 一审题：弄清题中的名词、术语（仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等）的意义，根据题意画出示意图，建立数学模型； 二转化：将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题； 三计算：构造和利用直角三角形，选择合适的三角函数进行计算； 四作答：按照题目要求的精确度确定答案（注意单位），并得到实际问题的答案。 单元知识梳理 如图，山区某教学楼后面紧邻着一个山坡，坡顶平面BC平行于地面AD，斜 坡AB的坡度为 i = 1 ׃ ，且AB = 26米。为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对 该山坡进行改造。经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡。 (1)求改造前坡顶与地面的距离BE的长； (2)为了确保山体不滑坡，学校计划将斜坡AB改造成AF(如图所示)，那么BF至少是多少米?(结果精确到1米，参考数据：sin 53°≈ 0.80，cos 53°≈ 0.60，tan 53°≈ 1.33) 例8 知识点3 三角函数的应用 单元知识梳理 解：(1)∵斜坡AB的坡度为i = 1 ׃ ， ∴BE∶EA = 12∶5。 设BE = 12x(x>0)米，则EA = 5x米， 由勾股定理，得BE² + EA² = AB²，即(12x)² + (5x)² = 26²，解得x = 2， ∴BE = 12×2 = 24(米)。 答：改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米。 知识点3 三角函数的应用 单元知识梳理 (2)如图，过点F作FH⊥AD于点H， 则FH = BE = 24米，FB = HE。 在Rt△FHA中，tan∠FAH = ， 当BF最短时，坡角在安全范围内取最大值， 即∠FAD = 53°， ∴AH = ≈ ≈ 18.0(米)， 由(1)知，AE = 5×2 = 10(米)， ∴BF = HE = AH − AE ≈ 18.0 − 10 = 8(米)。 答：BF至少是8米。 知识点3 三角函数的应用 单元知识梳理 某天，我国两艘海监船刚好在某岛海岸线上的A，B两处巡逻(B处在A处的正西方向)，同时发现一艘可疑的船只停在C处海域。如图所示，AB = 60( + ) 海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，在A处测得C在北偏西30°的方向上，在直线AB上有一灯塔D，测得AD = 120()海里。 (1)分别求出A与C及B与C的距离AC，BC。(结果保留根号) (2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，在A处的海监 船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险?请说明理由。 (参考数据： ≈ 1.41， ≈ 1.73， ≈ 2.45) 例9 知识点3 三角函数的应用 单元知识梳理 解：(1)如图所示，过点C作CE⊥AB于点E， 设AE = x海里(x>0)， ∵在Rt△ACE中，∠CEA = 90°，∠ACE = 30°， ∴CE = x海里，AC = 2x海里。 ∵在Rt△BCE中，∠BEC = 90°，∠BCE = 45°， ∴BE = CE = x海里，BC = x海里。 ∵AB = AE + BE， ∴x + x = 60( + )，解得x = 60。 ∴AC = 120海里，BC = 120海里。 答：A与C的距离AC为120海里，B与C的距离BC为120海里。 知识点3 三角函数的应用 E 单元知识梳理 (2)没有触礁的危险。理由如下： 如图，过点D作DF⊥AC于点F。 ∵在Rt△AFD中，∠DAF = 60°， ∴DF = AD · sin∠DAF = AD = ×120( − ) = 60(3 − )≈ 106.8(海里)。 ∵106.8>100， ∴在A 处的海监船沿AC前往C处盘查，途中没有触礁的危险。 知识点3 三角函数的应用 E F 单元知识梳理 综合实践活动中，要用无人机和测角仪测量天津西站小洋楼AB的高度，如图(1)。某学习小 组设计了一个方案：如图(2)，点B，E，C依次在同一条水平直线上，AB⊥BC，CD⊥BC。无人机在E处垂直起飞至H点，测得楼顶A的仰角是45°，一位同学在离E点16 m的C处，在D处用测角仪测得无人机H处的仰角为17°，测得小洋楼顶部A的仰角为35°，测角仪CD = 1.5 m。(参考数据：tan 17°≈ 0.3，tan 35°≈ 0.7) (1)计算无人机从地面起飞到H点的高度(结果取整数)。 (2)计算天津西站小洋楼AB的高度(结果取整数)。 例10 知识点3 三角函数的应用 单元知识梳理 解：(1)如图，过点D作DG⊥AB于点G，交EH于点M，则四边形BGDC是矩形。 ∵HE∥AB， ∴ DG⊥HE， ∴四边形CDME是矩形， ∴DM = CE = 16米，CD = EM = BG = 1.5米。 在Rt△HDM中，∠HDM = 17°， HM = DM · tan∠HDM = DM · tan 17°≈ 16×0.3 = 4.8(米)， ∴EH = HM + EM = 4.8 + 1.5 ≈ 6(米)。 故无人机从地面起飞到H点的高度约为6米。 知识点3 三角函数的应用 单元知识梳理 (2)如图，过H作HF⊥AB于点F，则四边形FGMH是矩形， ∴HF = MG，GF = HM = 4.8米。 在Rt△AFH中，∠AHF = 45°，AF = HF · tan∠AHF = HF · tan 45° = HF = MG， ∴DG = MG + DM = AF + 16。 在Rt△AGD中，∠ADC = 35°，tan∠ADG = ， ∴0.7 ≈ ， ∴AF ≈ 21.3(米)， ∴AB = AF + GF + BG = 21.3 + 4.8 + 1.5 ≈ 28(米)。 故天津西站小洋楼AB的高度约为28米。 知识点3 三角函数的应用 单元知识梳理 $