第1章 直角三角形的边角关系（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级下册

第1章 直角三角形的边角关系 教学目标 1.理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的意义，知道三角函数值只和锐角大小有关，与直角三角形边长无关。 2.熟记 30°、45°、60° 特殊角的三角函数值，能进行相关计算，也能由特殊三角函数值求出对应锐角；会用计算器求三角函数值、由三角函数值求锐角。 3.掌握解直角三角形的含义，能利用三边关系、两锐角互余、边角三角函数关系，在已知合适条件下求出直角三角形其余未知元素。 4.认识仰角、俯角、方向角、坡角、坡度，能建立直角三角形模型，解决测量、航海、坡面等实际应用问题，会处理含两个直角三角形的综合问题。 5.经历从探究倾斜程度到抽象出锐角三角函数的过程，体会函数思想；在解直角三角形、解决实际测量问题中，感受数形结合、转化、建模思想；学会把斜三角形、复合图形通过作垂线构造直角三角形求解；在双直角三角形问题中，学会设未知数，借助公共边列方程解题，提升几何推理与运算能力。 6.体会三角函数作为定量刻画角度倾斜程度的工具价值，感受数学在测量、工程中的应用；养成先画图标注条件、规范书写、检验结果是否符合实际的习惯；感受边角之间的内在联系，培养严谨的推理意识。 教学重难点 1.重点 （1）正弦、余弦、正切的定义，在直角三角形中求锐角三角函数值。 （2）30°、45°、60° 特殊角三角函数值的识记与运算。 （3）解直角三角形，合理选择三角函数关系式进行计算。 （4）仰角、俯角、方向角、坡度、坡角的理解，运用三角函数解决实际应用问题。 2.难点 （1）理解锐角三角函数的函数本质：自变量是锐角，函数值是边长的比值。 （2）在非直角图形中，添加辅助线构造直角三角形，找准角的对边、邻边。 （3）读懂实际情境，准确画出示意图，解决共边的双直角问题，利用方程思想求解。 （4）区分坡度（比值）与坡角（角度），准确理解方向角、仰角俯角。 （5）解题时合理选择关系式，减少近似计算带来的误差。 知识点01 锐角三角函数 1.正切：在Rt△ABC中，若果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫作∠A的正切（tangent），即tanA=。 2.正弦：∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦（sine），记作sinA，即：sinA=。 3.余弦：∠A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦（cosine），记作cosA，即：cosA=。 锐角A的正弦、余弦和正切都是三角函数（trigonometric function）。 当锐角A变化时，三角函数的值也随之变化； tanA的值越大，梯子越陡； sinA的值越大，梯子越陡； cosA的值越小，梯子越陡。 4：三角函数特殊值： α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 【即学即练】 1.（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据，得到， A. ，正确，不符合题意；    B. ，本选项错误，符合题意；     C. ，正确，不符合题意；    D. ，正确，不符合题意；故选：B． 2.（26-27九年级下·山东·单元复习）如图，在中，，已知，，求的长． 【答案】 【详解】解：设，在中，，根据正弦定义得， 则，由勾股定理，得， 代入，，，得，解得（负值已舍去），即． 3.（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）计算： (1)；(2)． (3)已知是锐角，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解：∵已知是锐角，， ∴， ∴ 4．（26-27九年级上·山东·专项训练）填空： （1）在中，，，．______________． （2）如图，P是的边上一点，且点P的坐标为．______________． （3）如图为某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的示意图，，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长为．乘电梯从点B到点C上升的高度h为______________m． （4）_____；_____；______；_____． （5）某海域有相距10海里的两个小岛A和B，另有一小岛C，测量得，．A，C两岛间的距离为______________海里． （6）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向、距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．海轮行驶的路程为______________海里．（结果保留根号） （7）如图，在中，，，平分．若，则______________． 【答案】（1） （2） （3）4 1 1 （4） （5）20 （6） （7）3 【详解】（1）∵在中，， ∴，∴． （2）过点作轴垂线，∴。 ∴． （3） 过点作的垂线，垂足为E，得到上升高度． ∵，∴， ∴． （4） 代入特殊角三角函数值计算： ∵，，∴； ∵，∴； ∵，，∴； ∴． （5）∵在中，，，∴．∴海里． （6）过点作的垂线，垂足为， ∵在中，，，∴海里； ∵在中，，， ∴海里； ∴海里． （7）∵ 在中，，，∴。 ∵平分，∴， ∴，∴．∴． 知识点02 解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形。 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦。 【即学即练】 1．（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，平分，，．(1)求的长；(2)求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：在中，，，，，， 在中，，，，由勾股定理得：； （2）解：过点D作交于点E，则，如下图所示， 平分，，，，， ，，， 在中，，，由勾股定理得：， 即，， 整理得：，解得：， ． 2．（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，点D是的中点，连接，，，，．(1)求的长；(2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，，∴，， ∴，． 在中，，∴，∴； （2）解：已知是中点，∴． ∵，∴．在中，． 3．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在中，点是的中点，，且，．(1)求的长；(2)求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，，又∵点是的中点，∴． （2）解：如图，延长，，交于点，连接， ∵，，∴，∵四边形是平行四边形， ∴，，∴，，∵点是的中点，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，又∵，，∴， ∵，∴在中，，∴， 又∵，即点是的中点，∴（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，，∴． 4．（26-27九年级下·山东·专项训练）在学习北师版九年级下册第一章时，小华同学对一个角与其倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，并进行了研究． (1)【实践探究】在解决“如图①，若在中，，，，求的值”这一问题时，小华想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，则，即转化为求的正切值．请按小华的思路求出的值． (2)【拓展延伸】如图②，若在中，，，，则： ①的值为 ；②的值为 ． 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）解：在中，，，， ，，，， ． （2）解：①如图，作的垂直平分线交于点，连接，则， ∴，， 在中，，，，∴， ，，设，则， 在中，，∴，解得，即， ，． ②如图，作交于点，使，∴， 则，设，则， ，设点到，边上的距离为，∴， ∵，，即，， 在中，，即， 解得，（不合题意，舍去），∴，∴， ． 知识点03 三角函数的应用 1．仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，如图1。 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角，如图1。 图1 图2 图3 2．坡度和坡角 坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），如图2，记作i=。 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图2，记作α，i=tanα． 坡度越大，α角越大，坡面越陡。 3．方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角，如图3。 4．解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解。 【即学即练】 1．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． (1)求的长度（结果保留根号）；(2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ，， ，，； （2）解：如图，设， ，， 该智能巡检机器人的行驶速度为． 2.（26-27九年级上·广东·期中）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底处出发，向前走米到达处，测得树顶端的仰角为，他又继续走下台阶到达处，测得树的顶端的仰角是，再继续向前走到大树底处，测得食堂楼顶的仰角为，已知点离地面的高度米，，且三点在同一直线上．(1)求树的高度；(2)求食堂的高度． 【答案】(1)米；(2)米． 【详解】（1）解：设，∵，，∴， ∵，∴，∴是直角三角形， ∵，∴，∴，， ∴，∴中，，即，解得，∴树的高度为米； （2）解：延长交延长线于点，则， 由（）知，， ∴，∵，且，∴， ∴，∴食堂的高度为米． 3．（25-26九年级·吉林·专题练习）年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：在中，，，， ，故眼睛A与屏幕的距离约为； （2）解：延长交于点M，由题意可知：， ∴四边形为矩形，∴，， ，，在中，，， ， ，故桌面到地面的距离约为． 4．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为．（图中所有点均在同一平面内，点，，在同一直线上，点，，，在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长，结果保留位小数） （参考数据：，，，，，） 【答案】调整后的滑梯会多占约的一段地面 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴，在中，， ∴，∴， 在中，， ∴，∴， ∴，答：调整后的滑梯会多占约的一段地面． 5．（2026·吉林四平·模拟预测）综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度． 【问题背景】如图，村到公路的乡村小路为，为进一步方便通行，现准备新建一条公路，连接村和公路（所在的直线为）． 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等． 【测量过程】测得，且点在同一平面上． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：． 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路的长． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，过作于点 四边形为矩形，， 在中，， ， 答：新建公路的长约为． 题型01 三角函数的概念辨析 【典例1】（26-27九年级下·广东·课后作业）在中，，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 斜边为，， C选项中，与不符， C选项等式不成立． 【变式1】（26-27九年级下·山东·课后作业）在中，，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 斜边为，， C选项中，与不符， C选项等式不成立． 【变式2】（25-26九年级上·浙江金华·期末）在中，，若将各边长度都扩大为原来的倍，则的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 【答案】A 【详解】解：如图所示：令， 的正弦值； 若将各边长度都扩大为原来的倍，则扩大后的直角三角形三条边为， ，，， 的正弦值；综上所述，，故选：A． 【变式3】（2026·天津红桥·校考一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 、，故不符合题意；、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意；、，故不符合题意．故选：B． 题型02 求角的三角函数值 【典例1】（25-26九年级上·江西吉安·期末）如图，是由9个小等边三角形组成的等边三角形网格，点A、B、C是网格的格点，连接，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，由题意可知，是等边三角形，∴， ∴，∴，设每个小等边三角形的边长为， ∴，∴，∴， ∴在中，，故答案为：． 【变式1】（26-27九年级下·湖北·期中）在如图所示的正方体中，的值为_______，的值为_______，的值为_______． 【答案】 【详解】解：在如图所示的正方体中，，， 设，∴，∴， ∴，，． 【变式2】（26-27九年级下·浙江·课后作业）如图，在边长相同的小正方形网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：如图①，连接交于点，连接， 由题意，得四边形是正方形，，，，，， 由题意，得，，，，， 在中，，，． 【变式3】（2026·江苏盐城·中考真题）如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：如图，作于，则， 四边形为矩形，，． 纸片沿方向平移到，，，．，， 的面积，，． 【变式4】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知矩形中，若，，点为的中点，为上一点，连接、，，则___________． 【答案】或/或 【详解】解：分两种情况讨论： ① 点F靠近点A，垂足G在上时：如图1，作于， ∵ 四边形是矩形，∴，，，∴ ，， ∵ ，∴ ， ∵ ，是中点，∴ ，∴ ， 在中，，，∴ ； ② 点F靠近点B，垂足G在上时：如图2，作于， ∵ 四边形是矩形，∴，，，∴ ，， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， 在中，，， ∴ ，综上，的值为或． 题型03 已知三角函数值求边长 【典例1】（26-27九年级下·江苏·课后作业）在中，，，，则的长为___________． 【答案】17 【详解】解：∵在中，，∴， ∵，，∴，∴．∴ 【变式1】（2025九年级·山西·专题练习）如图，在中，，D为AB的中点．若，则AC的长为_______． 【答案】12 【详解】解：在中，，为的中点，， ，故答案为： ． 【变式2】（26-27九年级上·广西桂林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，由勾股定理得， ∵，∴，∴，∴，∴，∴， 由点平移到点可知，图形向右平移了个单位长度， 由点平移到点可知，图形向下平移了个单位长度， ∴将向右平移个单位长度，再向下平移了个单位长度，可得到， 点的坐标可由点的坐标得到，即点的坐标为，∴点的坐标为． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 【答案】 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形，∴，，∴， 在中，，，∴， ∴,∴， ∵，∴，∴． 题型04 特殊角的三角函数值及混合运算 【典例1】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）计算： (1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）计算：． 【答案】2 【详解】解：原式 ． 【变式3】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式4】（26-27九年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】 【详解】解：原式． 题型05 特殊角三角函数值的运用 【典例1】（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）在中，，则是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【详解】解：∵，， ∴，，∴，，∴，， ∴，∴是钝角三角形，故答案为：钝角． 【变式1】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． 【答案】等腰直角三角形 【详解】解：∵，且是锐角，∴， ∵，且是锐角，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形． 【变式2】（26-27九年级上·山东淄博·期中）已知为锐角，且，则________度． 【答案】20 【详解】解：∵为锐角∴∴ ∵，且∴∴． 【变式3】（26-27九年级下·江苏·单元复习）在中，，，，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：如图所示，在中，，，， ∴，，∴． 【变式4】（2026九年级下·江苏连云港·专题练习）在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【答案】等边 【详解】解：∵，∴根据绝对值和平方均非负， ∴，．∵、为锐角，∴，，则， ∴为等边三角形． 题型06 锐角三角函数的增减性 【典例1】（25-26九年级上·重庆长寿·期中）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ，即． ，且正切函数在锐角范围内递增，，， 又∵（余弦函数递减，），， 综上，．故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，由可得， 在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，，故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·期中）三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据锐角三角函数的概念，知． 又∵，正弦值随着角的增大而增大， ∴，∴，故选C ． 【变式3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）下列关于的四个说法：①若是等腰三角形，则；②若是锐角三角形，则；③若，则是直角三角形；④若是直角三角形，，则，其中说法正确的序号是________（选填序号）． 【答案】②③④ 【详解】解：逐个判断四个说法：① 若是等腰三角形，不一定有，例如，，此时，，，故①错误； ②∵是锐角三角形，∴，得， ∵，正弦在随角度增大而增大，∴，故②正确. ③如图，在中，，过点C作于点D， ∴，故， ∴，是直角三角形，故③正确. ④∵，设角的对边分别为，∴，，得， 由勾股定理得，∵，且，∴， ∵，展开得，∴， 即，∴，因此，故④正确． 题型07 同角三角函数相关问题 【典例1】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：；(2)若，求的值． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，，∴； （2）解：由（1）知：， ∵∴，∴，∴（负值已舍去）． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则___________． 【答案】 【详解】解：由题干给出的例子可归纳得：任意锐角满足 ∵， ∴． 【变式2】阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： ，，则________；① ，，则________；② ，，则________；③ …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想． （2）已知为锐角，且，求的值． 【答案】1，1，1，1；（1）见解析；（2） 【详解】解：，，；① ，，；② ，，．③ 观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有．④ （1）如图，过点作于，则． ，，， ，，． （2），，为锐角，． 【变式3】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1；1 (2)1 (3)证明：如图④， 根据正弦、余弦的定义得： 根据勾股定理得：，∴，∴． (4) 【详解】（1）解：如图①、图②， 根据正弦、余弦的定义得： ，，， ， ∴，． （2）解：如图③， 根据正弦、余弦的定义得：， 根据（1）得：，， 根据上述计算，可猜想：． （3）略 （4）解：∵，， ∴， ∵，∴，， ∴，∴的值为． 【变式4】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 【答案】(1)1(2) 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵，∴， ∴；； （2）解：∵，∴ ． 题型08 已知部分边角解直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）在中，，求b的长及的度数． 【答案】， 【详解】解：在中，，则， ，．． 【变式1】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，已知，解这个直角三角形． 【答案】 【详解】解：∵∴， ∴，∴ 【变式2】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，求的长，的值． 【答案】； 【详解】解：在中，，， ∴，∴，∴． 【变式3】（26-27九年级上·江苏·期中）在中，，根据下列条件解直角三角形： (1)已知，求的长；(2)已知，求的度数； (3)已知，求的长；(4)已知，求的长． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：∵，，，∴， ∵为锐角，∴． （3）解：∵，，∴， ∵，∴． （4）解：∵，，∴， ∵，∴． 题型09 解非直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，点D是的中点，连接，，，，．(1)求的长；(2)求． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，，∴，， ∴，．在中，， ∴，∴； （2）解：已知是中点，∴． ∵，∴． 在中，． 【变式1】（26-27九年级上·广西·期中）如图，在中，，，，则求的长． 【答案】 【详解】解：过作于点D， 在中，，， ， 在中，，，即， 根据勾股定理得：， 【变式2】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，是上的高，． (1)求证：；(2)若，，求的长；(3)若，求的值． 【答案】(1)证明：是上的高， ，，． 在和中，，， 又，，． (2)8 (3) 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，，∴可设，， ∵，． ，又，． ∵，，，． （3）解：设，，， ∵，∴，． ，则，，∴， ∴，解得，． 【变式3】（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，，，，求的面积． 【答案】 【详解】如图，过点A作ADCB于点D， 因为，AB=6，所以，所以=； 因为，AD=3，所以DC=3AD=9， 所以的面积为：=． 题型10 复杂图形中的解直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长；(2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 【答案】(1)6(2) 【详解】（1）解：∵，，∴，即，∴， ∵，∴，解得（负值已舍去），即， ∵，∴，即，解得：． （2）解：如图，过C作于F， ∵，∴，∴，即， ∵，∴，解得（负值已舍去）， ∴，，∴． 【变式1】（2026·上海·模拟预测）已知在中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．当时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵，∴，∴，∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，在中，， 在中，，∴，∴， 在中，． 【变式2】（26-27九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，，∴，解得， ∵四边形是菱形，∴，∴． 【变式3】（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）已知在中，，对角线、交于点O，，，点P从点B出发，沿着方向运动到点D停止，在点P的运动过程中，若是直角三角形，则的长是______． 【答案】或或 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， 在中，，， 当点在边上时，，①若， 在Rt中，； ②若，在Rt中，； 当点在边上时， ③若，在Rt中，； ④若，在Rt中，， 作于，设，，， ，，， ，前三种情况点均在边上，符合题意， ，第四种情况点在延长线上，舍去， 综上所述，的长是或或． 题型11 图形变换中的解直角三角形 【典例1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）在中，，，，点D在上，且，连接．将沿直角边翻折，得到线段，连接，点P在射线上，且，则的长是________． 【答案】或/20或4 【详解】解：如图，沿翻折得，则 ∵，，，∴， ∵，∴，∴，∴； 如图，沿翻折得，连接，交于点，设交于点， ∵折叠，∴，，又∵，∴ ∴，∴，∵，∴， ∴，则，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，，∴． 综上，的长为或． 【变式1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，点D是边上的一点，且，连接并取的中点E，连接，若，且，则的长为______． 【答案】 【详解】解：过点B作交的延长线于点F，过点D作垂足为G， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ∵点E是的中点，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ，∴， ∴，∴，∴． 【变式2】（2025·上海普陀·二模）在中，，（如图）．点在边上，，为垂足，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点、分别与点、对应，，射线与边交于点．如果，那么的长是________． 【答案】4或4.8 【详解】解：过点A作交与点F， ∵，∴，，∴， 分两种情况：当P在的延长线上时，如下图：由旋转的性质得出， ∵，∴，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵∴设，则，则，，∴， ∵，∴，解得：，则； 当P在线段上时，如下图： 同理可设，则，则，∴， ∵，∴，解得：， 则，综上：的值为4或4.8，故答案为：4或4.8． 【变式3】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，连接，，．将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，连接交于点，则长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作交于， 四边形是正方形，，，， 设，则，，，， 在中，由勾股定理得：， 将沿翻折得，，， 在中，由勾股定理得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：，，解得：， ，∴，，，， ，，∴， ，，解得：． 题型12 解直角三角形中的新定义问题 【典例1】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，过点作，垂足为，不妨设， ． 两边同时除以得， ，，，． (3)16 【详解】（1）解：． （2）证明：略 （3）解：过点作，垂足为． ，．设，． 在中，；；，，． ，．． 【变式1】（2025·广西南宁·三模）【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 【答案】和均为黄金三角形，理由见解析；；． 【详解】和均为黄金三角形； 理由如下：，，设，，， 是的外角，， ，，在中，， ，解得：， 且，，和均为黄金三角形； ，，，， ，， ，， 解得：或(不符合题意，舍去)，的长度是； 解：如下图所示，过点作交于点，使， 由可知，，是的外角，， ，，，， ， ． 【变式2】（2026·上海·模拟预测）定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的对顶值．如图，在中，，顶角的对顶值记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的对顶值的定义，解决下列问题： (1)的值为 ．(2)对于，的对顶值的取值范围是 ． (3)如果，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：根据题意可知， ，为等边三角形，，． （2）解：在中，， ，，， ，，． （3）解：如图，过点作，则， ，设，，， ，， ，． 【变式3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，过点作，垂足为，不妨设， ． 两边同时除以得， ，，， ． (3)16 【详解】（1）解：． （2）证明：略 （3）解：过点作，垂足为． ，．设，． 在中，； ，，．，． ． 【变式4】（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．下面同学们试着自主学习探索解决下列问题， 【理解观察】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简．解：将分子、分母同乘以得，． 【类比应用】(1)①化简：_______；②计算：________； 【拓展延伸】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的帕特农神庙等． (2)如图①，已知黄金矩形的宽，则黄金矩形的长_________； (3)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (4)在图②中，请连接，并直接写出点到线段的距离． 【答案】(1)①；② (2) (3)矩形是黄金矩形，证明如下：由题意得， 四边形是正方形，， ， ，矩形是黄金矩形； (4) 【详解】（1）解：①； ②计算： ； （2）解：∵黄金矩形的宽，宽与长的比是，即，∴， ∴黄金矩形的长； （3）略 （4）∵四边形为矩形，且，∴， 如下图，过点作于点， ∵四边形为正方形，∴， ∴在中，可得， 即点到线段的距离为． 题型13 仰（俯）角、坡比、方位角问题 【典例1】如图，小王在山坡上E处，用高1.5米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为25°，DE平行于地面BC，若DE＝2米，BC＝10米，山坡CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝5米，则铁塔AB的高度约是（　　）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47 ） A．11.1米 B．11.8米 C．12.0米 D．12.6米 【答案】D 【详解】解：如图，过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为G、H，得矩形EFHG， ∴GH＝EF＝1.5，HF＝GE＝GD+DE＝GD+2， 过点D作BC延长线的垂线，垂足为M，得矩形DMBG， ∵CD的坡度i＝1：0.75＝4：3，CD＝5，∴DM＝4，CM＝3， ∴DG＝BM＝BC+CM＝10+3＝13，BG＝DM＝4，∴HF＝DG+2＝15， 在Rt△AFH中，∠AFH＝25°，∴AH＝FH•tan25°≈15×0.47≈7.05， ∴AB＝AH+HG+GB≈7.05+1.5+4≈12.6（米）．答：铁塔AB的高度约是12.6米．故选：D． 【变式1】（2026·安徽阜阳·三模）小明家计划“春假”去郊外游玩，小明爸爸从平面地图上查看四处景点，，，的位置，如图，点在点的北偏东方向上，从点测得点和点分别在北偏东方向和南偏东方向上，已知点在点的正北方向处．小明家计划先从景点到景点游玩，再从景点到景点游玩，请你帮助小明计算小明家游玩路线长．（结果取整数，参考数据：，，） 【答案】小明家游玩路线长约 【详解】解：作于点， 由题意知，，， ∴， 在中，，， 在中， ，， ∴，在中， ， ∴．答：小明家游玩路线长约． 【变式2】（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度；(2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度；②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 【答案】(1)(2)①； ②解：该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，，∴， ∴, ∵，∴该坡道的最小净高符合设计规范． 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为， ∴在中，，∴， 答：主坡道的铅直高度为； （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，，解得， 在中，解得：， ， 答：车库高度为； ②略 【变式3】（2026·河南漯河·二模）河南登封的观星台是元代天文学家郭守敬主持建造的天文观测台的遗址，台体为砖石结构．小明在水平地面上测量观星台的高度． 活动主题 测量观星台的高度 实物图和测量示意图 测量过程及数据 小明眼睛距离地面米，如图，他在点处用眼睛观测到观星台顶部的仰角为，然后沿水平方向向观星台走近米到达点，此时用眼睛观测到顶部的仰角为．已知图中各点均在同一铅垂面内，且观星台底部与点，在同一水平面上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)求观星台的高．（结果精确到米，参考数据：） (2)假设（1）中得到的高度是准确的，小明按照同样方法又测量了一遍，他在点处用眼睛观测到观星台顶部的仰角为，沿水平方向向观星台前进了米，此时用眼睛观测到顶部的仰角为． ①求与的函数关系式；（式中的数精确到） ②小明发现，当仰角大于时，由于抬头过高，不利于观测，为了保证观测效果，他应该至少距离观星台底部多远？（结果精确到米） 【答案】(1)米(2)①；②米 【详解】（1）解：由图可知，在中，， ∴，设，在中，， ∴，∴． ∴，即 解得（米）； （2）解：①由（1）知，， ∵前进米后，对应仰角为，∴，∴， ②当仰角等于时，，∴ 解得， ∴， 即他应该至少距离观星台底部米． 【变式4】（2026·重庆·三模）如图，是一景区的平面示意图，点为观景中心，景点在观景中心的北偏东方向，景点在景点的正东方向米处，景点在的东南方向米处，休息站在景点的南偏西，景点．休息站均在观景点的正东方向上．（参考数据：） (1)求观景中心到景点的距离．（结果保留根号） (2)游客甲从观景中心出发沿骑行去景点，同时游客乙从休息站沿步行去景点，已知游客甲骑行的速度是游客乙步行速度的倍，请问甲离开观景中心多少米时，甲乙两人之间的距离恰好是甲与观景中心之间的距离的倍（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)米．(2)米 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H， ∵景点在观景中心的北偏东方向，休息站在景点的南偏西， ∴，，即， ∴，由题意可知：，∴四边形是平行四边形， ∴米，由景点在的东南方向米处，可得，米， ∴（米），（米） ∴（米），∴米． （2）解：如图，游客甲所在位置为P，游客甲所在位置为N，过点作，垂足为，设甲离开观景中心距离为米时，即米，由题意可得米， ∴（米），（米）， ∴米，∴， ∵甲乙两人之间的距离恰好是甲与观景中心之间的距离的倍，即， ∴∴， 解得：，（负数根不符合题意已经舍去）， 答：甲离开观景中心米时，甲乙两人之间的距离恰好是甲与观景中心之间的距离的倍． 题型14 三角函数实际应用之跨学科融合 【典例1】（2026九年级上·山东·专题练习）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【详解】解：过点E作，垂足为点H， 由题意可知： ，，， 在中，， ∵，∴，∴， 在中，由勾股定理得：，∴，∴， ∴，∴，∴的值为1.3. 【变式1】（25-26九年级·广东·专题练习）跨物理学科  如图是潜望镜工作原理的平面示意图，一条平行光线经镜面反射到后得到光线，且，虚线为光线的反射轨迹．若测得两条平行光线间的距离为，虚线的长为2，则虚线与所夹钝角的度数为_____． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点． 在中，，．，， ∵与互补，． 即虚线与所夹钝角的度数为．故答案为：． 【变式2】（2026·湖南衡阳·二模）如图1，在物理兴趣课上，老师演示了“尺子挂锤子”的平衡实验．同学们将实验装置抽象成如图2所示的几何模型．已知直尺斜靠在桌边，悬绳（A，B，C在同一直线上）的上端A点与桌边接触点D的连线，垂直于直尺下边，其中．请根据以上信息，求的长．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 【答案】的长约为． 【详解】解：如图，过点B作于点F． 在中，，∴． 在中，，∴． 又∵， ∴在中，，∴， ∴．答：的长约为． 【变式3】（25-26九年级下·贵州贵阳·中考复习）做化学实验时，我们常常用圆锥形漏斗、圆柱形烧杯和玻璃棒组装液体过滤实验装置，如图①所示．图②是图①抽象后的平面图形，已知漏斗的一端紧贴烧杯内壁，，，漏斗颈口与烧杯底部的距离，玻璃棒斜靠在点处，，玻璃棒的长度为．（注：玻璃厚度、漏斗颈口径和玻璃棒粗细均忽略不计） (1)求漏斗口点到底座的距离（结果保留根号）； (2)小明在倒入液体时，烧杯尖嘴口与玻璃棒接触点为点，，．根据实验操作的要求，点的位置在竖直方向上不能超过漏斗的边缘．小明的操作符合要求吗？为什么？ 【答案】(1) (2)符合要求，理由如下： 如图，过点作于点， ∵， 是等边三角形，∴，，∴是等边三角形， ∵，∴，∵玻璃棒的长度为，， ∴，∵， ∴∴， ∵，，即， ∴点的位置在竖直方向上不超过漏斗的边缘．小明的操作符合要求． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，，∴是等边三角形，∴ ∴漏斗口点到底座的距离为； （2）略 题型15 三角函数的实际应用之测量问题 【典例1】（2026九年级上·全国·专题练习）白鹭塔位于长沙的城市“绿肺”——长沙洋湖湿地景区，塔体采用多层密檐形式，以八角、七层、重檐为基本特征，既宏伟壮观又具湖南地域特色．某数学兴趣小组要利用测角仪测量白鹭塔的高度，如图，塔前有一座高为的景观桥，已知，点在同一条水平直线上．在景观桥C处测得塔顶部B的仰角为，在景观桥D处测得塔顶部B的仰角为．(1)求的长；(2)求白鹭塔的高度．（精确到，参考数据：） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意，得．在中，， ，的长约为． （2）解：如图，过点D作，垂足为点F， 由题意，得．在中，， ． 设，． 在中，，． 在中，，． ，，解得． 答：白鹭塔的高度约为． 【变式1】（2026·安徽合肥·三模）某小区有甲、乙两栋平行的居民楼，甲楼高米，乙楼的一户居民住在第4层，窗户下沿离地面高度为米，窗户米．冬至日正午，太阳光线与水平面的夹角为，已知．两楼之间的水平距离米，请通过计算说明此时该居民家的窗户能不能全部被阳光照到？ 【答案】该居民家的窗户不能全部被阳光照到． 【详解】解：设光线从甲楼顶射向乙楼，与乙楼交于点，连接，构造直角三角形，如图所示， 米，，（米）， 在中，（米）， 则甲楼遮挡后，点距地面高度为（米）， 窗户上沿距地面高度（米）， ，该住户家窗户不能全部被阳光照到． 【变式2】（2026·甘肃平凉·三模）如图1，华夏古槐王位于甘肃省平凉市崇信县锦屏镇关河村，是国内体型最大、树龄最长的古槐树，古槐王有八大主枝，又称八卦槐．它不仅被载入《甘肃古树奇观》和《全国百株人文古树名录》，还被誉为“活的文物”和“华夏民族活的历史见证”，成为连接历史与现代的文化符号．为了解华夏古槐王的现存高度，某校兴趣小组开展了“测量华夏古槐王”的综合实践活动．如图2是他们测量华夏古槐王的示意图，点A为最高点，C，B，D是地面同一条直线上的三个点（点C，D都在保护栏外），通过测量，地面上C，D两点的距离为，，，求华夏古槐王的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】华夏古槐王的高度约为26米 【详解】解：根据题意，，则在直角三角形和直角三角形中， ，∴， ∵，∴，即， ∴，解得：， 答：华夏古槐王的高度约为26米． 【变式3】（2026·四川广元·中考真题）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图       已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） (1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数）；(2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） (3)求凤舟最后10秒的平均速度． 【答案】(1)米；(2)米/秒；(3)3.5米/秒． 【详解】（1）解：由题意知：，，∴，， 因此是直角三角形，，∴， 即米； （2）解：凤舟20秒内航行的路程等于的长度，由题意知：，， ∴，，∴是直角三角形，，， ∴米，∴米/秒； （3）解：设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E， 可得四边形是矩形，∴米，根据三角函数可知米， 同时米． ∵，，∴，解得，因此平均速度米/秒． 【变式4】（2026·山西运城·二模）图1所示是树龄约3000年的晋祠卧龙柏，由于它形似卧龙，树身向南倾斜，主体树干头枕树龄约1500年的撑天柏，形若游龙侧卧而得名．某综合与实践小组成立卧龙柏和撑天柏研究小组，小组调研时，结合部分测量数据和查阅资料获得的数据制作了如下研究报告． 项目课题 晋祠卧龙柏和撑天柏研究报告 调查方式 ①查阅资料；②实地测量；③专家咨询 数据整理 研究过程 示意图绘制 实地测量： ①卧龙柏和撑天柏均生长在高度为1.5米的台基上，即米； ②卧龙柏主体树干被撑天柏托住，其中，与的交点为M，F为的中点，垂直于水平面的支撑杆米； 查阅资料： ①卧龙柏主体树干顶端恰好经过圣母殿上檐翼角尖点B，点B距台基的高度为米，卧龙柏主体树干与水平面的夹角． （说明：为便于计算，图中所有涉及的点，均在同一竖直平面内） 工作人员评价 该小组同学在研究过程中，针对测量不到的数据主动查资料、抠细节、核数据，像真正的研究者一样，用证据说话，用逻辑求证，这才是做学问最珍贵的样子 …… …… 结合上述信息完成下列作答．（结果保留两位小数，参考数据：，，） (1)填空：结合研究报告计算______米； (2)工作人员提示，如图2，在主体树干上长出一根分枝，该分枝上最高点C也是卧龙柏的最高点，用一条虚线将整棵弯曲的卧龙柏的树根中心与树顶中心连接，即虚线，则虚线称为卧龙柏的整树等效中轴线，且卧龙柏的整树等效中轴线与水平面的夹角．若卧龙柏最高点在圣母殿上檐翼角尖点的正上方，求出卧龙柏最高点到地面的距离． (3)反思：研究小组在专业工作人员的指导下发现，不论是的长度还是卧龙柏的高度，计算结果与实际数据均有较大误差，请你结合上述信息分析产生误差的原因（写出一条即可）． 【答案】(1) (2)卧龙柏最高点到地面的距离为22.77米． (3)解：示意图中树干直径忽略不计，而实际卧龙柏和撑天柏直径无法忽略不计；示意图中树干抽象为线段，而实际卧龙柏和撑天柏是蜿蜒的．（答案不唯一，合理即可） 【详解】（1）解：在中，米， ∴，∴米，∵，∴， ∴，∴， ∵点F为的中点，即，∴，∴米； （2）解：在中，，，米， ∴．∴（米）． 在中，，，米， ∴．∴（米），∴（米）， 答：卧龙柏最高点到地面的距离为22.77米； （3）略 题型16 三角函数的实际应用之实物建模问题 【典例1】（2026·山西运城·三模）如图，是某款台灯的实景图，台灯可桌面使用也可壁挂使用．已知支架的长为，灯罩的长为，如图2是壁挂使用时的示意图，底座可固定在墙壁上，为了使台灯的照射面最大，支架与底座的夹角为，且灯罩与支架的夹角为．要使台灯灯罩顶端A到桌面的最佳高度为，求此时底座最低端的固定高度．（结果精确到，忽略台灯底座厚度，参考数据：） 【答案】 【详解】解：如图，过点A作于点E，过点B作于点G，延长交墙壁于点F， ∵，∴四边形是矩形，∴，∴． ∵，∴．∵，∴． 在中，， 在中，， 要使灯罩顶端A到桌面的最大高度为，则， ∴，∴， ∴， 所以要使台灯灯罩顶端A到桌面的最佳高度为，则底座最低端的固定高度约为． 【变式1】（2026·河南新乡·二模）带购物篮的手推步行辅助器（如图1）可以提高老年人出行购物的安全性，如图2是步行辅助器的侧面示意图．其中横杆与地面平行，框架与横杆的夹角，框架与把手（与地面平行）的夹角．已知长为，长为，点和点是车轮的圆心，车轮的半径为．求把手到地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，由题意得，∴， 在中，，∴， 在中，，，∴， ∵，车轮半径为，∴． 答：把手到地面的高度约为． 【变式2】（2026·山东潍坊·二模）如图①，一种阅读书架放置在水平桌面上，其侧面示意图如图②所示．测得底座高为，，支架为，面板纵截面的长为，为，面板可绕支点上下转动（厚度忽略不计）． (1)求支点离桌面的高度；(2)小亮通过阅读产品说明书得知：面板绕点转动时，面板与支架的夹角满足，求面板绕点由转动到时，上端离桌面的高度增加了多少？ 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：过点作的延长线于点，过作于点如图所示： ∵，∴，∴四边形为矩形，∴，， ∵，∴，∴， ∵ ，∴，∴，∴， ∴支点离桌面的高度为； （2）解：当时，过点作于点，过作于点，如图所示： ∴，∴四边形为矩形，∴，， 由（1）可得：，∴， ∴， 又∵，∴， ∵，，∴， ∴在中，，∴； 当时，设此时的点为，过作于点，交于点，如图所示： ∵，，∴，∴， ∴，∴四边形为矩形，∴， ∵，∴， ∴在中，，∴， ∴；∴， ∴上端离桌面的高度增加了． 【变式3】（2026·辽宁阜新·二模）图是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且． (1)如图，当椅背垂直于地面时，求的度数；(2)图是一圆柱体水杯放置于小桌板上时的左视图，杯子到桌面边缘距离，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？（，，，，计算结果保留整数．） 【答案】(1)(2)最大高度是． 【详解】（1）解：过点A作交与点D， 则，∵，∴，∴； （2）解：过点O作，过点A作于点T，过点E作于点S， 则，， ∴四边形是矩形，共线，∴，， ∵，∴，∴中， ， ， ∴，∴， ∵，∴， ∴在中，， ∴． 即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是． 【变式4】（2026·江苏南京·二模）如图1，某型号抓草机由基座、动臂和斗杆构成，图2是其侧面结构示意图，矩形为基座，折线为动臂，为斗杆．已知基座的高度为1.2米，动臂的长（与的长度和）为5.1米，动臂伸展角，斗杆与动臂的夹角，斗杆与竖直方向的夹角为，到地面的距离为4.2米． (1)的长度是 米；(2)求到的水平距离的长．（结果精确到0.1，参考数据：，，，） 【答案】(1)4.9米(2)到的水平距离的长为6.3米． 【详解】（1）解：过P作于E，则，，米， ∴（米）； （2）解：过B作于F，延长交于G，过B作于H， 则四边形、四边形是矩形，∴，，， 在中， （米）， 则中，∴， 设米，米，则（米）， ∵米，∴米， 在中，，， ∴米，米， ∵米，米，米， ∴，解得， ∴米，米， ∴米，∴（米）， 答：到的水平距离的长为6.3米． 1．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，解得，符合题意； B、，解得，不符合题意； C、，解得，不符合题意； D、，解得，不符合题意． 2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）已知中，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，∴． 3．（25-26九年级上·山东淄博·期末）在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，∴，，且，， 设，则，由勾股定理得，， ∴，故选∶B． 4．（2026·安徽阜阳·一模）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴当时，，当时，， ∴，∴，∴，∴. 5．（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的正切值为___________ 【答案】2 【详解】解：作，连接，如图，则，由网格特征可知，， 设小正方形的边长为1，则，，∴. 6．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【详解】解：作，其中，，如图， ∴，，∴， ∵在中，，∴，即． 7．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）按要求完成作答： (1)计算：．(2)计算：． (3)设，是方程的两个根，且，求常数的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：由得，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 此时，，符合题意， ∴常数的值为． 8.（26-27九年级下·浙江·单元复习）如图，在中，和均为锐角，是边上的高线．已知，，且．(1)求的长；(2)求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：在中，，， ，； （2）解：在中，， 在中，，． 9.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的边上画点，连接，使； (2)在图②中的边上画点，连接，使； (3)在图③中的边上画点，连接，使． 【答案】(1)解：画图如下： 则点P即为所求． (2)解：画图如下： 则点Q即为所求． (3)解：画图如下： 则点M即为所求． 【详解】（1）解：根据题意，得，作，则，画图略，则点P即为所求． （2）解：作；根据三角形全等的性质，得到是等腰直角三角形，连接，交于点Q，根据，画图略．则点Q即为所求． （3）解：根据三角形相似的判定和性质，得到，连接交于点M，根据正切函数的定义，得到，则点M即为所求，画图略． 10．（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡度为，背水坡的坡角的正切为，已知迎水坡，坝顶宽，求大坝的高度和坝底的长． 【答案】大坝高度为米，米 【详解】解：分别过两点作，垂足分别为，则的长就是大坝的高度． 迎水坡的坡度为，，设， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ，解得：， （米），（米），大坝高度为米． 大坝横截面是梯形，，，， 四边形是平行四边形，四边形是矩形， （米），（米）， 在直角三角形中，，，， （米），∴（米）． 1．（25-26九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴，∴，故选：B． 2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，在中，，， 延长到点，使，连接，∴， ∵，∴， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴， 令，则，∴， ∴在中，． 3．（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若为锐角，，则 D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 【答案】C 【详解】解：A、三角函数的度数不能直接相加，A错误； B、α为锐角时，，所以当时，，B错误； C、，设对边为，邻边为，则斜边为，所以，C正确； D、在中，等于角A的邻边与斜边的比值，当两边都扩大5倍时，另外一条直角边也扩大了5倍，比值不变，所以不变，D错误．故选：C． 4．（2026·广东深圳·三模）“明阳天成号”是目前全球最大的漂浮式风电平台，创造了多个世界第一！它的每个叶片长度为128米，如右图所示，从正面看，两个风机主机舱（右图点B和点C）与主基座（右图点A）构成等腰直角三角形，，，若其在工作中的某一瞬间，叶片与塔筒所在的直线重合，且，当，则塔筒的长度为（     ）米．（参考数据：，，） A．181.0 B．230.4 C．102.4 D．153.6 【答案】B 【详解】解：如图，过点D作于点H，由题意得（米）， 在中，，∴（米），（米）， ∵，∴，∴， 在中，（米），∴（米）． 5．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）在中，若（其中，为锐角），则______． 【答案】 【详解】解：∵，，且两者的和为0， ∴，，∴，，∵为锐角，∴，， ∵三角形内角和为，∴． 6．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，分别为斜边上的高和中线，，，若，则________． 【答案】 【详解】解：∵在中，，分别为斜边上的高和中线， ∴，，∵， 设，则，，∴， ∴，∴，∵， ∴，∴，∵，，∴． 7．（2026·湖南娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则_________． 【答案】 【详解】解：如图，在中，∵，∴．    ∵，∴．∵为锐角，∴．∵ ∴．故答案为：． 8．（26-27九年级上·山东淄博·期中）某数学兴趣小组借助无人机测量某段河道的宽度，如图，在河岸边的点处，兴趣小组控制一架无人机沿倾斜角的方向飞行到达点处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行至点处，此时测得河对岸处的倾斜角为，图中点，，，在同一平面内．（参考数据）。(1)求无人机从点飞到点时垂直上升的距离（结果保留根号）；(2)求该段河道的宽度（结果保留整数）． 计算器按键顺序 结果 【答案】(1)米(2)河道的宽度约为米 【详解】（1）解：如图所示：过点作于． 在中，，， 答：无人机从飞到时垂直上升的距离为米． （2）解：如图所示：过点作，交的延长线于，则四边形为矩形， 在中： 在中，，： ，而，，∴ ∴， 答：该段河道的宽度约为米． 9．（26-27九年级上·广西桂林·阶段检测）【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： (1)【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线（如图②，此时目标的仰角是图②中的__________．目标的仰角与图②中的∠ ________相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为米，求树高．（，结果精确到米） (3)【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、，、、在同一直线上，分别测得点的仰角，，测得、间的距离2米，点、到地面的距离、均为米，求的长（结果保留根号） (4)【拓展探究】在（3）的条件下，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离、均为，则用含的式子表示为__________． 【答案】(1)，； 证明：，，； (2)米．(3)米；(4) 【详解】（1）略 （2）解：， 四边形是矩形，米，米， 在中，，， （米），（米）， 答：树高为米． （3）解：由题意可知，，，，米， ，， 点、到地面的距离、均为米，米， 四边形是矩形，，米，，米，设米， 在中，，米， 在中，，（米）， ，，，即米， 米，答：的长为米； （4）解：由（3）可得，，，设， 在和中，，， ，，解得：，即， ． 10．（2026·重庆·二模）随着智能物流系统的普及，许多仓储中心开始使用机器人协同作业．某分拣中心为优化路径，在同一平面内设置了四个智能站点，，，．如图，点在点的南偏东方向米处，点在点的东南方向且在点的正东方向，点在点的正东方向且与点相距米．（参考数据：，，） (1)求，两点的距离（结果保留整数）；(2)两个物流机器人同时以相同的速度从不同站点出发执行任务，甲机器人从出发沿着方向前往取货，乙机器人从出发沿着方向前往卸货（卸货时间忽略不计），卸货完成后，乙机器人立即沿着方向前往装货，在执行本次任务的过程中，甲机器人的通信模块受自身结构遮挡，在其正南方向存在以自身为圆心，圆心角为的扇形信号盲区（扇形的对称轴始终指向正南方向）．当乙机器人刚好进入甲机器人信号盲区时，求甲机器人与乙机器人的距离（结果保留整数）． 【答案】(1)米(2)米 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵点在点的南偏东方向，点在点的东南方向，∴，， ∵，，、均为正东方向，∴四边形是矩形， ∴，，在中，米，， ∴米，米， 在中，，， ∴米，∴米，米， 在中，米，，∴米， ∴米； 答：，两点的距离约为米； （2）解：设甲机器人为，乙机器人为，由（1）得米，米，， 在中，米，∴， ∵两机器人同时出发且速度相同，即任意时刻两者行驶的总路程相等， ∵当甲行驶到点时，此时乙刚好走完到达点，即与重合时，与重合， 如图，设此后甲再行驶米，则乙也从点向行驶米，即米， 过点作于点，∵为正东方向，为的南偏东方向， ∴，∵，在中，， ，∴， ∵甲的信号盲区是圆心角为、对称轴指向正南的扇形，乙刚好进入盲区， ∴与正南方向的夹角为，∴与夹角的锐角为，即， 又∵，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∴，解得，∴，∴米． 答：甲机器人与乙机器人的距离约为米． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 直角三角形的边角关系 教学目标 1.理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的意义，知道三角函数值只和锐角大小有关，与直角三角形边长无关。 2.熟记 30°、45°、60° 特殊角的三角函数值，能进行相关计算，也能由特殊三角函数值求出对应锐角；会用计算器求三角函数值、由三角函数值求锐角。 3.掌握解直角三角形的含义，能利用三边关系、两锐角互余、边角三角函数关系，在已知合适条件下求出直角三角形其余未知元素。 4.认识仰角、俯角、方向角、坡角、坡度，能建立直角三角形模型，解决测量、航海、坡面等实际应用问题，会处理含两个直角三角形的综合问题。 5.经历从探究倾斜程度到抽象出锐角三角函数的过程，体会函数思想；在解直角三角形、解决实际测量问题中，感受数形结合、转化、建模思想；学会把斜三角形、复合图形通过作垂线构造直角三角形求解；在双直角三角形问题中，学会设未知数，借助公共边列方程解题，提升几何推理与运算能力。 6.体会三角函数作为定量刻画角度倾斜程度的工具价值，感受数学在测量、工程中的应用；养成先画图标注条件、规范书写、检验结果是否符合实际的习惯；感受边角之间的内在联系，培养严谨的推理意识。 教学重难点 1.重点 （1）正弦、余弦、正切的定义，在直角三角形中求锐角三角函数值。 （2）30°、45°、60° 特殊角三角函数值的识记与运算。 （3）解直角三角形，合理选择三角函数关系式进行计算。 （4）仰角、俯角、方向角、坡度、坡角的理解，运用三角函数解决实际应用问题。 2.难点 （1）理解锐角三角函数的函数本质：自变量是锐角，函数值是边长的比值。 （2）在非直角图形中，添加辅助线构造直角三角形，找准角的对边、邻边。 （3）读懂实际情境，准确画出示意图，解决共边的双直角问题，利用方程思想求解。 （4）区分坡度（比值）与坡角（角度），准确理解方向角、仰角俯角。 （5）解题时合理选择关系式，减少近似计算带来的误差。 知识点01 锐角三角函数 1.正切：在Rt△ABC中，若果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫作∠A的正切（tangent），即tanA=。 2.正弦：∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦（sine），记作sinA，即：sinA=。 3.余弦：∠A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦（cosine），记作cosA，即：cosA=。 锐角A的正弦、余弦和正切都是三角函数（trigonometric function）。 当锐角A变化时，三角函数的值也随之变化； tanA的值越大，梯子越陡； sinA的值越大，梯子越陡； cosA的值越小，梯子越陡。 4：三角函数特殊值： α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 【即学即练】 1.（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（26-27九年级下·山东·单元复习）如图，在中，，已知，，求的长． 3.（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）计算： (1)；(2)． (3)已知是锐角，且，求的值． 4．（26-27九年级上·山东·专项训练）填空： （1）在中，，，．______________． （2）如图，P是的边上一点，且点P的坐标为．______________． （3）如图为某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的示意图，，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长为．乘电梯从点B到点C上升的高度h为______________m． （4）_____；_____；______；_____． （5）某海域有相距10海里的两个小岛A和B，另有一小岛C，测量得，．A，C两岛间的距离为______________海里． （6）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向、距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．海轮行驶的路程为______________海里．（结果保留根号） （7）如图，在中，，，平分．若，则______________． 知识点02 解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形。 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦。 【即学即练】 1．（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，平分，，．(1)求的长；(2)求的值． 2．（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，点D是的中点，连接，，，，．(1)求的长；(2)求． 3．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在中，点是的中点，，且，．(1)求的长；(2)求的值． 4．（26-27九年级下·山东·专项训练）在学习北师版九年级下册第一章时，小华同学对一个角与其倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，并进行了研究． (1)【实践探究】在解决“如图①，若在中，，，，求的值”这一问题时，小华想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，则，即转化为求的正切值．请按小华的思路求出的值． (2)【拓展延伸】如图②，若在中，，，，则： ①的值为 ；②的值为 ． 知识点03 三角函数的应用 1．仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，如图1。 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角，如图1。 图1 图2 图3 2．坡度和坡角 坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），如图2，记作i=。 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图2，记作α，i=tanα． 坡度越大，α角越大，坡面越陡。 3．方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角，如图3。 4．解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解。 【即学即练】 1．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． (1)求的长度（结果保留根号）；(2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 2.（26-27九年级上·广东·期中）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底处出发，向前走米到达处，测得树顶端的仰角为，他又继续走下台阶到达处，测得树的顶端的仰角是，再继续向前走到大树底处，测得食堂楼顶的仰角为，已知点离地面的高度米，，且三点在同一直线上．(1)求树的高度；(2)求食堂的高度． 3．（25-26九年级·吉林·专题练习）年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 4．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为．（图中所有点均在同一平面内，点，，在同一直线上，点，，，在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长，结果保留位小数） （参考数据：，，，，，） 5．（2026·吉林四平·模拟预测）综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度． 【问题背景】如图，村到公路的乡村小路为，为进一步方便通行，现准备新建一条公路，连接村和公路（所在的直线为）． 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等． 【测量过程】测得，且点在同一平面上． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：． 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路的长． 题型01 三角函数的概念辨析 【典例1】（26-27九年级下·广东·课后作业）在中，，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级下·山东·课后作业）在中，，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江金华·期末）在中，，若将各边长度都扩大为原来的倍，则的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 【变式3】（2026·天津红桥·校考一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02 求角的三角函数值 【典例1】（25-26九年级上·江西吉安·期末）如图，是由9个小等边三角形组成的等边三角形网格，点A、B、C是网格的格点，连接，则的值为_______． 【变式1】（26-27九年级下·湖北·期中）在如图所示的正方体中，的值为_______，的值为_______，的值为_______． 【变式2】（26-27九年级下·浙江·课后作业）如图，在边长相同的小正方形网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为___________． 【变式3】（2026·江苏盐城·中考真题）如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 【变式4】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知矩形中，若，，点为的中点，为上一点，连接、，，则___________． 题型03 已知三角函数值求边长 【典例1】（26-27九年级下·江苏·课后作业）在中，，，，则的长为___________． 【变式1】（2025九年级·山西·专题练习）如图，在中，，D为AB的中点．若，则AC的长为_______． 【变式2】（26-27九年级上·广西桂林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 题型04 特殊角的三角函数值及混合运算 【典例1】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）计算： (1)；(2)． 【变式1】（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）计算： (1)；(2)． 【变式2】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）计算：． 【变式3】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）计算： 【变式4】（26-27九年级上·上海·阶段检测）计算： 题型05 特殊角三角函数值的运用 【典例1】（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）在中，，则是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【变式1】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． 【变式2】（26-27九年级上·山东淄博·期中）已知为锐角，且，则________度． 【变式3】（26-27九年级下·江苏·单元复习）在中，，，，则的值为__________． 【变式4】（2026九年级下·江苏连云港·专题练习）在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 题型06 锐角三角函数的增减性 【典例1】（25-26九年级上·重庆长寿·期中）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·期中）三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）下列关于的四个说法：①若是等腰三角形，则；②若是锐角三角形，则；③若，则是直角三角形；④若是直角三角形，，则，其中说法正确的序号是________（选填序号）． 题型07 同角三角函数相关问题 【典例1】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：；(2)若，求的值． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则___________． 【变式2】阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： ，，则________；① ，，则________；② ，，则________；③ …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想． （2）已知为锐角，且，求的值． 【变式3】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 【变式4】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 题型08 已知部分边角解直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）在中，，求b的长及的度数． 【变式1】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，已知，解这个直角三角形． 【变式2】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，求的长，的值． 【变式3】（26-27九年级上·江苏·期中）在中，，根据下列条件解直角三角形： (1)已知，求的长；(2)已知，求的度数； (3)已知，求的长；(4)已知，求的长． 题型09 解非直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，点D是的中点，连接，，，，．(1)求的长；(2)求． 【变式1】（26-27九年级上·广西·期中）如图，在中，，，，则求的长． 【变式2】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，是上的高，． (1)求证：；(2)若，，求的长；(3)若，求的值． 【变式3】（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，，，，求的面积． 题型10 复杂图形中的解直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长；(2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 【变式1】（2026·上海·模拟预测）已知在中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．当时，的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）已知在中，，对角线、交于点O，，，点P从点B出发，沿着方向运动到点D停止，在点P的运动过程中，若是直角三角形，则的长是______． 题型11 图形变换中的解直角三角形 【典例1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）在中，，，，点D在上，且，连接．将沿直角边翻折，得到线段，连接，点P在射线上，且，则的长是________． 【变式1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，点D是边上的一点，且，连接并取的中点E，连接，若，且，则的长为______． 【变式2】（2025·上海普陀·二模）在中，，（如图）．点在边上，，为垂足，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点、分别与点、对应，，射线与边交于点．如果，那么的长是________． 【变式3】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，连接，，．将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，连接交于点，则长度为（     ） A． B． C． D． 题型12 解直角三角形中的新定义问题 【典例1】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 【变式1】（2025·广西南宁·三模）【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 【变式2】（2026·上海·模拟预测）定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的对顶值．如图，在中，，顶角的对顶值记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的对顶值的定义，解决下列问题： (1)的值为 ．(2)对于，的对顶值的取值范围是 ． (3)如果，其中为锐角，试求的值． 【变式3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 【变式4】（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．下面同学们试着自主学习探索解决下列问题， 【理解观察】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简．解：将分子、分母同乘以得，． 【类比应用】(1)①化简：_______；②计算：________； 【拓展延伸】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的帕特农神庙等． (2)如图①，已知黄金矩形的宽，则黄金矩形的长_________； (3)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (4)在图②中，请连接，并直接写出点到线段的距离． 题型13 仰（俯）角、坡比、方位角问题 【典例1】如图，小王在山坡上E处，用高1.5米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为25°，DE平行于地面BC，若DE＝2米，BC＝10米，山坡CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝5米，则铁塔AB的高度约是（　　）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47 ） A．11.1米 B．11.8米 C．12.0米 D．12.6米 【变式1】（2026·安徽阜阳·三模）小明家计划“春假”去郊外游玩，小明爸爸从平面地图上查看四处景点，，，的位置，如图，点在点的北偏东方向上，从点测得点和点分别在北偏东方向和南偏东方向上，已知点在点的正北方向处．小明家计划先从景点到景点游玩，再从景点到景点游玩，请你帮助小明计算小明家游玩路线长．（结果取整数，参考数据：，，） 【变式2】（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度；(2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度；②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 【变式3】（2026·河南漯河·二模）河南登封的观星台是元代天文学家郭守敬主持建造的天文观测台的遗址，台体为砖石结构．小明在水平地面上测量观星台的高度． 活动主题 测量观星台的高度 实物图和测量示意图 测量过程及数据 小明眼睛距离地面米，如图，他在点处用眼睛观测到观星台顶部的仰角为，然后沿水平方向向观星台走近米到达点，此时用眼睛观测到顶部的仰角为．已知图中各点均在同一铅垂面内，且观星台底部与点，在同一水平面上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)求观星台的高．（结果精确到米，参考数据：） (2)假设（1）中得到的高度是准确的，小明按照同样方法又测量了一遍，他在点处用眼睛观测到观星台顶部的仰角为，沿水平方向向观星台前进了米，此时用眼睛观测到顶部的仰角为． ①求与的函数关系式；（式中的数精确到） ②小明发现，当仰角大于时，由于抬头过高，不利于观测，为了保证观测效果，他应该至少距离观星台底部多远？（结果精确到米） 【变式4】（2026·重庆·三模）如图，是一景区的平面示意图，点为观景中心，景点在观景中心的北偏东方向，景点在景点的正东方向米处，景点在的东南方向米处，休息站在景点的南偏西，景点．休息站均在观景点的正东方向上．（参考数据：） (1)求观景中心到景点的距离．（结果保留根号） (2)游客甲从观景中心出发沿骑行去景点，同时游客乙从休息站沿步行去景点，已知游客甲骑行的速度是游客乙步行速度的倍，请问甲离开观景中心多少米时，甲乙两人之间的距离恰好是甲与观景中心之间的距离的倍（结果保留小数点后一位）？ 题型14 三角函数实际应用之跨学科融合 【典例1】（2026九年级上·山东·专题练习）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 【变式1】（25-26九年级·广东·专题练习）跨物理学科  如图是潜望镜工作原理的平面示意图，一条平行光线经镜面反射到后得到光线，且，虚线为光线的反射轨迹．若测得两条平行光线间的距离为，虚线的长为2，则虚线与所夹钝角的度数为_____． 【变式2】（2026·湖南衡阳·二模）如图1，在物理兴趣课上，老师演示了“尺子挂锤子”的平衡实验．同学们将实验装置抽象成如图2所示的几何模型．已知直尺斜靠在桌边，悬绳（A，B，C在同一直线上）的上端A点与桌边接触点D的连线，垂直于直尺下边，其中．请根据以上信息，求的长．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 【变式3】（25-26九年级下·贵州贵阳·中考复习）做化学实验时，我们常常用圆锥形漏斗、圆柱形烧杯和玻璃棒组装液体过滤实验装置，如图①所示．图②是图①抽象后的平面图形，已知漏斗的一端紧贴烧杯内壁，，，漏斗颈口与烧杯底部的距离，玻璃棒斜靠在点处，，玻璃棒的长度为．（注：玻璃厚度、漏斗颈口径和玻璃棒粗细均忽略不计） (1)求漏斗口点到底座的距离（结果保留根号）； (2)小明在倒入液体时，烧杯尖嘴口与玻璃棒接触点为点，，．根据实验操作的要求，点的位置在竖直方向上不能超过漏斗的边缘．小明的操作符合要求吗？为什么？ 题型15 三角函数的实际应用之测量问题 【典例1】（2026九年级上·全国·专题练习）白鹭塔位于长沙的城市“绿肺”——长沙洋湖湿地景区，塔体采用多层密檐形式，以八角、七层、重檐为基本特征，既宏伟壮观又具湖南地域特色．某数学兴趣小组要利用测角仪测量白鹭塔的高度，如图，塔前有一座高为的景观桥，已知，点在同一条水平直线上．在景观桥C处测得塔顶部B的仰角为，在景观桥D处测得塔顶部B的仰角为．(1)求的长；(2)求白鹭塔的高度．（精确到，参考数据：） 【变式1】（2026·安徽合肥·三模）某小区有甲、乙两栋平行的居民楼，甲楼高米，乙楼的一户居民住在第4层，窗户下沿离地面高度为米，窗户米．冬至日正午，太阳光线与水平面的夹角为，已知．两楼之间的水平距离米，请通过计算说明此时该居民家的窗户能不能全部被阳光照到？ 【变式2】（2026·甘肃平凉·三模）如图1，华夏古槐王位于甘肃省平凉市崇信县锦屏镇关河村，是国内体型最大、树龄最长的古槐树，古槐王有八大主枝，又称八卦槐．它不仅被载入《甘肃古树奇观》和《全国百株人文古树名录》，还被誉为“活的文物”和“华夏民族活的历史见证”，成为连接历史与现代的文化符号．为了解华夏古槐王的现存高度，某校兴趣小组开展了“测量华夏古槐王”的综合实践活动．如图2是他们测量华夏古槐王的示意图，点A为最高点，C，B，D是地面同一条直线上的三个点（点C，D都在保护栏外），通过测量，地面上C，D两点的距离为，，，求华夏古槐王的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【变式3】（2026·四川广元·中考真题）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图       已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） (1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数）；(2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） (3)求凤舟最后10秒的平均速度． 【变式4】（2026·山西运城·二模）图1所示是树龄约3000年的晋祠卧龙柏，由于它形似卧龙，树身向南倾斜，主体树干头枕树龄约1500年的撑天柏，形若游龙侧卧而得名．某综合与实践小组成立卧龙柏和撑天柏研究小组，小组调研时，结合部分测量数据和查阅资料获得的数据制作了如下研究报告． 项目课题 晋祠卧龙柏和撑天柏研究报告 调查方式 ①查阅资料；②实地测量；③专家咨询 数据整理 研究过程 示意图绘制 实地测量： ①卧龙柏和撑天柏均生长在高度为1.5米的台基上，即米； ②卧龙柏主体树干被撑天柏托住，其中，与的交点为M，F为的中点，垂直于水平面的支撑杆米； 查阅资料： ①卧龙柏主体树干顶端恰好经过圣母殿上檐翼角尖点B，点B距台基的高度为米，卧龙柏主体树干与水平面的夹角． （说明：为便于计算，图中所有涉及的点，均在同一竖直平面内） 工作人员评价 该小组同学在研究过程中，针对测量不到的数据主动查资料、抠细节、核数据，像真正的研究者一样，用证据说话，用逻辑求证，这才是做学问最珍贵的样子 …… …… 结合上述信息完成下列作答．（结果保留两位小数，参考数据：，，） (1)填空：结合研究报告计算______米； (2)工作人员提示，如图2，在主体树干上长出一根分枝，该分枝上最高点C也是卧龙柏的最高点，用一条虚线将整棵弯曲的卧龙柏的树根中心与树顶中心连接，即虚线，则虚线称为卧龙柏的整树等效中轴线，且卧龙柏的整树等效中轴线与水平面的夹角．若卧龙柏最高点在圣母殿上檐翼角尖点的正上方，求出卧龙柏最高点到地面的距离． (3)反思：研究小组在专业工作人员的指导下发现，不论是的长度还是卧龙柏的高度，计算结果与实际数据均有较大误差，请你结合上述信息分析产生误差的原因（写出一条即可）． 题型16 三角函数的实际应用之实物建模问题 【典例1】（2026·山西运城·三模）如图，是某款台灯的实景图，台灯可桌面使用也可壁挂使用．已知支架的长为，灯罩的长为，如图2是壁挂使用时的示意图，底座可固定在墙壁上，为了使台灯的照射面最大，支架与底座的夹角为，且灯罩与支架的夹角为．要使台灯灯罩顶端A到桌面的最佳高度为，求此时底座最低端的固定高度．（结果精确到，忽略台灯底座厚度，参考数据：） 【变式1】（2026·河南新乡·二模）带购物篮的手推步行辅助器（如图1）可以提高老年人出行购物的安全性，如图2是步行辅助器的侧面示意图．其中横杆与地面平行，框架与横杆的夹角，框架与把手（与地面平行）的夹角．已知长为，长为，点和点是车轮的圆心，车轮的半径为．求把手到地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【变式2】（2026·山东潍坊·二模）如图①，一种阅读书架放置在水平桌面上，其侧面示意图如图②所示．测得底座高为，，支架为，面板纵截面的长为，为，面板可绕支点上下转动（厚度忽略不计）．(1)求支点离桌面的高度；(2)小亮通过阅读产品说明书得知：面板绕点转动时，面板与支架的夹角满足，求面板绕点由转动到时，上端离桌面的高度增加了多少？ 【变式3】（2026·辽宁阜新·二模）图是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且． (1)如图，当椅背垂直于地面时，求的度数；(2)图是一圆柱体水杯放置于小桌板上时的左视图，杯子到桌面边缘距离，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？（，，，，计算结果保留整数．） 【变式4】（2026·江苏南京·二模）如图1，某型号抓草机由基座、动臂和斗杆构成，图2是其侧面结构示意图，矩形为基座，折线为动臂，为斗杆．已知基座的高度为1.2米，动臂的长（与的长度和）为5.1米，动臂伸展角，斗杆与动臂的夹角，斗杆与竖直方向的夹角为，到地面的距离为4.2米． (1)的长度是 米；(2)求到的水平距离的长．（结果精确到0.1，参考数据：，，，） 1．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）已知中，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东淄博·期末）在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽阜阳·一模）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的正切值为___________ 6．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）计算：__________． 7．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）按要求完成作答： (1)计算：．(2)计算：． (3)设，是方程的两个根，且，求常数的值． 8.（26-27九年级下·浙江·单元复习）如图，在中，和均为锐角，是边上的高线．已知，，且．(1)求的长；(2)求的值． 9.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的边上画点，连接，使； (2)在图②中的边上画点，连接，使； (3)在图③中的边上画点，连接，使． 10．（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡度为，背水坡的坡角的正切为，已知迎水坡，坝顶宽，求大坝的高度和坝底的长． 1．（25-26九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若为锐角，，则 D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 4．（2026·广东深圳·三模）“明阳天成号”是目前全球最大的漂浮式风电平台，创造了多个世界第一！它的每个叶片长度为128米，如右图所示，从正面看，两个风机主机舱（右图点B和点C）与主基座（右图点A）构成等腰直角三角形，，，若其在工作中的某一瞬间，叶片与塔筒所在的直线重合，且，当，则塔筒的长度为（     ）米．（参考数据：，，） A．181.0 B．230.4 C．102.4 D．153.6 5．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）在中，若（其中，为锐角），则______． 6．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，分别为斜边上的高和中线，，，若，则________． 7．（2026·湖南娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则_________． 8．（26-27九年级上·山东淄博·期中）某数学兴趣小组借助无人机测量某段河道的宽度，如图，在河岸边的点处，兴趣小组控制一架无人机沿倾斜角的方向飞行到达点处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行至点处，此时测得河对岸处的倾斜角为，图中点，，，在同一平面内．（参考数据）。(1)求无人机从点飞到点时垂直上升的距离（结果保留根号）；(2)求该段河道的宽度（结果保留整数）． 计算器按键顺序 结果 9．（26-27九年级上·广西桂林·阶段检测）【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： (1)【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线（如图②，此时目标的仰角是图②中的__________．目标的仰角与图②中的∠ ________相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为米，求树高．（，结果精确到米） (3)【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、，、、在同一直线上，分别测得点的仰角，，测得、间的距离2米，点、到地面的距离、均为米，求的长（结果保留根号） (4)【拓展探究】在（3）的条件下，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离、均为，则用含的式子表示为__________． 10．（2026·重庆·二模）随着智能物流系统的普及，许多仓储中心开始使用机器人协同作业．某分拣中心为优化路径，在同一平面内设置了四个智能站点，，，．如图，点在点的南偏东方向米处，点在点的东南方向且在点的正东方向，点在点的正东方向且与点相距米．（参考数据：，，） (1)求，两点的距离（结果保留整数）；(2)两个物流机器人同时以相同的速度从不同站点出发执行任务，甲机器人从出发沿着方向前往取货，乙机器人从出发沿着方向前往卸货（卸货时间忽略不计），卸货完成后，乙机器人立即沿着方向前往装货，在执行本次任务的过程中，甲机器人的通信模块受自身结构遮挡，在其正南方向存在以自身为圆心，圆心角为的扇形信号盲区（扇形的对称轴始终指向正南方向）．当乙机器人刚好进入甲机器人信号盲区时，求甲机器人与乙机器人的距离（结果保留整数）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $