卷13 第三十一章 相似 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（人教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了“相似”单元的核心知识，包括相似三角形的判定、性质、位似图形及比例尺应用，通过例题精讲和“上分警示”总结易错点，帮助学生构建知识点间的逻辑联系。 其亮点在于融入跨学科、传统文化及探究性问题，如分子结构观察培养几何直观，《九章算术》测量问题发展模型意识，分层设计基础到难题满足不同需求，助力学生巩固知识，教师精准教学。

数 学 九年级全一册 RJ 1 2 3 卷13 第三十一章提优验收卷（B卷） 考查内容：相似 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.[2026山东德州德城区月考]如图，已知，且相似比为 ，若 ，则下列线段长度能确定的是( ) C A. B. C. D. 【解析】，相似比为，. ， ，， 线段 的长度能确定，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2. [2026辽宁沈阳月考]2025年9月3日上午9时，纪念中国人民抗日战 争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，其中包括约 70分钟的盛大阅兵.刘阳根据直播以及阅兵路线信息画了一幅路线示意图，若某两 地的实际距离为600米，画在示意图上的距离是20厘米，则在示意图上的距离与实 际的距离之比是( ) A A. B. C. D. 【解析】600米厘米， 示意图上的距离 实际的距离 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 上分警示 比例尺 与比例尺相关的问题一般是实际问题，无论是计算长度还是求比例尺之前，一定 要统一单位. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.[2026安徽滁州月考]在和中， ，根据下列条件，不能判定 和 相似的是( ) B A. B. C. D. 【解析】,如图所示.， ， ，故A不符合题意； ， 不符合相似三角形的判定定理， 由 ， 不能判定和相似，故B符合题意；， ， ，故C不符合题意；，， ， 故D不符合题意，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 上分警示 相似三角形的判定 两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，注意一定是对应边的夹 角对应相等，不是夹角则无法判定相似. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 （第4题图） 4.跨学科问题 [2026广东深圳宝安区月考]某物质的分子结构 如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结 构，则保持不变的是( ) D A.的长度 B.六边形 的周长 C.六边形的面积 D. 【解析】用放大镜观察该分子结构：的长度变大，六边形 的周长变大， 面积变大， 不变.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第5题图） 5.传统文化 [2026河北石家庄长安区月考]《九章算术》中 有一测量问题：今有邑，东西七里，南北九里，各中开门. 出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木？译文为如图， 在矩形城池中，东西城墙长7里，南北城墙 长9 里，南门点，东门点分别位于， 的中点处， C A.2.15里 B.2.05里 C.1.05里 D.0.95里 ，，经过点，里，则 的长是( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 【解析】由题意得，， ， 四边形是矩形， ， ，，，， ， ，解得， 的长为1.05里，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （第6题图） 6.[2026浙江杭州月考]如图，点在反比例函数 的 图象上，过点作轴于点，轴于点，以点 为 位似中心把四边形放大得到四边形，过点 的反 比例函数图象的解析式为，则四边形 和四边 形 的相似比为( ) A A. B. C. D. 【解析】 点在反比例函数的图象上，过点 的反比例函数图象的 解析式为，， 以 为位似中心把四 边形放大得到四边形， 四边形和四边形 的相似比为 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 （第7题图） 7.[2026陕西西安交大附中月考，中]如图，在中，， 是 边的三等分点，，是边的三等分点，连接, ,连接 并延长与的延长线相交于点.若，则线段 的长为 ( ) D A.5 B.7 C.6 D.8 【解析】，是边的三等分点，，是边 的三等分点， .又， ， ，，.又 , ，，.又，为 的中位线， .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第8题图） 8.[2026江苏苏州月考，中]如图，在中， ，以 为直径作，交于点，延长交于点 ，连接 ，交于点.若，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】如图，连接为的直径， ， 即， 点为的中点.取的中点 ，连接 ，则是的中位线，， ， ，.， ， ，，， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 9.[2026河南商丘梁园区月考，中]如图，在中，， ， 动点以的速度从点出发沿方向向点运动,动点以 的速度从点 出发沿方向向点运动,两点同时开始运动，当点运动到点 的位置后，两点 均停止运动，那么当以点,,为顶点的三角形与 相似时，运动的时间是 ( ) D （第9题图） A.或 B. C. D.或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】设运动时间为，则， ， .， 只存在 和 这两种情况.当时，， ，解得 ；当时，，，解得 .综上所述，当 以点,,为顶点的三角形与相似时，运动的时间是或 ,故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 10.[2026天津南开区月考，难]如图，点在线段上，在 的同侧作等腰 和等腰，其中 ，与, 分别交于点 , ，连接，对于下列结论：； ； ； ,其中正确的有( ) C （第10题图） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】由题意得， ， ， ，即 ， ，故①正确.易知 ，，.， ， ，，即，即 ，故②错误. ，， , ，，故③正确. ， ,, ， ,， ， 故④正确.综上，正确的为①③④，共3个.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） （第11题图） 11.[2026福建宁德月考]如图，四边形 四边形 ，则 的度数为______. 【解析】 四边形 的内角和为 ，四边形 四边形 ， ， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 12.[2026四川成都月考]如图，图形甲与图形乙是位似图形， 是位似中心，位似 比为，点，的对应点分别为点，.若，则 的长为____. 10 （第12题图） 【解析】由题意可知，.， .故答案 为10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 13.[2026山东临沂月考]如图，直线，交于点，，若 ， ，，则 的值为__. （第13题图） 【解析】，.，， ， ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14.[2026江苏常州外国语学校月考，中]如图，衣夹的简化示意图中夹臂， 可分别绕点，旋转，图中为夹嘴闭合（即， 两点重合）状态， ，， .当夹子完全张开时 （即，两点重合），能夹衣物的最大厚度是_ __ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 【解析】 当,两点重合时，示意图如图，连接 ， ，，，. ， ，，， 能夹衣物的最大厚度是 ， 故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 15.[2026山东淄博月考，中]如图，在中，，，是 的 平分线，是的中点，交于，交的延长线于,则 ___. 5 （第15题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 【解析】 如图，过点作交的延长线于点是 的平分线， ，， ， ，，.设 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 ，则是的中点， ， ，，， ， ，，， .故答案为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16.新考法 [2026北京海淀区月考，难]如图，点在等边三角形的边 上，连 接，线段的垂直平分线分别交边，于点，.当时， 的 值为 __ . （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 【解析】 如图，连接，垂直平分，，.在和 中，， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 ，， .设 ，，则，， , ， ， ，，，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2026江苏宿迁月考]（8分）如图, ， . （1）与是否相似？请说明理由分 【解】与 相似.理由： ， .…………（2分） 又 ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）设，，求的长分 【解】 ，，， .………… （5分） ， ，…………（7分） ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 18.[2026安徽芜湖二十七中月考]（10分）如图，在平面直角坐标系中，给出了格 点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为 . （1）画出关于轴对称的 ；（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 【解】如图所示， 即为所求.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与 位似，并且点的坐标为 ；（4分） 【解】如图所示， 即为所求.…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （3）与的相似比是______分 1：2 【解析】，，6，与 的相似比为12，故答案为1 2.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 19.[2026山东临沂月考]（10分）如图，在 中， ，于点，是线段 上的一点， 将线段绕点顺时针旋转 得到线段，点 恰好落在 线段 上. （1）求证： ；（4分） 【证明】 将线段绕点顺时针旋转 得到线段， ， .…………（2分） ， ， . 又, .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （2）若，，求点到边的距离分 【解】过点作于点 ，如图所示. ， ， , .…………（6分） ， ， .………… （7分） 将线段绕点顺时针旋转 得到线段，， . ，，，即点到边 的距离为 2.4.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 20.[2026浙江杭州临平区月考]（12分）如图，在菱形中，点在边 上， 连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （1）［中］求证： .（6分） 【证明】在菱形中，点在边上， 为菱形的对角线， ，，， ， .…………（2分） 在与中， ，，.又 ， ，…………（5分） ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （2）［中］若，，求的长分 【解】由（1）得 ， .…………（7分） ，，， .…………（8分） ， ，…………（9分） ，…………（10分） ，， ， .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 21.新考法 [2026广东珠海月考]（12分）如图，小李和小王去公园玩跷跷板游戏 （支点 两边长度一样），两同学越玩越开心，小李对小王说：“真可惜！我只能 将你最高翘到1米高，如果我们各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就 能将你翘得更高！” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 （1）［中］请你根据题目信息，计算出跷跷板的支点到地面的距离，即 的长 度分 图（1） 【解】小李将小王翘到1米高的情形如图（1），过作 地面， 此时 落在地面上.…………（1分） ，， ， ， .…………（3分） 又，.米，米, 跷跷板的 支点 到地面的距离为0.5米.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 （2）［中］你认为小李的说法对吗？请你作图分析，说明理由分 图（2） 【解】小李的说法不对.理由：若将两端都再伸长相同的长 度，假设为米，如图（2）. ， ，即, ，同（1）可得 ，，由米，得 1米. 综上所述，跷跷板两边都再伸长相同的长度，跷跷板能翘到的最大高度始终为支架 高度的两倍，所以不可能翘得更高, 小李的说法不对.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 （3）［中］如果小李想把小王翘高到1.25米处，试说明你的方法（请写出两种）. （4分） 图（3） 【解】（方法不唯一）方法一：如图（3），保持 长度不 变，将延长至，使，则 ，由 ，得， 米.………… （10分） 图（4） 方法二：如图（4），将支架升高0.125米. ， ， （米）， ， 米.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 22.探究性问题 [2026北京海淀区月考]（14分）数学课上，王老师给出一道题：如 图（1），将边长为5的正方形纸片折叠，使顶点落在边上的点 处 （点不与，重合），折痕为，折叠后边落在的位置，与交于点 . 【初步探究】 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 （1）观察操作结果，在图（1）中找到一个与 相似的三角形，并证明你的 结论分 【解】（答案不唯一） .…………（1分） 证明： ， ， ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 【深入探究】 （2）［中］当点在边的什么位置时，与面积的比是 ？请写 出求解过程分 【解】，25， 5.…………（5分） 设，则，， ， ， 在中， ，………… （8分） 解得（舍去），， ， 即当时，与面积的比是9 25.…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 【解决问题】 （3）［难］将正方形换成正三角形，如图（2），将边长为5的正三角形纸片 折叠，使顶点落在边上的点处（点与，不重合），折痕为，当点 在 边的什么位置时，与面积的比是？请写出求解过程分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 【解】由题意得， ， ， ， .…………（11分） 与面积的比是925,.设， ，则 ，，， ，………… （12分） ，解得，，即当时， 与 面积的比是9 25.…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 $