卷12 第三十一章 相似 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（人教版·新教材）

该初中数学单元复习课件聚焦“相似”核心知识，系统梳理相似图形定义、比例线段、相似三角形判定与性质及位似变换，通过回归教材实例（如墨子小孔成像）和“上分点拨”总结规律，构建知识网络。 亮点在于融入新考法、传统文化与实际应用，如用相似知识解决古树测量问题，培养学生几何直观与推理能力。分层设计基础题到综合题，适配不同水平学生，教师可借详细解析精准把握学情，提升复习效率。

数 学 九年级全一册 RJ 1 2 3 卷12 第三十一章基础诊断卷（A卷） 考查内容：相似 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.[2026湖北武汉江岸区模拟]观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似 的一组是( ) D A. B. C. D. 【解析】由相似图形的定义可知D选项中的两个图形是相似图形，符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2026山东烟台芝罘区月考]下列长度的四组线段中，成比例的一组是( ) D A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 【解析】A选项，， 四条线段不成比例，故不符合题意；B选 项，， 四条线段不成比例，故不符合题意；C选项， ， 四条线段不成比例，故不符合题意；D选项， ， 四条线段成比例，故符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 （第3题图） 3.[2026广东深圳罗湖区模拟]如图所示是小明的一张书法练习 纸，练习纸中的竖线都平行，且相邻两条竖线间的距离都相等， 同一条直线上的三个点，， 都在竖线上.若线段 ，则线段 的长为( ) C A. B. C. D. 【解析】如图， 练习纸中的竖线都平行，且相邻两条竖线间 的距离都相等，. ， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 （第4题图） 4.[2026浙江绍兴月考]如图，，则 的度 数是( ) B A. B. C. D. 【解析】 ， ， ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 5.回归教材 [2026福建泉州月考]小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一 种物理现象.两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验 的做法与成因.图（1）是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图（2）所示.已知 与交于点，.若点到的距离为，点到的距离为 ， 蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像 的高度是( ) C 图（1） 图（2） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 【解析】， 点到的距离为，点到 的 距离为，.， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 6.[2026辽宁沈阳杏坛中学月考]如图，在平面直角坐标系中， 已知点，，以原点 为位似中心，相似比 为，把缩小，则点的对应点 的坐标是( ) C A. B. C.或 D.或 【解析】 以原点为位似中心，相似比为，把缩小， 点 的对 应点的坐标是，或，，即或 . 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 7.[2026贵州贵阳月考]如图，在三角形纸片中，，， ， 沿虚线剪下的涂色部分的三角形与 相似的是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 【解析】A选项，，， 沿虚线剪下的涂色部分的三角形与 相似，故此选项符合题意；B选项，， 沿虚线剪下的涂色部 分的三角形与不相似，故此选项不符合题意；C选项，， 沿 虚线剪下的涂色部分的三角形与 不相似，故此选项不符合题意；D选项， ， 沿虚线剪下的涂色部分的三角形与 不相似，故此选项不 符合题意.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （第8题图） 8.[2026吉林长春朝阳区月考，中]如图，在 中， ，用直尺和圆规作于点 ，则下列结论正 确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】， ， ， ， ，，， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 上分点拨 直角三角形斜边上的高与相似 直角三角形斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形两两相似.注意要找准对 应边和对应角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 9.[2026安徽安庆月考，中]如图，已知，，与相交于点 ， 作于点，点是的中点，过点作于点，交于点 .若 ，，则 的值为( ) A （第9题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】,，，， ， ，，，， ， ，.交于点， ， ,. 点是的中点，，， , ，，， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 （第10题图） 10.新考法 [2026福建厦门双十中学月考，偏难]如图， 为矩形的中心，中， ，且边 ,分别与边，相交于，.若， ， 在绕点旋转的过程中，，，则 与 的关系是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】 . 如图，过点作于点，于点 ，易得 ， ， .又 ， ， ,,即 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） （第11题图） 11.[2026江苏盐城大丰区月考]如图，若 ，则 ，括号里应填入____. 【解析】在和中， ， ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 12.[2026浙江杭州文澜中学月考]如果两个相似三角形对应角平分线之比为 ， 其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为____. 32 【解析】 两个相似三角形对应角平分线之比为， 这两个三角形的相似比为 ， 这两个三角形的面积比为 较小的三角形面积为2， 另一个三角形 的面积为32.故答案为32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 上分点拨 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于 相似比. ②相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13.[2026河南郑州月考]已知矩形的宽和长分别为和 ，把它按如图所示方 式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形都与原矩形相似，则 _____. （第13题图） 【解析】由题意得，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （第14题图） 14.[2026山东威海月考，中]如图，在中， ， 和边上的高分别为和，连接.若，则 ___. 2 【解析】 ，和边上的高分别为和 ， , ， ，，.又 ， ，.， ，故答案 为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 15.传统文化 [2026吉林长春月考，中]《墨子》记载：“轮匠执其规矩，以度天下 之方圆.”通过度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形 的面积为18，以它的对 角线交点为位似中心，作它的位似图形.若，则四边形 的外接圆中劣弧 的长为___. （第15题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 【解析】如图，连接， 正方形 的面积为18， . 四边形为正方形，点 是其对角线的 交点，, ， 根据勾股定理易得 正方形与正方形 是以点 为位似中心的位似图形，在上，在上，正方形 正方形 ，，， 劣弧的长为 ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 16.新定义 [2026山东青岛月考，偏难]从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点 引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三 角形，如果分得的两个小三角形中有一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似， 那么我们把这条线段称为这个三角形的完美分割线.如图，在中， ， ，是的完美分割线，且是以 为底边的等腰三角形，则 完美分割线 的长为_________. （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 【解析】是的完美分割线，且是以 为底边的等腰三角形， ，，.设，则 ， ，解得或（舍去）, . ，，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2026河北石家庄月考]（8分）如图，已知 ， ，， ， ， . （1）求 的长；（2分） 【解】，，， .…………（2分） （2）求 的长；（3分） 【解】，，， .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （3）求的大小分 【解】， ， ，…………（7分） .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 18.[2026湖南张家界月考]（10分）如图，在 中， ，是的中点，连接,过点作，垂足为 , 连接 . （1）证明： ；（4分） 【证明】， ， .…………（2分） ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）证明： .（6分） 【解】， .…………（6分） 是的中点，， .…………（8分） 又， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 19.[2026山东济南实验中学月考]（10分）如图，在 的网格中，每个小正方 形的边长都是1，与是以点 为位似中心的位似图形，且它们的顶 点都在格点（小正方形的顶点）上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （1）在图中画出位似中心 ；（不写画法，保留画图痕迹）（5分） 【解】如图（1）所示，点 即为所求.…………（5分） 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）请在此网格中，以点为位似中心，画出，使它与 的相似比 等于2.（5分） 【解】如图（2）所示, 即为所求.…………（10分） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 20.[2026江西南昌月考]（12分）如图，已知是边长为 的等边三角形，为边上一点，且，连接,作点 关 于的对称点，连接，，与交于点 . （1）［中］求 的值；（6分） 【解】是边长为的等边三角形，, 点 关于的对称点是，，,, ， ， .…………（4分） ，， ， .………… （6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （2）［中］求的值分 【解】 点关于的对称点是，， ， .令，则， ， ，，， ， ，， .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 21.新情境 [2026山西太原月考]（12分）学习了相似三角形的知识后，小丽同学 准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度.已知三角形纸板的斜边 长为0.5米，较短的直角边长为0.3米. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （1）［中］小丽先调整自己的位置至点 ，将直角三角形纸板的三个顶点位置记 为，，（如图（1）），斜边平行于地面（点，，， 在同一条直 线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边 距离地面的高 度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度 ；（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 【解】 ，， ，………… （2分） .…………（3分） 在中，， ， 由勾股定理得 .…………（4分） ，， ， . 答：古树的高度为 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （2）［中］为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点 ，将直角三 角形纸板的三个顶点的新位置记为，，（如图（2）），使直角边 （较短直角边）平行于地面（点，，,在同一条直线上），点 在斜边 的延长线上，且测得此时边 距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前 移动了多少米？（6分） 【解】 ， ， ， …………（8分） ，…………（9分） ，， . 答：小丽向前移动了 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 22.综合与实践 [2026山西晋中月考]（14分）一次数学综合实践活动课上，小亮 发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.已知是 的角平分线，可得 .小亮的证明过程（部分）如下： 证明：如图（1），过点作，交的延长线于点 . ，， ， ， . …… 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 （1）［中］请将小亮的证明过程补充完整分 【证明】如题图（1），过点作，交的延长线于点 , ,,,.是 的角平分 线，，， ，…………（2分） .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 （2）［中］如图（2），在中，是的角平分线，已知 ，则 的值为__分 【解】是的角平分线，由（1）可得.， ， ，故答案为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 （3）［偏难］如图（3），在矩形中，是边上一点，已知 ， ，，连接并延长，交的延长线于点，的平分线 与 交于点，求的长分 【解】 四边形是矩形，,， , ，，， , .…………（10分） 在中， ， .………… （11分） 是的角平分线，，， .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 $