山东省淄博市淄川区2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试题

初三数学试题 （时间120分 满分150分） 2026.06.26 亲爱的同学们： 这份试题将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，老师会一直投给你信任的目光．请你认真审题，看清要求，仔细答题．祝你考出好成绩，为初三学年第一学期的期末数学学习画上圆满的句号!特别提醒：本次考试不允许使用计算器． 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）． 1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 A． B． C． D． 2．已知最简二次根式与二次根式可以合并，则的值为 A．11 B．8 C．6 D．5 3．若（其中，）则下列式子中不一定正确的是 A． B． C． D． 4．如图，在中，若，，则下列比例式正确的是 A． B． C． D． 5．在四边形中，，，添加下列条件后仍然不能判断四边形为菱形的是 A． B． C． D． 6．如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是 A． B． C． D． 7．如图，在一块长、宽为的矩形草坪中修建宽度均相同的小路（阴影部分），修建小路后剩余草坪的面积为．设小路的宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是 A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，点在对角线上，于点于点，连接．若，，则的长为 A．8 B．10 C． D． 9．在如图所示的正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是 A． B． C． D． 10．若，是方程的两个实数根，则的值为 A．-16 B．16 C．-20 D．20 11．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 A．且 B． C． D． 12．如图，已知，，，，点在线段上运动，为线段的中点，在点运动的过程中，的最小值是 A．5 B．4 C．3 D．2 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 13．在比例尺为的地图上，，两地的距离为，则其实际距离为_________________． 14．已知，则的值为_________________． 15．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为_________________________． 16．如图，正方形纸片的边长为8，将其沿折叠，则图中标记为①②③④的四个三角形的周长之和为_________________． 17．如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形．依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．若，则的长为_________________． 18．如图，点，在线段上（），是边长为6的等边三角形，且，若，则的长为_________________． 19．如图，小明将家中地砖中心的图案（由大小相同菱形和正方形组成）绘制到平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点的坐标为_________________． 20．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值为_____________． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）． 21．（本题满分20分） 计算：（1）， （2）． 解方程：（1）， （2）． 22．（本题满分18分） （1）已知：在中，对角线的垂直平分线分别与边，和对角线相交于点，，． 求证：四边形是菱形．（自己画图并完成证明） （2）如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，，．求的长． 23．（本题满分10分） 为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图 说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 （1）交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； （2）请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 24．（本题满分10分） 以四边形的边，，，为斜边分别向外作等腰直角三角形，直角顶点分别为，，，，顺次连接这四个点，得四边形． （1）如图①，当四边形为正方形时，我们发现四边形是正方形；如图②，当四边形为矩形时，直接写出四边形的形状：_________________； （2）如图③，当四边形为一般平行四边形时，设（）． ①试用含的代数式表示； ②求证：； ③四边形是什么四边形？并说明理由． 25．（本题满分12分） 如图1，在中，，，，现有动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动．已知点的运动速度是每秒4个单位长度，点的运动速度是每秒2个单位长度，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，两点均停止运动（）．设运动时间为秒． （1）用含的代数式表示：_________________，_________________； （2）当为多少时，的长度等于？ （3）当为多少时，以，，为顶点的三角形与相似？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试题参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A D C C C B B D C D D 二、填空题 13．500 14．4 15．2027 16．32 17．2 - 4 18. 9 19.(-1- ， ) 20. 17 三、解答题 21.计算：（1）（2） 解方程：（1）两边同时除以325得，（1+x）2= 直接开平方得1+x=±，∴x1=- ，x2= （2） 22.（1）证明：如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在和 中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 23.（1）选择第一组的方案 （2）解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为． 24.（1）四边形EFGH的形状是正方形． （2）解：①∠HAE=90°+α， 在平行四边形ABCD中AB∥CD， ∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-α， ∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形， ∴∠HAD=∠EAB=45°， ∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-（180°-a）=90°+α， 答：用含α的代数式表示∠HAE是90°+α． ②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形， ∴AE=AB，DG=CD， 在平行四边形ABCD中，AB=CD， ∴AE=DG， ∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形， ∴∠HDA=∠CDG=45°， ∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+α=∠HAE， ∵△AHD是等腰直角三角形， ∴HA=HD， ∴△HAE≌△HDG， ∴HE=HG． ③答：四边形EFGH是正方形， 理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE， ∵HE=HG， ∴GH=GF=EF=HE， ∴四边形EFGH是菱形， ∵△HAE≌△HDG， ∴∠DHG=∠AHE， ∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°， ∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°， ∴四边形EFGH是正方形． 25.（1）CQ＝2t，CP＝20﹣4t （2）在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ2＝CP2+CQ2， ∵PQ＝4， ∴（4）2＝（20﹣4t）2+（2t）2， 解得：t＝2或t＝6（舍去）， 即当t为2时，PQ的长度等于4； （3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，且∠C＝∠C＝90°， ∴①△CPQ∽△CAB， ∴， ∴， ∴t＝3， ②△CPQ∽△CBA， ∴， ∴， ∴t＝， 即当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 数学试题参考答案 第 1 页（共 2 页） 数学试题参考答案 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $