精品解析：山东省淄博市淄川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（五四学制）

2024-2025学年山东省淄博市淄川区八年级（下） 期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列式子中的“□”内，填入中的一种符号，其中无论填入哪种符号都能使二次根式有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查二次根式有意义的条件，根据题意，依次代入计算即可判断 【详解】解：A、，故符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A 2. 下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（ ） A. B. 3，6，2，4 C. 4，6，5，10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，判断四条线段是否成比例，逐项验证是否存在两组的比值相等或满足交叉乘积相等即可． 【详解】解：A、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意； B、∵，∴四条线段3，6，2，4是成比例线段，故此选项不符合题意； C、∵，，不相等，∴四条线段4，6，5，10不是成比例线段，故此选项符合题意； D、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 逐一分析各选项的化简过程，判断其正确性即可． 【详解】解：A、，原化简结果错误，故此选项不符合题意； B、，原化简过程错误，故此选项不符合题意； C、，原化简结果错误，故此选项不符合题意； D、，化简正确，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，在中，点D，E，F分别在边上，已知，，则下列比例式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，根据平行线分线段成比例定理得，可判断A不符合题意；由变形得，可判断B不符合题意；可证明，由，假设成立，可推导出，与已知条件不符，可判断C符合题意；由，，证明四边形BDEF是平行四边形，则，再证明，得，推导出，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明，及四边形BDEF是平行四边形是解题的关键 【详解】解：A、， ， 故此选项不符合题意； B、， ， 故此选项不符合题意； C、∵， ， 假设成立，则， ，与已知条件不符， 不成立， 故此选项符合题意； D、，， 四边形BDEF是平行四边形， ， ∵， ， ， ， 故此选项不符合题意， 故选：C． 5. 方程的两根为，，下列各式正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系直接求解即可． 【详解】根据题意有：，， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，． 6. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程的判别式，即可得． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点． 7. 已知是方程的一个实数根，则代数式的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方程的解的概念、代数式的变形和整体代入的数学思想方法，由k是方程的一个实数根可得与的值，然后整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵k是方程的一个实数根， ∴，显然，两边同时除以k，得：， ∴，， ∴， 故选：B． 8. 随着科技的不断发展和人们对环保的日益重视，新能源汽车越来越受到大家的青睐，某品牌新能源汽车经销商统计了今年第一季度的销售量（如图所示），若该品牌汽车的销售量月平均增长率为，则根据图中信息，得到x所满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，折线统计图；设该品牌汽车的销售量月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：该品牌汽车的销售量月平均增长率为，依题意得， 故选：A． 9. 如图，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是( ) A. B. CD：AD=BC：AC C. AC：CD= AB：BC D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目中隐含条件∠A=∠A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是，根据比例性质即可推出答案． 【详解】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A=∠A， ∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是： ∴AC2=AD•AB． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 10. 若菱形两条对角线的长度是方程的两个实数根，则菱形的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理．掌握菱形的性质是解题的关键． 首先解方程得到菱形的两条对角线长度，再利用勾股定理计算边长． 【详解】解：， 化简，得， ， 解得或， ∴菱形的两条对角线长度分别为2和4． ∵菱形的对角线互相垂直且平分， ∴边长可由勾股定理计算： 故选：A． 11. 如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 是的边的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：C 12. 如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　） A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质，得到直角和平行线，利用相似三角形的判定和性质进行推理判断即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠EDP=∠FCP=90°， ∵∠EPD=∠FPC， ∴△EDP∽△FCP； ∵∠FEB=∠FCP=90°， ∵∠F=∠F， ∴△FEB∽△FCP； ∴△FEB∽△EDP； ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°， ∵∠BEF=90°， ∴∠AEB+∠DEP=90°，∠AEB+∠ABE=90°， ∴∠DEP=∠ABE， ∴△EDP∽△BAE； ∴△FCP∽△BAE； ∴△FEB∽△BAE； 共有6对， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 13. 的算术平方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，二次根式的性质化简，先计算，进而即可求解． 【详解】解：，的算术平方根为， 故答案为：． 14. 已知，则的值为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，由得到，代入，即可求值． 【详解】解：， ， 故答案为： 15. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 16. 已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝____________． 【答案】1 【解析】 【分析】把x＝代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把x＝代入方程得， 解得m＝1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 17. 如图，在矩形中，，，平分交于点，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，由矩形的性质可得，，进而可得是等腰直角三角形，即得，再证明，得到，利用勾股定理求出即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 又∵， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是 ______ 【答案】27cm2 【解析】 【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得． 【详解】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE， 则矩形ABDC∽矩形FDCE， 则 设DF＝xcm，得到：， 解得：x＝4.5， 则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2． 【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键． 19. 若正数a是关于x的一元二次方程的一个实数根，是关于x的一元二次方程的一个实数根，则a的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的知识，解一元二次方程，解答本题的关键是求出m的值，此题难度一般；首先根据题意得到①和②，根据①②求出m的值，进而解一元二次方程可求出a的值． 【详解】解：正数a是关于x的一元二次方程的一个根， ①， 关于x的方程一元二次方程的一个根， ②， 由①②可得， ， 或， 是正数， ， 故答案为： 20. 如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G,若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为_____． 【答案】+3． 【解析】 【详解】分析：根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长． 详解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为×9=6， ∴空白部分的面积为9-6=3， 由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=， 设BG=a，CG=b，则ab=， 又∵a2+b2=32， ∴a2+2ab+b2=9+6=15， 即（a+b）2=15， ∴a+b=，即BG+CG=， ∴△BCG的周长=+3， 故答案为+3． 点睛：此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用． 三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 计算： （1）； （2）已知，，求的值． 解方程： （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、解一元二次方程-因式分解法，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键； （1）依据题意，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可得解； （2）依据题意，由，，则，，，结合，进而代入计算，可以得解； （3）依据题意，由，则，进而计算，可以得解； （4）依据题意，由，则，进而计算，可以得解． 【详解】解：（1） （2）由题意，，， ，， （3）， 或． （4）， 或 22. （1）如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，求窗户的高度． （2）在国家政策的积极扶持下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐渐上升．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现，当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）窗户的高度为 （2）下调后每辆汽车的售价为21万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，列出方程是解题的关键； （1）阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB的长，即窗户的高度． （2）设下调后每辆汽车的售价y万元，每辆汽车的销售利润为万元时，根据等量关系：平均每周的销售利润为96万元，利用一周的销售利润等于一辆汽车的利润与销售的汽车数的乘积，列出一元二次方程，并求解即可． 【详解】∵， ，， ， ， ， 解得：， ， 答：窗户的高度为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价y万元，每辆汽车的销售利润为万元时， 由题意得：， 整理可得：， 解得：，， 因为要尽量让利顾客，所以 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 23. 如图，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F． （1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论； （2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围． 【答案】（1）四边形CEGF为菱形，理由详见解析；（2）3≤CE≤5． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据折叠的性质，易证△EFG是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得GF=EC，又由GF∥EC，即可得四边形CEGF为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形BGEF为菱形；（2）如图1，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，推出四边形CEGD是矩形，根据矩形的性质即可得到CE=CD=AB=3；如图2，当F与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得AE=CE，根据勾股定理即可得到结论． 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠GFE=∠FEC， ∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线， ∴∠GEF=∠FEC， ∴∠GFE=∠FEG， ∴GF=GE， ∵图形翻折后BC与GE完全重合， ∴BE=EC， ∴GF=EC， ∴四边形CEGF为平行四边形， ∴四边形CEGF为菱形； （2）解：如图1，当F与D重合时，CE取最小值， 由折叠的性质得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°， ∵∠ECD=90°， ∴∠DEC=45°=∠CDE， ∴CE=CD=DG， ∵DG∥CE， ∴四边形CEGD是矩形， ∴CE=CD=AB=3； 如图2，当G与A重合时，CE取最大值， 由折叠的性质得AE=CE， ∵∠B=90°， ∴AE2=AB2+BE2，即CE2=32+（9﹣CE）2， ∴CE=5， ∴线段CE的取值范围3≤CE≤5． 考点：四边形的综合题. 24. （1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题、矩形的性质，三角形三边关系的应用，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． （1）利用题目中的构图，推出的最小值是的长，再利用勾股定理求出即可； （2）设，则，由勾股定理，得，，则，再仿照（1）的构图和求解方法解答即可； （3）构造矩形中，C是的中点，于C，，，，，求得，，则，应为，所以的最大值为，过点D作于点G，在中，利用勾股定理求出AD即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，，， 由勾股定理，得， ∴的最小值是 13， 故答案为：13； （2）如图， 设这4个全等直角三角形的短边为x，则，， 由勾股定理，得， 由勾股定理，得， 则， 构造图形如下： ∵，，， 设，则， 可得，， ∴， ∴的最小值为的长， 过点M作交延长线于Q，则，， ∴，， ∴， 由勾股定理， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）模仿（1）可知，构造图形如下： 矩形中，于C，，，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 即的值最大，就是的值最大， ∵， ∴的最大值为， 过点D作于点G， 则，， 在中，由勾股定理，得， 故的最大值为． 25. 在直角中，，点在边上，连接，作交于点，同时点在上，且． （1）已知：如图，，． ①求证：． ②求的值． （2）若，，则的值是多少（直接写出结果） 【答案】（1）①证明：，，， 由等腰三角形的三线合一的性质可得： 是的角平分线，， 在与中， ， ； ②2 （2） 【解析】 【分析】此题考查三角形的综合题，关键是根据全等三角形的判定和相似三角形的判定和性质进行解答． （1）①根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定证明即可； ②根据相似三角形的性质解答即可； （2）根据②结论和图中条件解答即可． 【小问1详解】 ① 略 ②由①可知：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省淄博市淄川区八年级（下） 期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列式子中的“□”内，填入中的一种符号，其中无论填入哪种符号都能使二次根式有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（ ） A. B. 3，6，2，4 C. 4，6，5，10 D. 3. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D，E，F分别在边上，已知，，则下列比例式错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的两根为，，下列各式正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 7. 已知是方程的一个实数根，则代数式的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 随着科技的不断发展和人们对环保的日益重视，新能源汽车越来越受到大家的青睐，某品牌新能源汽车经销商统计了今年第一季度的销售量（如图所示），若该品牌汽车的销售量月平均增长率为，则根据图中信息，得到x所满足的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是( ) A. B. CD：AD=BC：AC C. AC：CD= AB：BC D. 10. 若菱形两条对角线的长度是方程的两个实数根，则菱形的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 11. 如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　） A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 13. 的算术平方根是_____． 14. 已知，则的值为______． 15. 计算的结果是______． 16. 已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝____________． 17. 如图，在矩形中，，，平分交于点，，则的长为______． 18. 如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是 ______ 19. 若正数a是关于x的一元二次方程的一个实数根，是关于x的一元二次方程的一个实数根，则a的值为______． 20. 如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G,若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为_____． 三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 计算： （1）； （2）已知，，求的值． 解方程： （3）； （4） 22. （1）如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，求窗户的高度． （2）在国家政策的积极扶持下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐渐上升．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现，当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 23. 如图，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F． （1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论； （2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围． 24. （1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 25. 在直角中，，点在边上，连接，作交于点，同时点在上，且． （1）已知：如图，，． ①求证：． ②求的值． （2）若，，则的值是多少（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $