精品解析：云南昆明市第三中学高2026届高三上学期10月月考数学试题

昆明市第三中学高2026届高三上学期10月月考 数学学科能力测试 命题人：徐青华 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且满足，若线段的中垂线过原点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组递增数据,,,,的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. ,,,,的极差为12 B. ,,,,的方差为16 C. ,,,,的第80百分位数为 D. ,,,,,,,,,的平均数为5 10. 已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则（ ） A. C的方程为 B. 的最小值为 C. D. 曲线在点处的切线方程为 11. 如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（ ） A. 直线与平行 B. 四面体的体积为定值 C. 点到平面的距离为 D. 异面直线与所成的角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 13. 已知，则的最小值为______. 14. 已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 16. 如图，梯形中，，，为的中点，将沿边折起，使点C到达点P的位置. （1）证明：； （2）若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知双曲线：（，）的焦距为4，点在上． （1）求的方程； （2）设过的左焦点的直线交的左支于点，，过的右焦点的直线交的右支于点，，若以，，，为顶点的四边形是面积为的平行四边形，求直线的方程． 18. 已知函数. （1）求的极值； （2）证明：当时，； （3）若，求的值. 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元，某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，作比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计 （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别 男生 女生 合计 报名参加答题活动 未报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值． 参考公式与数据： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学高2026届高三上学期10月月考 数学学科能力测试 命题人：徐青华 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求集合A，再根据指数函数性质求集合B，进而求交集. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D. 2. 已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由得， 则在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 3. 一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出溶液的上底面半径为，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为溶液高度恰为5cm，所以溶液的上底面半径为， 下底面半径为，高为， 所以溶液的体积. 故选：B 4. 若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为函数图象有交点，利用导函数画出图象，数形结合即可. 【详解】与的图象在第一象限内有公共点，等价于在时有解， 因为时，不成立，又时不成立， 所以，，则，则， 则函数图象有交点， 设，则， 所以当时，单调递增；时，单调递减； 又，且时，时，当时，， 则的图象如图： 又，要满足题意则或，得或， 综上，的取值范围是. 5. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据前项和公式得到通项公式，再根据裂项相消法求得最终结果. 【详解】当时，，则， 当时，， 则，所以， 又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 根据等比数列的通项公式可得，即， 因为，所以， 根据裂项相消法， 则， 故选：A. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且满足，若线段的中垂线过原点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由中垂线定义得，从而是直角三角形，然后由已知及勾股定理、椭圆的定义可求得离心率． 【详解】椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且满足，如图， ，由定义可知， 将代入到中，可得， 即，解得，那么． 线段的中垂线过原点，，又因为， ，那么是以为直角顶点的直角三角形． 在中，根据勾股定理可得，其中， 将代入，可得，即， 化简可得，即． 椭圆的离心率，且，． 故选：A． 7. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法可得是以4为周期的周期函数，利用周期性可得答案. 【详解】令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 可得是以4为周期的周期函数， 则. 故选：D. 8. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，利用勾股定理求出，由求出，再由正弦定理得可得答案. 【详解】由题意的，， 则，， 所以， 在中，，，，且， 则，， ， 则， 所以， 由正弦定理得，， 即. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组递增数据,,,,的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. ,,,,的极差为12 B. ,,,,的方差为16 C. ,,,,的第80百分位数为 D. ,,,,,,,,,的平均数为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用极差的定义判断选项A；利用方差的性质判断选项B；利用百分位数的定义判断选项C；利用平均数的定义和计算公式判断选项D. 【详解】对于选项A: 因为数据的极差为6， 所以. 根据可知：，. 所以，所以A正确. 对于选项B： 因为数据的方差为4，， 所以根据方差的性质可知：数据的方差为. 所以B正确. 对于选项C： 因为，为整数，则第80百分位数是第4项与第5项数据的平均值， 即，所以C错误. 对于选项D： 因为数据的平均数为3，， 所以数据的平均数为. 所以数据,的平均数为. 所以D正确. 故选：. 10. 已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则（ ） A. C的方程为 B. 的最小值为 C. D. 曲线在点处的切线方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】A.利用两圆的内切、外切的充要条件，由椭圆定义即可得的方程； B.由即求的最大值，利用椭圆性质可得； C.运用向量数量积的坐标公式计算即得； D.将选项直线与椭圆方程联立，验证消元后的方程判别式为零即可. 【详解】 圆的圆心，半径；圆的圆心，半径. 设动圆P的半径为，则， 所以. 根据椭圆的定义，可知点的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆（去掉重合的点）， 则，， 所以曲线C的方程为，A选项错误； 在中，， 因为M是动圆与圆的切点，是动圆与圆的切点， 所以三点共线，三点共线， 所以与互补，. 根据余弦定理. 由基本不等式（当且仅当时取等号）， 则的最小值不是，B选项错误； 因为与反向，与同向， 所以. 所以， 所以，C选项正确； 由 ，消去，整理得：， 则， 因在椭圆上，，即，代入上式得， 故是过椭圆上一点处的切线方程，即D项正确. 故选：CD 11. 如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（ ） A. 直线与平行 B. 四面体的体积为定值 C. 点到平面的距离为 D. 异面直线与所成的角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】连接，则为的中点，为的中点，即可判断A；证明平面，再根据棱锥的体积公式即可判断B；以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断CD. 【详解】对于A选项，连接， 因为是侧面的中心，是底面的中心， 则为的中点，为的中点， 所以在中，为的中位线，即，A正确； 对于B选项，因为，平面平面， 所以平面， 又点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值， 又为定值，所以四面体的体积为定值，B正确； 对于C选项，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，得，则， 所以点到平面的距离，C正确； 对于D选项，，, 则， 故异面直线与所成的角不为，D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为： 13. 已知，则的最小值为______. 【答案】9 【解析】 【分析】先设，再用基本不等式即可求得结果. 【详解】设， 则． （当且仅当,即时，即取“＝”） 故答案为：9 14. 已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据②将方程变形为，由①知为增函数，从而，变形构造函数可得，代入可得结果. 【详解】由②及题设条件，得. 由①，知为增函数，得，即 即. 令，则. 又为增函数，所以，即，所以， 故. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理边化角已知条件，再由两角和正弦公式和诱导公式化简已知条件即可求解； （2）先由题设求出，接着由正弦定理求出，进而由面积公式求出，再在三角形中由余弦定理即可计算求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即. 在中，由，得， 所以，又，，所以，所以. 【小问2详解】 因为，，所以， 所以， 所以，即， 因为，即，所以， 在三角形中，由余弦定理可得 ， 所以. 16. 如图，梯形中，，，为的中点，将沿边折起，使点C到达点P的位置. （1）证明：； （2）若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接交于点，连接， 由题可得，且，所以为的中点， 在中，，所以，同理， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，由题设求证和即可由线面垂直判定定理求证平面，进而得证； （2）由题设结合（1）建立适当的空间直角坐标系，接着由题设和二面角定义依次求出所需点和向量坐标，进而求出平面的一个法向量，再由线面角的向量法公式计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可以点为坐标原点，以，方向和垂直于平面向上的方向分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题可知为等腰梯形，且，可得， 由（1）可知，为二面角二面角的平面角， 所以，从而， 因为，所以点到平面的距离为， 则有，，，， 所以，，， 设为平面的一个法向量， 则有，令，则， 设直线与平面所成角为， 则有， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知双曲线：（，）的焦距为4，点在上． （1）求的方程； （2）设过的左焦点的直线交的左支于点，，过的右焦点的直线交的右支于点，，若以，，，为顶点的四边形是面积为的平行四边形，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】第（1）问根据焦距和点在双曲线上列方程组，解出参数得到方程； 第（2）问先由平行四边形性质得出两直线平行，设出直线方程，利用弦长公式和两平行线间距离公式表示出面积，结合已知面积列出方程，解出斜率. 【小问1详解】 由双曲线：（，）的焦距为4，点在上， 可得，所以，且， 又因为，即， 联立方程组解得，， 所以的方程为． 【小问2详解】 由题意知，四边形为平行四边形，可得直线与平行， 当直线斜率不存在时，令，代入双曲线方程，可得， 此时四边形为矩形，面积为，不合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，则直线方程为， 直线和的距离， 设，， 联立方程组 整理得， 则，且，， 又由双曲线的渐近线的方程为，要使得过的左焦点的直线交的左支于点，，可得， 则 ， 所以， 化简可得， 解得或， 因为，所以，解得， 故直线的方程为， 即或． 18. 已知函数. （1）求的极值； （2）证明：当时，； （3）若，求的值. 【答案】（1）极大值为，极小值为. （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，即可得到函数的极值. （2）构造函数，求导，分析函数单调性，证明即可得到结论. （3）讨论的取值范围，分析函数单调性，结合条件即可得到的值. 【小问1详解】 由题意得，， ∴， 由得，或，由得，， ∴在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， ∴当时，有极大值，极大值为， 当时，有极小值，极小值为. 【小问2详解】 由（1）得，， 要证，只需证， 令， 则， 由得，由得， ∴在上为减函数，在上为增函数， ∴， ∵，∴，∴，， ∴，即. 【小问3详解】 ∵，∴， 当时，，在上为减函数，且，不满足. 当时，， 方程的，方程有两个不相等的实数根，且，， 由得，，，由得，或， ∴在上为增函数，在上为减函数，在上有唯一极大值点，且， ∵，， ∴，即，解得. 【点睛】关键点点睛：解决本题第（3）的关键是结合函数的定义域对进行分类讨论，其中时，根据的单调性确定，利用且可得到，解方程即可得到的值. 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元，某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，作比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计 （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别 男生 女生 合计 报名参加答题活动 未报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值． 参考公式与数据： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表如下： 性别 男生 女生 合计 报名参加答题活动 30 15 45 未报名参加答题活动 20 35 55 合计 50 50 100 该校学生报名参加答题活动与性别有关联. （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成2×2列联表，再计算出的值判断即可； （2）①首先列出的概率表达式，然后用数学期望公式将它的数学期望表达式列出来，进行化简和错位相减从而得到数学期望； ②根据题意可得时，，然后通过构造可得数列是首项为，公比为的等比数列，求出，然后可求其最大值. 【小问1详解】 根据已知条件得，报名人数为，未报名参加答题活动的人数为55人， 报名参加答题活动的男生人数为人，报名的女生为15人， 设男生人数合计为人，则 得列联表如下： 性别 男生 女生 合计 报名参加答题活动 30 15 45 未报名参加答题活动 20 35 55 合计 50 50 100 假设该校报名参加答题活动与性别没关联． 计算 比较临界值，因为9.09>7.879，所以拒绝假设（即不成立）， 即该校学生报名参加答题活动与性别有关联． 【小问2详解】 ①由题意得 ① ② ①－②得： ②依题意甲同学每轮答题得1分的概率为，得2分的概率为， 甲同学答题得n分即得后得1分下一轮得或得后下一轮得2分， ， 而， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． ， 显然当n-1为奇数时，有最大值；此时是递减涵数， 故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $