精品解析：云南省昆明市第一中学2025届高三第五次联考数学试题

昆明市第一中学 2025 届高三年级第五次联考 数学试卷 命题人： 昆一中数学命题小组 审题人：杨昆华 张波 张兴虎 杨仕华 江明 李春宣 吕文芬 蔺书琴 陈泳序 本试卷共 4 页， 19 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1. 答题前， 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、 草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答： 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符 合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若,则 D. 若，则 4. 已知若，则（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 14 (人教 版选择性必修二教材 24 页习题 24 改编) 5. 若 ， 为圆 上两点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设等差数列{an}的前n项和为，已知，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 6 8. 双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题 目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数是奇函数 C. 函数在区间单调递减 D. 函数在处的切线方程为 10. 对于一元线性回归模型，下列说法错误的是（ ） A. 对于随机误差，在刻画成对变量的相关关系时，需假定 B. 解释变量的取值距离样本数据范围越远，预报的效果越差 C. 在经验回归方程中，样本点的残差为 D. 在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少3个单位 11. 函数及其导函数的定义域均为R，是奇函数，，且对任意，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知椭圆的左､右焦点分别为，若过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于A，B两点，则___________. 13. 已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为8，用平行于底面的平面截去一个四棱锥，且截面与底面的面积之比为1∶4，则剩余几何体的体积为___________. 14. 已知 ，，，则的最大值为______. 四、解答题：本题共 5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第 18、19 题 17 分，共 77分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（ 、分别在、延长线上）. （1）挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以 为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）； （2）小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高 的最大值. 16. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）当 时，判断与的大小，并说明理由. 17. 如图1，在△ABC中，将沿EF折起，使点A到达点位置，连接，得到四棱锥.如图2. （1）若平面平面，在线段上是否存在一点P，使得，如果存在，指出点P的位置；如果不存在，说明理由； （2）如图3，若平面平面 ，且点N为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知圆C：A：为圆C与y轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点B恰好落在x轴上，点M的轨迹为曲线E，Q为直线上的动点. （1）求曲线E的方程； （2）过点Q作曲线E的切线，切点分别为D，G. ①求的值； ②求面积的最小值. 19. 材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件 发生的概率为，试验进行到事件 第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为，其分布列为，我们称服从几何分布，记为. 材料二：求无穷数列的所有项的和，如求，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前项和，再求时的极限： 根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量 . （1）证明： ； （2）求随机变量 的数学期望； （3）求随机变量 的方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第一中学 2025 届高三年级第五次联考 数学试卷 命题人： 昆一中数学命题小组 审题人：杨昆华 张波 张兴虎 杨仕华 江明 李春宣 吕文芬 蔺书琴 陈泳序 本试卷共 4 页， 19 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1. 答题前， 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、 草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答： 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符 合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法法则即可求出结果. 【详解】因为，所以虚部为 故选：A 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程组的解即可根据交集定义求解. 【详解】，解得，故， 故选：D 3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若,则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线，面面的位置关系判断即可. 【详解】对于选项A：若，当都平行于的交线时.满足条件，此时两个平面相交. 故A错误. 对于选项B：若，则有可能，故B错误. 对于选项C：若，则或 ，又因为，如果 根据面面垂直的判定定理可得；如果，假设过n作平面与 相交于直线l，由，可得，因为，所以，而，根据面面垂直判定定理即可得到，故C正确 对于选项D：若，则可能平行或异面.故D错误. 故选：C 4. 已知若，则（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理求出，进而求出值. 【详解】依题意，，由，得， 即，解得. 故选：B (人教 版选择性必修二教材 24 页习题 24 改编) 5. 若 ， 为圆 上两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点 ，然后利用向量的数量积的定义计算即得. 【详解】取中点 ，连接， 则，故， 所以 因为，所以， 又方向相同， 所以. 故选：C. 6. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义证明为奇函数，利用导数判断函数的单调性，结合函数的单调性及奇偶性化简不等式，解对数不等式可得结论. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为奇函数， 因为， 所以函数为增函数， 所以不等式可化为， 则，， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 7. 设等差数列{an}的前n项和为，已知，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合等差数列性质可求，再由等差数列求和公式及等差数列性质化简方程可求. 【详解】因为数列为等差数列， 所以，， 又，所以，故或， 因为，故，则， 所以，所以. 故选：D. 8. 双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线的方程，设出直线并与双曲线方程联立，求出的纵坐标比值即可得解. 【详解】在双曲线中，，渐近线方程为， 由对称性，不妨令点 在第一象限，设直线的方程为，， 由消去得，设，， 则，令，联立消去得， 整理得，而，即 ，解得， 因此，所以的取值范围是. 故选：B 二、多项选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题 目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数是奇函数 C. 函数在区间单调递减 D. 函数在处的切线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用辅助角公式变形函数，进而判断ABC；利用导数的几何意义求出切线方程判断D. 【详解】函数， 对于A，当时，函数取得最大值，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，，函数在区间单调递增，C错误； 对于D，求导得，则，而，则所求切线方程为，D正确. 故选：AD 10. 对于一元线性回归模型，下列说法错误的是（ ） A. 对于随机误差，在刻画成对变量的相关关系时，需假定 B. 解释变量的取值距离样本数据范围越远，预报的效果越差 C. 在经验回归方程中，样本点的残差为 D. 在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少3个单位 【答案】CD 【解析】 【分析】根据一元线性回归模型判断A，根据残差的定义判断BC，结合回归方程判断D. 【详解】对于A，由一元线性回归模型方程知，对于随机误差，在刻画成对变量的相关关系时，需假定，A正确； 对于B，解释变量的取值距离样本数据范围越远，说明残差越大，故预报的效果越差，B正确； 对于C，在经验回归方程中，取可得，, 所以样本点的残差为，C错误； 对于D，在经验回归方程中，当解释变量每增加个单位时，响应变量平均减少个单位，D错误； 故选：CD. 11. 函数及其导函数的定义域均为R，是奇函数，，且对任意，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可. 【详解】对于A，由函数是R上的奇函数，得，A正确； 对于B，由，令，得， 而，解得，B错误； 由，两边求导得， 令，得，则， 即，于是， 即，因此， 即，则，且， 函数都是周期为 的周期函数，， 对于C，，C正确； 对于D，，而，则， 即，因此，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数，的性质. 三、填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知椭圆的左､右焦点分别为，若过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于A，B两点，则___________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性及定义求得答案. 【详解】依题意，点关于原点 对称，而 为线段中点，连接， 则四边形为平行四边形，， 所以. 故答案为：6 13. 已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为8，用平行于底面的平面截去一个四棱锥，且截面与底面的面积之比为1∶4，则剩余几何体的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据锥体的体积公式，结合相似比即可求解. 【详解】设底面中心为 ，连接, 如图：故， 由于截面与底面的面积之比为1∶4， 故截面以上的棱锥与原四棱锥的体积之比为1∶8， 故剩余几何体的体积为, 故答案为： 14. 已知 ，，，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式结合同角三角函数关系得出，再应用两角差的正切公式结合基本不等式得出最大值. 【详解】因为， 所以， 即， 即，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，取得最大值. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第 18、19 题 17 分，共 77分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行， 与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（ 、分别在、延长线上）. （1）挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以 为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）； （2）小组拟自制 部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高 的最大值. 【答案】（1）①平方米②平方米 （2）0.3米 【解析】 【分析】（1）分别按照直线段与圆弧计算BC的长，代入面积公式即可得解； （2）根据正弦定理求出 ，再由三角恒等变换求最大值即可得解. 【小问1详解】 ①其为直线段且时， 米， 所以在中，，即（米）. 所以（平方米）； ②其为以 为圆心的圆弧时，此时圆的半径为（米）， 圆心角，所以圆弧的长， 所以（平方米） 【小问2详解】 由题意，，， 由正弦定理可得：， 即 ，其中， 当，即时，（米）. 即有效遮挡区域高 的最大值为 米. 16. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）当 时，判断与的大小，并说明理由. 【答案】（1）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和； （2） 当 时，，理由如下： 令， ， 求导得， 令 ， ， 求导得 ， 函数 在 上单调递增，则 ，即， 函数在 上为增函数， 当 时，， 所以. 【解析】 【分析】（1）求函数的导数，根据导数与单调性的关系求出函数的单调区间， （2）构造函数， ，利用导数探讨函数单调性即可判断得解. 【小问1详解】 函数的定义域为 ，且， 当 时，，函数在上单调递增， 当 时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 所以的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和. 【小问2详解】 略 17. 如图1，在△ABC中，将沿EF折起，使点A到达点位置，连接，得到四棱锥.如图2. （1）若平面平面，在线段上是否存在一点P，使得，如果存在，指出点P的位置；如果不存在，说明理由； （2）如图3，若平面平面 ，且点N为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）存在，点是线段上靠近点 的三等分点； （2）. 【解析】 【分析】（1）在线段上取点P，使，在线段上取点Q，利用线面平行的判定性质推理得解. （2）取 的中点 ，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解. 【小问1详解】 在线段上存在一点P，使得， 在线段上取点P，使，在线段上取点Q，使，连接， 则，，且，而， 于是，四边形是平行四边形，， 而平面，平面，则平面，又平面，平面平面， 所以，此时点是线段上靠近点 的三等分点. 【小问2详解】 取 的中点 ，连接，依题意，，则， 平面平面 ，平面平面，平面， 则平面 ，在平面 内过 作，则直线两两垂直， 以点 为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 显然垂直平分线段，而，直线 与的距离为， ， ， 设平面的法向量，则，令 ，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知圆C：A：为圆C与y轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点B恰好落在x轴上，点M的轨迹为曲线E，Q为直线上的动点. （1）求曲线E的方程； （2）过点Q作曲线E的切线，切点分别为D，G. ①求的值； ②求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）①0；②4. 【解析】 【分析】（1）设，表示出点 的坐标，再利用圆的性质列出方程并化简即可. （2）分别求出切线 、的方程，利用两切线都过点，可得直线的方程，与抛物线方程联立利用根与系数的关系求出的值. （3）由（2）知，直线恒过焦点 ，，利用抛物线定义计算和，进而求出面积关系并求出最小值. 【小问1详解】 设，而，则弦的中点，又， 于是，，由，得，即， 所以曲线 的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）知，曲线E：，求导得， 设，，，切线 的方程为：， 即，同理得切线的方程为：， 又两切线都过点，因此，则直线的方程为， 由消得：，则，则， 于是，， 所以. ②由①知，直线恒过抛物线的焦点，， 由抛物线定义得：， ， 因此的面积， 当且仅当时取等号， 所以面积的最小值为4. 【点睛】关键点点睛：利用圆心与弦中点的连线与弦垂直得出，转化为，利用坐标表示可求轨迹方程. 19. 材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件 发生的概率为，试验进行到事件 第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为，其分布列为，我们称服从几何分布，记为. 材料二：求无穷数列的所有项的和，如求，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前项和，再求时的极限： 根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量 . （1）证明： ； （2）求随机变量 的数学期望； （3）求随机变量 的方差. 【答案】（1）证明：可知，且， 所以， 则 . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据等比数列求和公式求出，再取极限即可； （2）设 ，利用错位相减法求出，再取极限即可； （3）依题意可得 ，再利用错位相减法求出 ，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 ， 所以， 两式相减的， 所以， 则随机变量 的数学期望 ； 【小问3详解】 因为 ， 而 ， ， 两式相减： ， 从而 ， 那么 . 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解题干所给两个材料，根据所给材料结合数列的相关知识计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $