1.1.2 空间向量的数量积运算（讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

null 第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 课标要点 1.理解空间向量夹角、垂直、投影向量的教材定义，牢记夹角取值范围，能准确区分向量夹角与几何体内角。 2.熟记空间向量数量积定义式与三条运算律，会借助基底拆分向量完成无坐标形式的数量积计算。 3.掌握数量积五条核心性质，能运用性质求解向量模长、夹角，证明空间两向量互相垂直。 4.能结合立体图形分析投影向量几何意义，灵活利用数量积解决线段长度、空间垂直类几何问题。 学习重难点 重点： 1.空间向量数量积定义、三大运算律，熟练运用公式完成向量化简、数量积基础计算。 2.数量积核心性质，利用性质求向量模、夹角，借助证明空间线线垂直。 3.投影向量的几何定义，理解投影向量与原向量的共线关系，能简单分析投影的正负含义。 难点： 1.在立体图形中找准向量夹角，区分向量夹角与几何体表面角，避免夹角取值符号计算出错。 2.灵活拆分空间基底向量，结合运算律化简复杂向量式，处理多向量混合数量积运算。 知识点一 空间向量数量积定义 已知两个非零空间向量，，过空间任意一点作，，则叫作向量与的夹角，记作，规定范围:。 1.当时，称； 2.空间两个非零向量，的数量积定义： 规定：零向量与任意向量的数量积为。 数量积几何意义 等于的模与在方向上的投影向量的数量的乘积。 在方向上的投影向量：。 即学即练 1．如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，. 故选：B 2．如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【详解】， ． 故选：C． 知识点二 空间向量数量积运算律 设为空间任意向量，： 1.交换律： 2.数乘结合律： 3.分配律： 常用公式： 1. 2. 3. 易错提醒 （1）数量积结果是实数，不是向量，不能写，数量积无结合律，两侧向量方向不同。 （2）由且，不能推出，仅能得到，向量不可直接约去。 即学即练 3．已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 所以，解得. 知识点三 空间向量数量积的应用 1.求向量模长：， 2.求两向量夹角余弦： 3.判定向量垂直：（为非零向量） 4.立体几何应用：证明线线垂直、求异面直线夹角、计算线段长度、求解空间距离与最值。 易错提醒 （1）判断夹角时，仅不能判定为锐角，需排除（同向共线）；仅不能判定为钝角，需排除（反向共线）。 即学即练 4．已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 5．正四面体的棱长为2，设，，，则________. 【答案】 【详解】在正四面体中，， 又，，， 所以. 故答案为： 题型01 求空间向量的数量积 解题贴士 1.定义法核心解题：求解空间向量数量积统一使用定义公式，在立体图形中，只要能确定两个向量的模长以及向量夹角，就可以直接代入公式计算，是无坐标系情况下的核心解题方法。 2.运算律化简技巧：熟练运用数量积的运算性质，对向量和、差形式的复杂式子提前展开化简，例如、向量平方差结构，先化简再代入模长与夹角条件，能够极大简化计算步骤，避免直接硬算出错。 典｜例｜精｜析 【例1】如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【详解】 . 故选：B. 【例2】已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，设， 由题意知，且三向量两两夹角均为， ， ． 故选：B. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】如图，在正方体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，易知，且， . 故选：C 【变式1-2】如图，在三棱锥中，平面，则_______． 【答案】 【详解】因为平面，面， 所以，所以， 又，所以， . 故答案为：. 【变式1-3】在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则__________. 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 题型02 空间向量中的模（距离，长度） 解题贴士 1.模长核心转化思想：空间向量模长求解全部依托数量积转化，固定公式为，向量模长的平方等价于向量自身的数量积。 2.几何长度转化技巧：空间立体几何中的线段长度、棱长、空间两点距离、折线长度等几何量，都可以对应转化为空间向量的模长，通过向量数量积运算替代传统几何证明与勾股定理计算，解题更加通用简便。 典｜例｜精｜析 【例3】如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为，，，所以. 又，所以. 因为，，，，， 由， 所以. 所以. 故选：B 【例4】设是的二面角内一点，，，、是垂足，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图所示： 因为二面角的大小为，，，、是垂足， 由图可知，， 又因为，，且， 所以， ，故. 故选：D. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______； 【答案】 【详解】， 则， ， 所以. 故答案为： 【变式2-2】如图，线段、在平面内，，，且，，.则、两点间的距离为（    ）    A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】设，因为，且，平面， 可得，，且， 可得，，， 根据向量的线性运算，可得， 则 . 即，解得（舍）或，故. 故选：A 【变式2-3】如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为__________米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）. 【答案】或2 【详解】依题意，，而，， 由AB，CD所在直线所成角为60°，得或， 所以 ， 当时，；当时，. 故答案为：或2 题型03 空间向量的投影（投影向量） 解题贴士 公式记忆错位：求在上的投影，分母固定为被投影向量的模长，极易错误替换为。 典｜例｜精｜析 【例5】在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 【例6】在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由投影向量公式得空间向量在向量方向上的投影向量如下， 为，故C正确. 故选：C 【变式3-2】在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设正方体棱长为 ，且 为 中点，并以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， ， 所以， ， 所以向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 【变式3-3】如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 题型04 利用数量积求夹角 解题贴士 1.对于任意两个非零空间向量，利用数量积变形公式，先通过几何条件算出数量积与两个向量模长，再求解夹角余弦值，最终确定夹角大小。 2.空间向量夹角的取值范围为，根据余弦值的正负可以快速区分夹角类型，余弦值大于0为锐角，等于0为直角，小于0为钝角。 、典｜例｜精｜析 【例7】已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B 【例8】三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【答案】C 【详解】设， ， , ， , 所以和的夹角为. 故选：C 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设与的夹角为， 由得，两边平方得 ， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 【变式4-2】如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________. 【答案】 【详解】正三棱锥中，设, 且侧棱长相等， 因为， 所以，又， 所以， 即， 解得，即的余弦值为. 故答案为： 【变式4-3】如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 题型05 利用数量积证明垂直问题 典｜例｜精｜析 【例9】在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）. （2）证明：因为 ， 所以. （3）因为， 所以， . 所以. 【例10】如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底， 且， ， 则，故. （2）， 则 . 故. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，． 【答案】(1)； (2)证明见解析。 【分析】 【详解】（1）， ， 所以； （2）， 所以，所以， 同理可证，所以。 【变式5-2】如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．    (1)求的值； (2)求证：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）正方体中，，， 有，， 所以. （2）证明：正方体中，，， 有，， 因为M和N分别是和的中点，则N为的中点， 所以且，即， 则有， 所以． 【变式5-3】如图，已知棱长为1的正四面体，设高的中点为． (1)求的长； (2)求证：，，两两垂直． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：解法1：因为为的重心， 所以， 所以 ， 所以； 解法2：因为为的重心 所以， 在中，由勾股定理可得：． （2）证明：证法1：因为 ， 所以， 同理可得, 所以 ， 所以，即， 同理可证，， 所以，，两两垂直． 证法2：因为为正三角形的重心， 所以， 其中为正三角形边上的中线(高)， 在中，， 所以， 在中， 可得， 同理可得， 所以可得， 所以， 同理可证，， 所以，，两两垂直． 题型06 求空间向量的数量积的最值或范围 典｜例｜精｜析 【例11】正多面体又称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知正四面体的棱的中点为，且（点为空间中一动点），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，由题意则， 所以， 又因为，所以，当且仅当方向相同时等号成立； ，当且仅当方向相反时等号成立， 因为正四面体的棱长为2，所以在中，，，， 所以，即， 所以，， 又，所以，即， 所以的最大值为, 故选：B 【例12】如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】 ，当且仅当与重合时，等号成立， 故的最小值为12. 故选：D 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】（多选）已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（    ） A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】BC 【详解】设的中点为，连接，则，则， 即点在以为球心，以1为半径的球面上． 如图，因为，所以． 因为正四面体的棱长为，所以，，又， 所以．设， 则． 因为，所以． 故选：BC 【变式6-2】在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______． 【答案】/ 【详解】如图，设，， 在中，， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【变式6-3】已知是棱长为6的正方体的内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为_______. 【答案】18 【详解】设正方体内切球的球心为，正方体内的体对角线长为， 则， , 因为是正方体内切球的一条直径，所以，， 所以． 又点在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为， 所以，所以最大值为18． 故答案为：18    基础通关 1．对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】C 【详解】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，    满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C 2．已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则， 所以， 故选：D. 3．在棱长为1的正方体中，设，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【详解】在正方体中，， 所以. 故选：B 4．在三棱锥中，若，，，则（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【详解】因为，，， 所以. 故选：B 5．在空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】由题意 ， 又，即，得， 所以． 故选：D． 6．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】由正八面体的性质可得，，则， ． 故选：D. 7．（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是钝角 C．若向量是共面的向量，则也是共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ACD 【详解】对于A，因空间中任意两个向量是共面的， 故若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对于B，若，则与的夹角是钝角或者平角，故B错误； 对于C，若是共面的向量，则存在实数使得， 即，则向量是共面的向量，故C正确； 对于D，因为，， 所以由空间向量共面的推论可知四点共面，故D正确. 故选：ACD 8．（多选）已知正方体的棱长为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对A，由图可知，，A正确． 对B，，B正确． 对C，，C错误． 对 D，因为侧面，则易知，D错误． 故选：AB. 9．已知是两两垂直的单位向量，则________________． 【答案】3 【详解】解：因为是两两垂直的单位向量， 所以， 所以 故答案为：3． 10．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示）点P是正方形的中心，则向量______． 【答案】1 【详解】设中点为，正方形的中心为. ∵ 且 又∵， ∴. 故答案为：1. 【点睛】 11．已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意，E，F分别是，的中点， 则. （2）. （3）. 12．如图，在四面体中，，，.    (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在四面体中，，， . （2）如图所示：    因为，则， 因为F是CD中点，则， 于是. ， 所以. 素养提升 13．如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 【答案】B 【详解】由图可知，且； 所以 . 所以. 故选：B. 14．三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点是的重心，以为起点，则 ， ，， 故选：D． 15．在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，连接， 则，，两式平方后相减可得 ，即， 其中，故， 故当取得最小值时，取得最小值， 当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即， 故. 故选：B 16．若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为空间向量、满足， 所以，故， 故在方向上的投影向量为， 故在方向上投影向量的长度为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故在方向上投影向量的长度的最小值是. 故选：B. 17．在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， 则 ， ， 故. 故选：A. 18．在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为6. 故选：B. 19．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（   ）      A． B． C． D．长方体的体积 【答案】BCD 【详解】选项A：向量同时与向量垂直， 且向量三个向量构成右手系， ， ，所以， 故A不正确， 选项B：由， ， 所以， 故B选项正确， 选项C：因为 ， 且与同向共线， 又， 且与同向共线， 又因为与同向共线， 所以， 故C选项正确， 选项D：长方体的体积为：， ， 故， 所以D选项正确， 故选：BCD. 20．已知在棱长均相等的正四棱锥中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 【详解】设，因为四边形为正方形，所以， 所以，所以， ， 又， 又异面直线与所成角为锐角或直角，所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 21．已知异面直线所成角为60°，直线垂直于直线且分别与直线交于、两点.点直线a，点直线b，，，，则 _____. 【答案】或2 【详解】， 所以 ， 由题意得与的夹角为或， 当夹角为时，， 此时，所以； 当夹角为时，， 此时，所以； 故答案为：或2. 22．如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______． 【答案】5 【详解】因为点满足且，所以点在平面上， 因为，所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 迁移创新 23．如图，两条异面直线a、b所成的角为，在直线a，b上分别取点A′，E和点A，F，使且．已知，， ，线段的长为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由题意知，所以， 展开得， 异面直线，所成角为，代入得 ， 所以或， 故选：D. 24．在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________. 【答案】 【详解】设正方体的中心为，连接，设，连接，    因为正方体中，所以平面， 因为平面，， 又平面，所以平面， 因为P是棱的中点，正方体的中心为， 所以，则四边形为平行四边形，则， 故平面，由于平面， 则，， 所以， 因为，，所以， 因为，所以|，所以， 因为E，F是矩形内的任意两点，所以，当且仅当E，F为或的两端点时，等号成立， 则，即的最小值是. 故答案为：. 25．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，是的中点，，分别在棱上，且，，平面与交于点，则______，______． 【答案】 6 【详解】如图，延长，交的延长线于，连接， 显然平面，平面， 因此平面与的交点即为与的交点， 在堑堵中，，则，即， 又，则，而，于是得， 所以， 因为平面，平面，所以，， 所以 ． 故答案为：； 1 / 10 $