1.1.1 空间向量及其线性运算（讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

null 第一章 空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算 课标要点 1.理解空间向量相关基础概念，掌握向量两种表示方法，能区分五类特殊空间向量。 2.熟练掌握空间向量加减、数乘运算法则与运算律，规范书写各类向量运算式子。 3.牢记共线、共面向量定理，会用定理判断向量关系，推导三点共线、四点共面。 4.能辨析本节常见易错点，结合向量线性运算解决简单空间几何证明问题。 学习重难点 重点： 1.空间向量定义、特殊向量概念，向量加减、数乘运算规则及全部运算律。 2.共线向量定理，利用定理判定两向量平行，推导直线上点的向量表达式。 3.共面向量定理，掌握四点共面向量判定条件，完成简单几何证明推导。 难点： 1.区分向量共线与空间直线平行，灵活运用数乘向量判断向量方向与长度变化。 2.准确运用共面向量定理，结合空间任意一点构造式子证明四点共面。 3.综合向量线性运算、共线共面定理，完成复杂空间几何推理证明题型。 知识点一 空间向量的有关概念 一、空间向量的定义及表示 1.定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量。 2.长度（模）：空间向量的大小称为向量的长度或模，记作、。 3.表示方法 （1）几何表示法：用有向线段表示空间向量，有向线段的长度代表向量的模； （2）符号表示法：小写字母；若向量起点为、终点为，记作。 二、特殊空间向量对比表 名称 方向 模长 表示与说明 零向量 任意 记作，与任意向量平行 单位向量 任意 模长等于1的向量 相反向量 与原向量相反 相等 的相反向量记作，与互为相反向量 共线（平行）向量 相同或相反 无限制 有向线段平行或重合，与任意向量共线 相等向量 完全相同 相等 模、方向全部一致，与向量摆放位置无关 即学即练 1．（多选）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】BCD 【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确； 对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错； 对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错； 对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错， 故选：BCD． 2．给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为______． 【答案】①② 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故答案为：①②. 知识点二 空间向量的线性运算 一、加减运算（法则同平面向量） 加法运算 1.三角形法则：向量首尾顺次相接，由首个起点指向最后终点的向量为和向量； 2.平行四边形法则：两向量共起点，以两向量为邻边作平行四边形，共起点对角线为两向量的和。 减法运算（三角形法则） 两向量共起点，连接两个终点，箭头指向被减向量。 二、数乘运算 定义：与平面向量一致，实数与空间向量的乘积仍是一个向量，该运算称为向量的数乘。 几何意义： 1.，数乘后向量长度是原向量的倍； 2.时，与方向相同； 3.时，与方向相反； 4.时，，方向任意。 三、线性运算运算律（为空间向量，） 1.交换律： 2.结合律：； 3.分配律：； 即学即练 3．在空间四边形中，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，. 故选：B. 4．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2) 【详解】（1） （2） 知识点三 共线向量与共面向量 一、直线的方向向量 定义：与直线平行的非零向量，称为直线的方向向量。一条直线有无数组互相平行的方向向量。 二、共线向量 1.定义：表示向量的有向线段所在直线互相平行或重合，这类向量叫做共线（平行）向量；规定与任意向量共线。 2.共线向量定理：空间中任意两个非零向量共线的充要条件：存在实数，使得。 3.直线推论：若点在直线上，空间任意一点，满足。 三、共面向量 1.定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 2.共面向量定理：若不共线，则与共面的充要条件：存在唯一有序实数对，使得。 3.四点共面充要条件：四点共面，对空间任意一点，存在实数，使； 推广形式：存在实数且，满足。 易错提醒 1.使用判定四点共面时，系数和必须等于1，缺少该条件四点不一定共面。 2.误解共面向量定义：共面向量不需要向量线段落在平面内，只要向量平行于该平面即可，向量起点可以在空间任意位置。 即学即练 5．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是________．（填“平行”“相等”或“相反”） 【答案】平行 【详解】解：如图所示： 设G是AC的中点，连接EG，FG， 则， 所以， 从而∥． 故答案为：平行 6．对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【详解】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 题型01 空间向量的有关概念 解题贴士 1.空间向量由大小、方向两个要素构成，记作、，模长记作。 2.零向量模为0，方向任意；单位向量模长恒等于1。 3.相等向量模相等且方向相同；相反向量模相等、方向完全相反。 4.共线向量即平行向量，有向线段平行或重合，与任意向量共面。 典｜例｜精｜析 【例1】下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 【例2】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． (1)若A，B，C，D四点在一条直线上，则与共线； (2)互为相反向量的向量的模相等； (3)任一向量与它的相反向量不相等． 【答案】(1)正确 (2)正确 (3)不正确，理由见解析 【分析】 【详解】（1）正确．因为A，B，C，D四点在一条直线上，所以与一定共线． （2）正确．相反向量的模相等，但方向是相反的． （3）不正确．零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】BD 【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误； 对于B：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确； 对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量， 所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确. 故选：BD. 【变式1-2】在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    如图所示，可知是的相反向量. 故选：A 【变式1-3】已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】对于①，，， ， 与是一对相反向量，①正确；    对于②，，，又， 与不是相反向量，②错误； 对于③，，，，， ， 与是一对相反向量，③正确； 对于④，，，又， 与是一对相反向量，④正确. 故选：C. 题型02 空间向量的加减、数乘运算 典｜例｜精｜析 【例3】求为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式. 故选：B. 【例4】在空间四边形中，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 【变式2-2】在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为点G是CD的中点， 所以， 所以. 故选:C. 【变式2-3】已知四棱锥的底面是平行四边形，，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 故选：D 题型03 空间向量的线性运算 典｜例｜精｜析 【例5】已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得： ． 故选：D 【例6】如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，设，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，所以选项错误； 因 .所以选项错误； 因为，所以选项错误. 因为，所以选项正确； 故选：. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如图所示，已知三棱锥，点在棱上，且满足，为的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知条件和图可知， ， 因为，，， 所以. 故选：B. 【变式3-2】如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且， 所以， 故选：D. 【变式3-3】如图所示，已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，求满足的实数的值． 【答案】，，． 【详解】， 所以，，，． 题型04 空间向量的共线问题 解题贴士 注意： 1.使用共线定理不标注，直接设造成逻辑漏洞。 2.混淆向量共线与空间直线平行，向量共线允许重合，直线平行不可重合。 3.判定三点共线时，只证两向量共线，忽略存在公共点这一条件。 典｜例｜精｜析 【例7】下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误； 若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项C错误； ，则A、B、C三点共线，选项D正确； 故选：D. 【例8】若，，，则､､（    ） A．可组成锐角三角形 B．可组成直角三角形 C．可组成钝角三角形 D．不构成三角形 【答案】D 【详解】由题知， 所以共线 所以､､不构成三角形. 故选：D 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 【变式4-2】设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则________． 【答案】 【详解】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 【变式4-3】如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【详解】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：． 题型05 空间向量的共面问题 解题贴士 注意： 1.误解共面向量，认为向量线段必须画在平面内部才是共面向量。 2.使用定理时未说明基底不共线，直接写出线性组合式。 典｜例｜精｜析 【例9】已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误； 对B，因为，所以共面，故B正确； 对C，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误； 对D，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误； 故选：B. 【例10】（多选）空间中，已知与不共线，那么“与、共面”的充分不必要条件是（    ） A．存在唯一一组实数、，使得 B． C．不存在实数、，使得 D． 【答案】BD 【详解】根据向量基本定理，如果存在唯一一组实数、，使得，那么可以直接得出与、共面； 反之，若与、共面，也一定存在唯一一组实数、，使得， 所以“存在唯一一组实数、，使得”是“与、共面”的充要条件，而不是充分不必要条件，故A选项不符合要求； 当时，显然可以由和线性表示，即与、共面，所以“”能推出“与、共面”； 但是当与、共面时，不一定就等于，还可能有其他的线性组合形式， 所以“”是“与、共面”的充分不必要条件，故B选项符合要求； “不存在实数、，使得”，这与“与、共面”是相互矛盾的关系， 即“不存在实数、，使得”能推出“与、不共面”，而不是“与、共面”，所以C选项不符合要求； 因为零向量与任意向量都共面，所以时，与、共面，即“”能推出“与、共面”； 反之，当与、共面时，不一定为零向量，所以“”是“与、共面”的充分不必要条件，故D选项符合要求. 故选：BD. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 【变式5-2】（多选）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以共面，又因为有公共点，所以四点共面； 对于B，因为，所以四点共面； 对于C，因为，所以，即直线和可能异面，四点不一定共面； 对于D，因为，所以，所以四点共面． 故选：ABD． 【变式5-3】为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 【答案】/ 【详解】由，则， 则， 由A，B，C，P四点共面，则，解得. 题型06 证明四点是否共面 解题贴士 1.方法一：取四点，证即可判定四点共面。 2.方法二：空间任一点，若且，四点共面。 典｜例｜精｜析 【例11】如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【详解】取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 【例12】如图所示，已知，，及，，分别是异面直线，上的三点，点，，，分别是线段，，，的中点．求证：，，，四点共面． 【答案】证明见解析 【详解】证明：连接，，，，，．易知，，∴，． ．（*） ∵，，三点共线及，，三点共线， ∴存在实数，，使得，， 代入（*）式，得， ∴，∴，，共面． 又，，过同一点， ∴，，，四点共面． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． (3)证明：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）依题意可得，    （2）连接．因为 所以， 则共面，故四点共面． （3）连接． 因为， ， 所以，则． 因为，所以三点共线． 【变式6-2】在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面； 【变式6-3】如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1） 因为， 而， 又D为的中点，所以， 所以 ． （2）因为， ， 所以， ，所以． 所以四点共面． 基础通关 1．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 2．在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图， 在正方体中，由正方体性质可知与相等的向量有. 故选：A 3．长方体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 4．设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 5．设是空间中两个不共线的向量,已知,且三点共线,则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．8 【答案】C 【详解】解:由题知由于是空间中两个不共线的向量, 且有, 所以, 因为三点共线, 所以, 所以存在实数,使得, 所以, 所以. 故选:C 6．已知是空间的一组基底，其中，，.若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则x=2，，，解得. 故选：D. 7．（多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，由点分别为的中点，得， 而，因此，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，长度相等，方向不同，C错误； 对于D，，D正确． 故选：AD 8．（多选）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为三点不共线，若四点共面， 不妨设，则， 即， 显然有， 反之若， 则有， 即共面，所以共面， 对于A，，有， 故共面，A正确； 对于B，，有， 故共面，B正确； 对于C，，有， 故不共面，C错误； 对于D，，有， 故共面，D正确； 故选：ABD 9．已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 【答案】2 【详解】因为A,B,C,D四点共面，所以3＋2－3m＋m＝1，解得m＝2. 10．已知三棱锥中，点平面ABC，若，则__________. 【答案】3 【详解】由题意得，则， 因为A，B，C，D四点共面，所以，解得. 故答案为：3 11．如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）； （3）. 12．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 【答案】(1)，，共面 (2)点M在平面ABC内 【分析】 【详解】（1）由题知， 则， 即， 所以，，共面． （2）由（1）知，，共面且基线过同一点M， 所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内． 素养提升 13．在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 因为共面，所以，解得. 故选：D. 14．已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥外接球的半径是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】正三棱锥的外接球的球心满足， 说明三角形在球的大圆上，并且为正三角形， 设球的半径为，根据对称性易知：正三棱锥中顶点到底面的距离为球的半径， 由正弦定理有底面三角形的边长为， 棱锥的底面正三角形的高为， 正三棱锥的体积为，解得， 则此三棱锥外接球的半径是． 故选：D. 15．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则， 所以， ， 当且仅当“”即“”时取“”， 故的最小值为 故选：B 16．已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______． 【答案】/0.6 【详解】 连接交于点，因为底面ABCD是平行四边形， 所以为的中点， 由平行四边形法则可得：， 故， 又，， 得，， 又Q为PA的中点，， 所以， 由题意共面， 所以， 解得. 17．空间向量四点共面定理：已知，，为空间中的一组基底，空间中任一向量（，，），若，，，四点共面，则.如图所示，正方体的棱长为2，点，分别为，的中点，则三棱锥的体积为______. 【答案】/ 【详解】 连接，与平面交于点， 设，则有， 由于，，三点共线，设， 另一方面，易得， 显然，， 可得，即， 所以. 故答案为： 18．如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证法1：由得，，， ，， 因为①；②， 由①②，得 ， 所以 证法2：设是平面内一点， 由平面向量中的定比分点公式可得，， 即. （2）由，分别是，上的动点，设, 因为，分别为，的中点，即， 根据（1）的结论，得. 又因为分别为，的中点， 所以，， ， 即直线在平面上，所以，，，四点共面． 迁移创新 19．在《线性代数》中定义：对于一组向量，，存在一组不全为0的实数，，使得：成立，那么则称，，线性相关，只有当时，才能使成立，那么就称，，线性无关.若为一组不共面的空间向量，则以下向量组线性无关的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】因为为一组不共面的空间向量，则不能用，线性表示， 即只有当时，. 对于A：设， 整理得：， 所以有，取， 所以，，线性相关，故A错误； 对于B：设， 整理得：， 所以有，取， 所以，，线性相关，故B错误； 对于C：设， 整理得：， 所以有，取， 所以，，线性相关，故C错误； 对于D：设， 整理得：， 所以有，解得， 所以，，线性无关，故D正确. 故选：D 20．在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】连接交于点，连接， 在正四棱锥中，且为的中点， 则，，即， 则，即， 则， 由题意，四点共面，则，解得. 故选：A 21．在四面体中，P为空间中一点，且满足，若四面体的体积为4，则四面体的体积为______. 【答案】2 【详解】设是的中点，，又， ，，， 设是的中点，是的中点，，， ，，在线段上且靠近的三等分点处， 又线段为的中位线，， 到平面的距离是到平面的距离的2倍，. 故答案为：2 1 / 10 $