第01讲 空间向量及其线性运算（暑假培优讲义）新高二数学人教A版

第01讲 空间向量及其线性运算（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 空间向量的有关概念 2 知识点02 空间向量的线性运算 3 知识点03 共线向量与共面向量 4 剖题型·讲技巧 6 题型1 空间向量的概念辨析 6 题型2 空间向量的线性运算 8 题型3 已知空间向量共线求参数 11 题型4 判断空间向量是否共面 13 题型5 已知空间向量共面求参数 15 释疑惑·重难拓展 16 题型1 线性运算的线性表示 18 题型2 证明四点共面 21 练好题·提分培优 25 课标要点 1．理解空间向量定义与模的含义，掌握几何、符号两种表示方法，分清零向量、单位向量、相等向量等特殊向量的模与方向特征，建立空间向量直观认知。 2．熟练掌握空间向量加减、数乘运算，牢记运算法则与运算律，能结合图形完成向量变形化简，提升向量运算能力。 3．掌握直线方向向量概念，熟记共线、共面向量定理，会用定理证明三点共线、四点共面，区分两类向量判定条件。 4．学会用向量代数方法研究立体几何，为求解空间角、距离、证明线面关系铺垫基础，发展直观想象、逻辑推理核心素养。 知识点01 空间向量的有关概念 1、空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2、几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 练习1．（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 知识点02 空间向量的线性运算 1、空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2、空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3、空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 练习2．在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 3．如图，在正方体中，化简向量表达式：    (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）因为，， 所以. 知识点03 共线向量与共面向量 1、直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2、共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 练习4．在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，在正方体中，. 故选：A. 5．已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 题型1 空间向量的概念辨析 方法技巧 判断向量相关结论，只围绕模长、方向两大核心条件分析。相等向量必须模长相等且方向一致；相反向量模长相等、方向完全相反；零向量模长为0，方向任意，能与任意向量共线。 区分易混淆概念，共线向量只要求方向同向或反向，和线段摆放位置无关；单位向量仅限制模长为1，方向没有固定要求，对照定义逐一判断正误即可。 【例1】空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【答案】A 【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 【例2】（多选）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】AC 【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，若，则和的模相等，方向不一定相同， 若，则和的模相等，方向也相同， 所以是向量的必要不充分条件，故B为真命题； 对于C，向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：AC. 【变式1-1】下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 【变式1-2】关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 【变式1-3】（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 题型2 空间向量的线性运算 方法技巧 向量加法用三角形法则、平行四边形法则，多个向量相加可首尾相连依次合并；减法统一转化为加相反向量，共起点两向量相连终点就是差向量。 数乘向量根据实数正负区分方向，正数同向、负数反向，实数取0时结果为零向量；化简复杂向量式子，直接使用交换律、结合律、分配律分步拆解。 【例3】已知是三个不共面向量，已知向量则_________. 【答案】 【详解】， ， 故答案为： 【例4】如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】G是的中点，所以. 【变式2-1】在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 【变式2-2】已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是BD的中点， 所以， 所以. 【变式2-3】已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【详解】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    题型3 已知空间向量共线求参数 方法技巧 依据共线向量定理，两个非零向量共线，则存在唯一实数，使。 结合图形线段倍数关系列出向量等量式，通过向量相等的条件建立方程求解参数，同时单独验证向量为零向量的特殊情况。 【例5】已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【详解】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C 【例6】设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 【变式3-1】已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 【变式3-2】已知，，且，，不共面，若，则x，y的值分别为（    ） A．，8 B．，5 C．7，5 D．7，8 【答案】A 【详解】因为且，则存在实数，使得，即， 又因为，，不共面，则，解得. 故选：A 【变式3-3】设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 题型4 判断空间向量是否共面 方法技巧 使用共面向量定理判断，若两个基底向量不共线，第三个向量能拆分为这两个向量的线性组合，三个向量即为共面向量。 借助图形平移、线段等量替换转化向量，若找不到任意一组实数完成线性拆分，说明三个向量无法共面。 【例7】向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底， 由，则必定共面，所以充分性成立； 必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，， 则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立. 综上，该条件是充分非必要条件. 故选：A. 【例8】（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 【变式4-1】若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A：因为，故共面，故A错误； 对B：因为，故，，共面，故B错误； 对C：因为，故共面，故C错误； 对D：由是空间的一个基底，故不共面， 则不能由、表示出，故，，不共面，故D正确. 故选：D. 【变式4-2】（多选）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【答案】AC 【详解】A：因为，，， 所以， 即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面， 因此该选项命题正确； B：假设，所以存在，使得成立， 即， 因为空间向量，，不共面， 所以，显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，所以本选项命题正确； D：， 因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，所以本选项命题不正确. 故选：AC 【变式4-3】如图，M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、CD的中点，则向量与、______．（填“共面”或“不共面”）    【答案】共面 【详解】依题意，， 所以向量与、共面. 故答案为：共面 题型5 已知空间向量共面求参数 方法技巧 设两组实数，把目标向量用另外一组不共线的基底向量表示，结合图形中的线段等量关系列出向量等式。 因为基底向量相互独立不共线，等式两边同类向量系数一一对应相等，据此建立方程算出参数，最后确认基底不存在共线问题。 【例9】已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 【答案】1 【详解】因为四点共面，所以存在实数m，n，使得， 因为， 所以， 则，解得. 故答案为：1 【例10】（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 【变式5-1】已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 【变式5-2】已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B 【变式5-3】已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，四点共面，所以，其中， 所以， 即； 因为，所以， 而不共面，则，即. 故选：C释疑惑·重难拓展 题型1 线性运算的线性表示 方法技巧 结合几何体等分点、平行线段、中线等几何关系拆分目标向量，将目标向量拆解为两组不共线基底向量的组合形式。 假设存在实数系数构建线性等式，由于基底向量不共线，等式两侧相同基底的系数必然对应相等，依靠等量关系求出未知系数。 【例1】如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，为SC的中点， 所以， 故选：C. 【例2】如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，则_______，_______． 【答案】 【详解】在中，，，则， 在中，，，则， ∵在中，E是CD的中点， ∴，而，即， ∴在中，. ∴直线AE，BF的方向向量分别为、. 故答案为：，. 【变式1-1】已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得： ． 故选：D 【变式1-2】如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得： . 故选：A. 【变式1-3】如图所示，平行六面体中，，．用向量表示向量=________． 【答案】 【详解】由题意得，. 故答案为：. 题型2 证明四点共面 方法技巧 第一种思路：选取四点中同一个点作为起点，构造三条向量，证明其中一条向量可以由另外两条向量线性表示。 第二种思路：运用四点共面向量推论，寻找一组实数满足对应向量关系式，依靠向量线性变换推导，就能完成四点共面证明。 【例3】在正方体中，，分别为，的中点，若点满足，证明：，，，四点共面.    【答案】证明见解析 【详解】取中点，连接，，，如图所示. 因为点是中点，所以. 因为点为的中点，所以， 因为， 所以， 因为，点是中点，所以G为HD的中点. 又点为的中点，所以为的中位线， 所以， 所以，，，四点共面.    【例4】图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为分别为的中点， 所以，． （2）因为， ， 所以，故四点共面． 【变式2-1】如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【详解】取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 【变式2-2】如图所示，已知，，及，，分别是异面直线，上的三点，点，，，分别是线段，，，的中点．求证：，，，四点共面． 【答案】证明见解析 【详解】证明：连接，，，，，．易知，，∴，． ．（*） ∵，，三点共线及，，三点共线， ∴存在实数，，使得，， 代入（*）式，得， ∴，∴，，共面． 又，，过同一点， ∴，，，四点共面． 【变式2-3】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面. 【答案】证明见解析 【解析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，即可求解. 【详解】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 =++=. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面. 一、单选题 1．下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 2．在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 故选：B. 3．设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【详解】①由，所以与共线，因此本序号结论正确； ②， 所以与共线，所以本序号结论不正确； ③由上可知：， 所以由， 所以，，共面，因此本序号说法正确； ④由上可知：因为任意两个空间向量总是共面的， 所以，是共面向量，又与共线，即， 所以向量可以平移到向量，所在的平面内， 所以，，是共面向量，因此本序号说法不正确； 故选：A 4．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 5．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 6．已知正方体，点，，分别在棱，，上，且，，，过，，三点的平面与棱相交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点，，分别在棱，，上，且，，， 则， ， 设，则， 因为四点共面，所以共面． 设存在实数，使得， 所以，，，解得，． 即，所以． 故选：A．    二、多选题 7．若构成空间的一个基底，则下列向量中不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A中，，三个向量共面，A错误； 选项B中，若共面，则存在不全为0的实数使得， 因为构成空间的一个基底，所以，无解，所以不共面，B正确； 选项C中，若共面，则存在不全为0的实数使得， 因为构成空间的一个基底，所以，则，不合题意， 所以不共面，C正确； 选项D中，，所以共面，D错误． 故选：BC． 8．在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D错误；    故选：AB 三、填空题 9．在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 【答案】 【详解】因为四点共面，所以，解得. 故答案为： 10．如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简：______，______，______．    【答案】 【详解】； ； ； 故答案为：；；. 11．在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 【答案】 【详解】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 四、解答题 12．已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1） （2）； （3）. 13．已知向量，，不共线，如果，，，求证：，，，四点共面． 【答案】证明见解析 【详解】易得，不共线．令， 则． 和不共线，，解得 ，，，，四点共面． 14．如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 【答案】(1)，如图所示 (2) 【分析】 【详解】（1）因为是的中点，所以； 所以；在图中标出，如图所示    （2）取中点，连接，所以； 所以； 因为在正三棱柱中，所以 所以. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 空间向量及其线性运算（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 空间向量的有关概念 2 知识点02 空间向量的线性运算 3 知识点03 共线向量与共面向量 4 剖题型·讲技巧 5 题型1 空间向量的概念辨析 5 题型2 空间向量的线性运算 6 题型3 已知空间向量共线求参数 7 题型4 判断空间向量是否共面 8 题型5 已知空间向量共面求参数 9 释疑惑·重难拓展 9 题型1 线性运算的线性表示 10 题型2 证明四点共面 11 练好题·提分培优 13 课标要点 1．理解空间向量定义与模的含义，掌握几何、符号两种表示方法，分清零向量、单位向量、相等向量等特殊向量的模与方向特征，建立空间向量直观认知。 2．熟练掌握空间向量加减、数乘运算，牢记运算法则与运算律，能结合图形完成向量变形化简，提升向量运算能力。 3．掌握直线方向向量概念，熟记共线、共面向量定理，会用定理证明三点共线、四点共面，区分两类向量判定条件。 4．学会用向量代数方法研究立体几何，为求解空间角、距离、证明线面关系铺垫基础，发展直观想象、逻辑推理核心素养。 知识点01 空间向量的有关概念 1、空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2、几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 练习1．（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 知识点02 空间向量的线性运算 1、空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2、空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3、空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 练习2．在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方体中，化简向量表达式：    (1)； (2)． 知识点03 共线向量与共面向量 1、直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2、共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 练习4．在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型1 空间向量的概念辨析 方法技巧 判断向量相关结论，只围绕模长、方向两大核心条件分析。相等向量必须模长相等且方向一致；相反向量模长相等、方向完全相反；零向量模长为0，方向任意，能与任意向量共线。 区分易混淆概念，共线向量只要求方向同向或反向，和线段摆放位置无关；单位向量仅限制模长为1，方向没有固定要求，对照定义逐一判断正误即可。 【例1】空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【例2】（多选）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【变式1-1】下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【变式1-2】关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【变式1-3】（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 题型2 空间向量的线性运算 方法技巧 向量加法用三角形法则、平行四边形法则，多个向量相加可首尾相连依次合并；减法统一转化为加相反向量，共起点两向量相连终点就是差向量。 数乘向量根据实数正负区分方向，正数同向、负数反向，实数取0时结果为零向量；化简复杂向量式子，直接使用交换律、结合律、分配律分步拆解。 【例3】已知是三个不共面向量，已知向量则_________. 【例4】如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 题型3 已知空间向量共线求参数 方法技巧 依据共线向量定理，两个非零向量共线，则存在唯一实数，使。 结合图形线段倍数关系列出向量等量式，通过向量相等的条件建立方程求解参数，同时单独验证向量为零向量的特殊情况。 【例5】已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【例6】设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【变式3-2】已知，，且，，不共面，若，则x，y的值分别为（    ） A．，8 B．，5 C．7，5 D．7，8 【变式3-3】设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 题型4 判断空间向量是否共面 方法技巧 使用共面向量定理判断，若两个基底向量不共线，第三个向量能拆分为这两个向量的线性组合，三个向量即为共面向量。 借助图形平移、线段等量替换转化向量，若找不到任意一组实数完成线性拆分，说明三个向量无法共面。 【例7】向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【例8】（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【变式4-3】如图，M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、CD的中点，则向量与、______．（填“共面”或“不共面”）    题型5 已知空间向量共面求参数 方法技巧 设两组实数，把目标向量用另外一组不共线的基底向量表示，结合图形中的线段等量关系列出向量等式。 因为基底向量相互独立不共线，等式两边同类向量系数一一对应相等，据此建立方程算出参数，最后确认基底不存在共线问题。 【例9】已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 【例10】（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【变式5-2】已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式5-3】已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 释疑惑·重难拓展 题型1 线性运算的线性表示 方法技巧 结合几何体等分点、平行线段、中线等几何关系拆分目标向量，将目标向量拆解为两组不共线基底向量的组合形式。 假设存在实数系数构建线性等式，由于基底向量不共线，等式两侧相同基底的系数必然对应相等，依靠等量关系求出未知系数。 【例1】如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【例2】如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，则_______，_______． 【变式1-1】已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图所示，平行六面体中，，．用向量表示向量=________． 题型2 证明四点共面 方法技巧 第一种思路：选取四点中同一个点作为起点，构造三条向量，证明其中一条向量可以由另外两条向量线性表示。 第二种思路：运用四点共面向量推论，寻找一组实数满足对应向量关系式，依靠向量线性变换推导，就能完成四点共面证明。 【例3】在正方体中，，分别为，的中点，若点满足，证明：，，，四点共面.    【例4】图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 【变式2-1】如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【变式2-2】如图所示，已知，，及，，分别是异面直线，上的三点，点，，，分别是线段，，，的中点．求证：，，，四点共面． 【变式2-3】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面. 一、单选题 1．下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 2．在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 4．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 6．已知正方体，点，，分别在棱，，上，且，，，过，，三点的平面与棱相交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．若构成空间的一个基底，则下列向量中不共面的是（    ） A． B． C． D． 8．在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 10．如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简：______，______，______．    11．在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 四、解答题 12．已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 13．已知向量，，不共线，如果，，，求证：，，，四点共面． 14．如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $