广东深圳市沙井中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

口口口口 高一数学期中考试答题卡 姓 名 班级 贴条形码区 考号 考场 (正面朝上，请勿贴出虚线方框) 座位号 1. 注 选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签 字笔书写，字体工整，笔迹清楚。 意事 2. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁止使用涂改液、涂改胶条。 填涂样例 正确填涂■ 错误填涂 ☑ ☒ 回 ) 日 缺考标记【1 单选题（共40分） 1.[A] [B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][Cc][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 多选题（共18分） 9.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 11.[A][B][c][D] 填空题（共15分） 12: 13. 14. 禁止作答 本区域禁止作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 数学 第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 解答题（共77分） 15(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 数学 第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 16(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 数学 第3页（共6页） 口口口■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 17(本小题满分15分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 数学 第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 18(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 数学 第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 19(本小题满分17分) S E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效 数学 第6页（共6页）高一数学下学期期中考试参考答案 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 B C D C D C B BCD ACD ABD 12.704 13.20+1210 14.95 4 15.【详解】(1)z,=(1+3i)(3+mi=3-3m+(9+m)i,因为z,是纯虚数， 所以3-3m=0且9+m≠0，解得m=1; (2)当m=-1时，z=3-i,故A3,-1,0A=(3,-1, z2=(3-i2=8-6i,故B(8,-6),0B=(8,-6). 设(OA,OB)=0,则c0s0= OA.OB 303V10 OAOB 10.1010 所以OA在OB上的数量投影向量为04.cos0. OB OB 5可3，-得) 16.解(1)因为a=(1,x-1,b=2,3,所以a+b=(3,x+2), 因为61(a+b),6=(2,3),a+万=(3，x+2),所以2×3+3(x+2=0,所以x=-4. (2)因为a∥b,设b=1a=22,2), 则=V2)2+元2=5=25，解得元=2.因此万=(4,2或万=(-4，-2. (3)AC=AB+BC=(ā-b)+-2a+36)=-a+2b, 因为A,C,D三点共线，所以3m∈R,AC=mCD, -1=2m m=-2 即-a+2b=ma-mb,又a与b不共线，所以 解得 2=-m ,即实数入的值为2 λ= 2 17.【详解】(1)E,F是BC,PB的中点..EF∥PC. 又EFt平面PAC,PC∈平面PAC,:EF∥平面PAC. (2):PA⊥平面ABCD,EBC平面ABCD,:.EB⊥PA. :EB⊥AB,PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,EB⊥平面PAB, :AFC平面PAB,.AF⊥EB, PA=AB=1,F是PB中点，.AF⊥PB, :EB∩PB=B,EB、PBC平面PBC, :AF⊥平面PBC,QPEc平面PBC,·AF⊥PE; (3)三棱锥E-PAD的体积等于三棱锥P-EAD的体积， :PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形，PA=AB=1,AD=√3， :V-ED=3X2XADXABX P4=V3 6 ，三棱锥E-PAD的体积为 18.【详解】(1)在△ABC中，因为2 acosA=ccosB+bcosC, 所以2 sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC,即2 sinAcosA=sinC+B)=sinπ-A)=sinA, 因为Ae0,,所以in4>0,放co1=子则4=音： (2)因为△ABC的面积为 为3N5,即besinA=-bxexsim”3V3 2,所以bc=6. 32 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=25-18=7. 解得a=V7,所以VABC周长为5+V7. (3)由正弦定理得6 a-1=25,即6=2 。2 sinB sinc sind sin 3-sinB,c= -sinC, nπ3 3 则b+c= 2W3「 3 3 cosB+IsinB=2sinB+ 2 2 6 因为VABC为锐角三角形，则0<B<,0<C= 2π -B< ，故 <B<R 3 故a+b+c=1+25in8+君e+5.],故△48C网长的取雀范到为(+5,3] 19.【详解】(1)如图，取SC中点F,连接EF,FD, 因为E为SB的中点，所以EF∥BC且EF=1BC, 2 因为底面四边形ABCD是矩形，P为棱AD的中点，所以PD∥BC且PD=二BC. 所以PD∥EF且PD=EF,故四边形PEDF是平行四边形， 所以PE∥FD,又FDc平面SCD,PE丈平面SCD,所以PE∥平面SCD: (2)过A作AN⊥PM于N,连接BN, 平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,ABC平面ABCD, 因为AD⊥AB,所以AB⊥平面SAD,又MPC平面SAD,所以AB⊥MP, 因为AN∩AB=A,AN,ABC平面ABN,所以MP⊥平面ABN, 又NBc平面ABN,所以MP⊥NB,所以∠ANB为二面角A-MP-B的平面角或其补角， 设AM=x,由余弦定理得 MP=√AM2+AP2-2AM×APcos60°=x2+1-2×xx1x号=V2+1-x, 1 SAAPM=5AM×APxsin60°=MPx AN 以上e+=x:AW,所以N V3x 2Wx2+1-x 所以BN=VAB2+AN2 V3x V7x2-4x+4 1+( }2= 2x2+1-x 2Vx2+1-x 所以cos∠AWB=4W=2Vr2+1-x 3x BNV7x2-4x+4V7x2-4x+4 2W3 因为平面PMB与平面SAD所成角的余弦值为 5 3x 所以 2 V7x2-4x+45 ，平方得x 4 7x2-4x+425 所以25x2=28x2-16x+16,整理得3x2-16x+16=0, 4 所以(3x-4(x-4)=0,解得x=4或x=4(舍去)，所以1M=3-2 4 3 AS 2 3 B (3)因为△SAD是正三角形， DC=2,则SD=SM=SG=2,∠ADG=∠ASD=60°， D 所以∠MSG=120°，∠MSP=30°，SP=5, 2 由2)知AM=,则SM=7 44_23, 在△MSG中GM=VSG2+SM2-2SG-SMcos120°=V4+)+ 933 在△MSP中PM=VSP2+SM2-2SP.SMcos30°=3 +4-2=3 而PG=VDG2+Dp2-2DG·DPeos60°=V16+1-4=3, 综上，PG=GM+PM,又P,M,G都在平面ADS内，则P,M,G三点共线， 由PMc平面PMB,即PG∈平面PMB,G∈PG,则G∈平面PMB, 又B∈平面PMB,而B,G∈BG,则BGC平面PMB. D 沙井中学2025—2026学年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．已知复数满足，则为（ ） A． B． C． D． 2．汕尾4个国家级名录特色农产品（城区东涌镇宝楼村红灯笼荔枝、华侨管理区红杨桃、陆河县河口镇油柑、陆丰市桥冲镇及内湖镇莲藕）种植户众多．现有荔枝户40户、杨桃户50户、油柑户60户、莲藕户50户．用分层抽样抽取容量为20的样本，应抽取油柑户（ ） A．2户 B．4户 C．6户 D．15户 3．已知中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A． B．或 C． D．或 4．如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，且，则 D．若，，且，，则 6．在中，，，，为的中点，则（ ） A．0 B．16 C．40 D．32 7．圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至．如图是根据六安市（北纬）的地理位置设计的圭表的示意图，已知六安市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（ ）（已知，） A．3.26米 B．4.73米 C．5.37米 D．6.31米 8．如图在正方体中，过直线且平行于平面的平面交平面于直线，则直线与所成角的正切值为（ ） A． B． C． D．2 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C．若，则 D．若，则 10．下列说法中正确的是（ ） A．若，，，则有两组解 B．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C．若，满足，则与的夹角为 D．在中，若 11．已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ ） A．四面体的体积为定值 B．存在点，使平面 C．二面角的正切值为 D．当为的中点时，四面体的外接球表面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上） 12．现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是________（下面摘取了随机数表第7行至第9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 13．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）．如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为________平方分米． 14．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积木”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅．开平方得积．现设中，，，分别为角，，所对的边，为面积，则“三斜求积木”可用公式表示．若，且，则面积的最大值为________． 四、解答题（本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知复数，其中． （1）设，若是纯虚数，求实数的值； （2）设，分别记复数、在复平面上对应的点为、，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量． 16．（1）若，，，求的值 （2）若，，，求的坐标； （3）若，，，且，，三点共线，求实数的值． 17．如图，已知平面，四边形是矩形，，，，分别是和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积． 18．已知为锐角三角形，，，分别为三个内角，，的对边，且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围． 19．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，，、分别为棱、的中点． （1）求证：平面； （2）已知为棱上的点，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值； （3）在（2）已知的条件下，设点在延长线上，且，判断直线是否在平面内，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $