第03讲 三角函数的图像与性质（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦三角函数图像与性质高考核心考点，涵盖正弦余弦正切函数图像性质、y=Asin(ωx+φ)参数意义与图像变换、性质综合应用等内容，按“命题透视-知识解构-题型破译-真题溯源”逻辑架构知识体系。通过考点梳理构建系统思维，方法指导归纳解题技巧，真题训练感知高考考向，帮助学生突破图像识别、单调区间求解等难点，体现复习教学的系统性与针对性。 资料以“数学运算”“直观想象”素养为导向，创新采用“整体代换法”突破单调区间求解，“三步法”解决图像解析式问题，结合易错分析规避常见错误。设置基础变式、综合应用分层练习，配合课本典例挖掘高考素材，确保学生高效掌握考点。助力教师精准把控复习节奏，提升学生应试思维与解题能力，实现有限时间内复习效果最大化。

第03讲 三角函数的图像与性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 正弦、余弦、正切函数的图像与基本性质 知识点2 函数的图像与性质 知识点3 三角函数奇偶性与对称性拓展 题型破译 题型1 三角函数的图像识别与判断 【方法技巧】 【易错分析】 题型2 三角函数的定义域与值域（最值） 【方法技巧】 【易错分析】 题型3 三角函数的单调性与单调区间 【方法技巧】 【易错分析】 题型4 三角函数的周期性、周期性和与对称性 【方法技巧】 【易错分析】 题型5 三角函数的图像变化 【方法技巧】 【易错分析】 题型6 三角函数性质的综合应用 【方法技巧】 【易错分析】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 三角函数图像识别 —— —— —— 单调性与单调区间 —— 全国二卷T15（13分） —— 周期性与对称性 —— 全国一卷T5（5分） —— 三角函数图像变换 —— —— —— 值域与最值问题 —— 全国二卷T15（13分） 全国甲卷（文数）T13（5分） 性质综合应用 —— —— —— 考情分析 三角函数的图像与性质是高中三角函数模块的核心内容，是高考高频必考考点，兼具基础性与综合性，突出直观想象、数学运算与逻辑推理核心素养。 1. 题型分值：单选 / 多选第 5～11 题（5 分），填空题第 13～15 题（5 分），解答题常作为三角解答题第 1 问考查（4～6 分），总分值 8～12 分；整体难度中等，以基础题与中档题为主，偶尔作为选择压轴题考查综合性。 2. 五大考查方向： 1. 三角函数图像的识别与判断，结合解析式或实际场景； 2. 三角函数定义域、值域与最值的求解； 3. 三角函数单调性、奇偶性、周期性、对称性的判断与应用； 4. 函数的图像变换与参数求解； 5. 三角函数性质的综合应用，结合恒等变换、零点、不等式等。 3. 综合融合：常与三角恒等变换结合，先化简再研究性质；也可与平面向量、函数零点、导数、解三角形等知识交汇命题，突出工具性与综合性。 复习目标 1. 能准确绘制正弦、余弦、正切函数的图像，掌握三类函数的基本性质； 2. 理解函数中参数A、 、 的物理意义，熟练掌握图像平移、伸缩变换的规律； 3. 掌握三角函数定义域、值域、单调区间、周期、对称中心与对称轴的求解方法； 4. 能结合三角恒等变换化简三角函数式，进而研究函数的性质； 5. 能解决三角函数与其他知识交汇的综合问题，提升数形结合与转化化归能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 正弦、余弦、正切函数的图像与基本性质 一、 三类函数的图像特征 1. 正弦函数：图像为正弦曲线，定义域为R，值域为；五点法作图关键点：、、、、。 2. 余弦函数：图像为余弦曲线，定义域为R，值域为；五点法作图关键点：、、、、。 3. 正切函数：图像为正切曲线，定义域为，值域为R；渐近线为。 二、 核心性质对比表 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 1. 、的最小正周期都是2； 和的最小正周期都是 。 2. 正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线 ；余弦函数是偶函数，对称中心是 ，对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点)。 3. 上单调递增，在单调递减；在 上单调递减，在上单调递增。 自主检测已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为__________． 知识点2 函数的图像与性质 一、 参数的物理意义（） • 振幅：决定函数值域为，反映振动幅度； • 角频率：决定最小正周期，反映振动快慢； • 初相：决定时的相位，反映图像的左右位置； • 相位： 。 二、 图像变换的两种路径 1. 先平移后伸缩（相位变换→周期变换→振幅变换） 2. 先伸缩后平移（周期变换→相位变换→振幅变换） ⚠ 核心注意：左右平移的单位是针对自变量本身，而非；先伸缩再平移时，平移量为。 三、 性质求解（整体代换思想） 将视为整体，类比的性质求解： 1. 周期：； 2. 最值：时取最大值，时取最小值； 3. 单调区间：解不等式得递增区间，反之得递减区间； 4. 对称轴：令，解得即为对称轴方程； 5. 对称中心：令，解得，对称中心为。 自主检测（2026·江苏无锡·三模）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则_______． 1. 知识点3 三角函数奇偶性与对称性拓展 一、 奇偶性快速判断结论 • 为奇函数 ⇔ ； • 为偶函数 ⇔ ； • 为偶函数 ⇔ ； • 为奇函数 ⇔ 。 二、 对称性常用结论 • 正弦 / 余弦函数的对称轴必经过图像最高点或最低点； • 正弦 / 余弦函数的对称中心必为图像与轴的交点； • 正切函数的对称中心包括图像与轴交点，以及渐近线与轴的交点。 自主检测（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 三角函数的图像识别与判断 例1-1（2026·天津·模拟预测）函数，的图象大致为（ ） A． B． C． D． 例1-2（2026·湖北黄冈·三模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．3 C． D． 方法技巧 1.图像识别优先用排除法：先判断奇偶性，再代入特殊点，结合单调性、极值点排除错误选项； 2.由图像求解析式 “三步法”：①由最值求振幅；②由周期求；③由特殊点求，结合范围取舍； 3.注意零点的 “升降趋势”：上升沿零点与下降沿零点对应相位不同。 易错分析 1.忽略的取值范围，导致多解； 2.周期计算错误，将半周期、四分之一周期误判为完整周期； 3.判断奇偶性时只验证特殊点，不验证定义域对称性。 【变式训练1-1】（多选题）（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数与的部分图象如图所示，为两曲线相邻的交点的横坐标，记，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．若在上有9个零点，则 D． 【变式训练1-2】（多选题）（2026·广东·模拟预测）已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B． C． D．若，则 【变式训练1-3】（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 题型2 三角函数的定义域与值域（最值） 例2-1（2026·上海·三模）若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 例2-2（2026·山西晋城·三模）已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C．5 D．9 方法技巧 1.定义域求解：结合三角函数本身定义域（正切、偶次根号、分母），解三角不等式，可借助图像或单位圆； 2.值域 / 最值常用方法： ① 化为，结合的范围求相位范围，再求值域； ② 换元法：令（或），转化为二次函数在上的值域； ③ 几何法：利用斜率、距离等几何意义求解。 3.换元时务必标注新元的取值范围。 易错分析 1.解三角不等式时漏写，或忽略定义域取交集； 2.换元后忽略的范围，直接按全体实数求二次函数值域； 3.求区间最值时直接代入端点，忽略区间内的极值点。 【变式训练2-1·变考法】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数在区间上的最小值恰为，方程表示焦点在轴上的椭圆，记所有满足条件的为集合，实数的取值集合为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（多选题）（2026·广西崇左·二模）已知函数，下列命题正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．在，上单调递减 【变式训练2-3】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 题型3 三角函数的单调性与单调区间 例3-1（2026·福建三明·二模）下列区间是函数的一个单调递增区间的是（   ） A． B． C． D． 例3-2（多选题）（2026·河南驻马店·三模）已知函数的图象过点和点，则（     ） A．在区间上单调递减 B．直线为图象的一条对称轴 C．将的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 D．在区间上仅有两个零点 方法技巧 1.求单调区间：用整体代换法，将代入基本函数单调区间解；若，先利用诱导公式将化为正数，避免单调性反向。 2.已知单调性求参数： ① 利用 “单调区间是完整单调区间的子集” 列不等式； ② 利用极值点是单调区间的分界点。 3.比较三角函数值大小：先诱导化为同一单调区间的角，再用单调性比较。 易错分析 为负数时直接代入单调区间，导致单调性方向相反； 2.写单调区间时遗漏； 3.已知区间单调性求参数时，忽略周期限制，导致参数范围过大。 【变式训练3-1】（2020·河北张家口·二模）若函数的部分图象如图所示，则函数可能为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（多选题）（2026·辽宁·三模）下列四个函数中，周期为且在区间上单调递减的有（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-3·变题型】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，其中，.若为偶函数，，且，并且在区间上单调递减，则_____，_______. 题型4 三角函数的奇偶性、周期性与对称性 例4-1（2026·湖南邵阳·模拟预测）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 例4-2（2026·湖北·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1.周期性判断： ① 公式法：周期，周期； ② 定义法：验证恒成立； ③ 图像法：观察图像重复间隔。 2.奇偶性判断：先看定义域是否关于原点对称，再验证与的关系。 对称性：正弦 / 余弦对称轴过最值点，对称中心为图像与 x 轴交点；正切对称中心含渐近线中点。 易错分析 1.误认为带绝对值的三角函数周期一定减半，需具体验证（如周期为）； 2.混淆对称中心是点、对称轴是直线，书写格式错误； 3.判断奇偶性时忽略定义域关于原点对称的前提。 【变式训练4-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．1013 B．2026 C．3039 D．4052 【变式训练4-2】（多选题）（2026·河南信阳·三模）函数，则（    ） A．的值域为 B．的周期 C．若，当取得最大值时， D．当为奇函数时， 【变式训练4-3·变题型】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且，则____，____． 题型5 三角函数的图像变换 例5-1（2026·天津·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，则实数的最小值（     ） A． B． C． D． 例5-2（2026·山东日照·模拟预测）已知偶函数（，）的图象向右平移（）个单位长度所得的图象与原图象重合，若的最小值为1，曲线与恰有一个交点，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 方法技巧 1.图像变换核心：所有变换都针对自变量本身，而非； 2.平移 “左加右减”，伸缩 “横坐标乘，纵坐标乘”； 3.逆向变换：从结果倒推原函数，变换顺序反向、操作反向。 易错分析 1.先伸缩后平移时，直接按个单位平移，忽略除以，导致平移量错误； 2.逆向变换时顺序或加减方向搞反； 3.混淆 “图像平移” 与 “按向量平移” 的表述。 【变式训练5-1】（多选题）（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C．函数的一条对称轴为直线 D．函数在上单调递减 【变式训练5-2】（多选题）（2026·浙江·二模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的最小值为1 C．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象与关于轴对称，则的最小值为3 D．若在上无零点，则的取值范围为 【变式训练5-3·变载体】（2026·广东深圳·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 题型6 三角函数性质的综合应用 例6-1（多选题）（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（     ） A．是最小正周期为偶函数 B．的值域为 C． D． 例6-2（2026·陕西西安·模拟预测）直线与曲线的交点的个数为_________． 方法技巧 1.综合题思路：先化简为标准型，再逐一研究各类性质； 2.恒成立问题：转化为区间最值问题，结合图像求解参数范围； 3.零点 / 交点问题：转化为方程解的个数，结合三角函数图像与直线的交点分析。 易错分析 1.化简过程公式用错，导致后续性质全部错误； 2.恒成立问题混淆 “最大值” 与 “最小值” 的方向； 3.零点问题忽略区间端点或边界值。 【变式训练6-1·新思维】（多选题）（2026·河南郑州·二模）声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（     ） A．的最小正周期为 B．在区间上恰有3个零点 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为 【变式训练6-2·变题型】（2026·北京大兴·三模）已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 【变式训练6-3·变载体】（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，． (1)求角； (2)若等差数列的首项的值等于角B的值，且，求的通项公式； (3)在（2）条件下，设数列，求的前27项的和． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·高考真题）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 8．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 三、填空题 10．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 四、解答题 11．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．下列关于函数,的单调性的叙述,正确的是. A．在上单调递增,在上单调递减 B．在上单调递增,在上单调递减 C．在及上单调递增,在上单调递减 D．在上单调递增,在及上单调递减 二、解答题 2．不通过求值,比较下列各组数的大小: (1)与; (2)与. 3．下列函数有最大值､最小值吗?如果有,请写出取最大值､最小值时自变量x的集合,并求出最大值､最小值. (1),; (2),. 4．下列函数中,哪些是奇函数?哪些是偶函数? (1); (2); (3); (4). 5．求下列函数的周期,并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验: (1),; (2),; (3),; (4),. 6．求下列函数的周期: (1),; (2),; (3),. 7．想一想函数与的图象及其关系,并借助信息技术画出函数的图象进行检验. 8．在同一直角坐标系中,画出函数,,,的图象.通过观察两条曲线,说出它们的异同. 9．画出下列函数的简图: (1),; (2),. x 0 0 1 0 -1 0 1 2 1 0 1 x 0 1 0 -1 0 1 -1 0 1 0 -1 10．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度； （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）. 11．下列函数中，哪些是奇函数？是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数. （1）； （2）； （3）； （4）. 12．如图，已知直线，A是之间的一定点并且点A到的距离分别为，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C．设. （1）写出面积关于角的函数解析式.； （2）画出上述函数的图象； （3）由（2）中的图象求的最小值. 13．求下列函数的最大值、最小值，并求使函数取得最大、最小值的x的集合 （1）； （2）. 14．求函数的周期. 15．借助函数的图象解不等式，. 16．一台发电机产生的电流是正弦式电流,电压和时间之间的关系如图所示.由图象说出它的周期、频率和电压的最大值,并求出电压(单位:)关于时间(单位:)的函数解析式. 17．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出分别由函数的图象经过怎样的变化得到. （1）； （2）； （3）； （4） 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 三角函数的图像与性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 正弦、余弦、正切函数的图像与基本性质 知识点2 函数的图像与性质 知识点3 三角函数奇偶性与对称性拓展 题型破译 题型1 三角函数的图像识别与判断 【方法技巧】 【易错分析】 题型2 三角函数的定义域与值域（最值） 【方法技巧】 【易错分析】 题型3 三角函数的单调性与单调区间 【方法技巧】 【易错分析】 题型4 三角函数的周期性、周期性和与对称性 【方法技巧】 【易错分析】 题型5 三角函数的图像变化 【方法技巧】 【易错分析】 题型6 三角函数性质的综合应用 【方法技巧】 【易错分析】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 三角函数图像识别 —— —— —— 单调性与单调区间 —— 全国二卷T15（13分） —— 周期性与对称性 —— 全国一卷T5（5分） —— 三角函数图像变换 —— —— —— 值域与最值问题 —— 全国二卷T15（13分） 全国甲卷（文数）T13（5分） 性质综合应用 —— —— —— 考情分析 三角函数的图像与性质是高中三角函数模块的核心内容，是高考高频必考考点，兼具基础性与综合性，突出直观想象、数学运算与逻辑推理核心素养。 1. 题型分值：单选 / 多选第 5～11 题（5 分），填空题第 13～15 题（5 分），解答题常作为三角解答题第 1 问考查（4～6 分），总分值 8～12 分；整体难度中等，以基础题与中档题为主，偶尔作为选择压轴题考查综合性。 2. 五大考查方向： 1. 三角函数图像的识别与判断，结合解析式或实际场景； 2. 三角函数定义域、值域与最值的求解； 3. 三角函数单调性、奇偶性、周期性、对称性的判断与应用； 4. 函数的图像变换与参数求解； 5. 三角函数性质的综合应用，结合恒等变换、零点、不等式等。 3. 综合融合：常与三角恒等变换结合，先化简再研究性质；也可与平面向量、函数零点、导数、解三角形等知识交汇命题，突出工具性与综合性。 复习目标 1. 能准确绘制正弦、余弦、正切函数的图像，掌握三类函数的基本性质； 2. 理解函数中参数A、 、 的物理意义，熟练掌握图像平移、伸缩变换的规律； 3. 掌握三角函数定义域、值域、单调区间、周期、对称中心与对称轴的求解方法； 4. 能结合三角恒等变换化简三角函数式，进而研究函数的性质； 5. 能解决三角函数与其他知识交汇的综合问题，提升数形结合与转化化归能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 正弦、余弦、正切函数的图像与基本性质 一、 三类函数的图像特征 1. 正弦函数：图像为正弦曲线，定义域为R，值域为；五点法作图关键点：、、、、。 2. 余弦函数：图像为余弦曲线，定义域为R，值域为；五点法作图关键点：、、、、。 3. 正切函数：图像为正切曲线，定义域为，值域为R；渐近线为。 二、 核心性质对比表 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 注意： 1. 、的最小正周期都是2； 和的最小正周期都是。 2. 正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点)。 3. 上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。 特别提醒，别忘了！ 自主检测已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】结合正弦函数图象，根据题意列不等式计算即可求解. 【详解】因为，所以， 由正弦函数性质可知，要使函数有两个最值点， 则，且，解得且， 所以的取值范围为. 知识点2 函数的图像与性质 一、 参数的物理意义（） • 振幅：决定函数值域为，反映振动幅度； • 角频率：决定最小正周期，反映振动快慢； • 初相：决定时的相位，反映图像的左右位置； • 相位：。 二、 图像变换的两种路径 1. 先平移后伸缩（相位变换→周期变换→振幅变换） 2. 先伸缩后平移（周期变换→相位变换→振幅变换） ⚠ 核心注意：左右平移的单位是针对自变量本身，而非；先伸缩再平移时，平移量为。 三、 性质求解（整体代换思想） 将视为整体，类比的性质求解： 1. 周期：； 2. 最值：时取最大值，时取最小值； 3. 单调区间：解不等式得递增区间，反之得递减区间； 4. 对称轴：令，解得即为对称轴方程； 5. 对称中心：令，解得，对称中心为。 自主检测（2026·江苏无锡·三模）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则_______． 【答案】 【详解】将函数的图象向左平移个单位， 得到，由于此函数的图象关于轴对称， 则，即， 又，则. 1. 知识点3 三角函数奇偶性与对称性拓展 一、 奇偶性快速判断结论 • 为奇函数 ⇔ ； • 为偶函数 ⇔ ； • 为偶函数 ⇔ ； • 为奇函数 ⇔ 。 二、 对称性常用结论 • 正弦 / 余弦函数的对称轴必经过图像最高点或最低点； • 正弦 / 余弦函数的对称中心必为图像与轴的交点； • 正切函数的对称中心包括图像与轴交点，以及渐近线与轴的交点。 自主检测（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 题●型●破●译 题型1 三角函数的图像识别与判断 例1-1（2026·天津·模拟预测）函数，的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可． 【详解】由，， 可得， 所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，故可排除选项C、D， 当时，可得，可排除选项B， 所以该函数的图象大致为选项A． 例1-2（2026·湖北黄冈·三模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的图象，求得，结合，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，解得， 又由，即，可得， 因为，可得，所以， 又因为，即，可得. 方法技巧 1.图像识别优先用排除法：先判断奇偶性，再代入特殊点，结合单调性、极值点排除错误选项； 2.由图像求解析式 “三步法”：①由最值求振幅；②由周期求；③由特殊点求，结合范围取舍； 3.注意零点的 “升降趋势”：上升沿零点与下降沿零点对应相位不同。 易错分析 1.忽略的取值范围，导致多解； 2.周期计算错误，将半周期、四分之一周期误判为完整周期； 3.判断奇偶性时只验证特殊点，不验证定义域对称性。 【变式训练1-1】（多选题）（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数与的部分图象如图所示，为两曲线相邻的交点的横坐标，记，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．若在上有9个零点，则 D． 【答案】ACD 【分析】由求导得，根据图像分和两种情况分析求出求得周期可判断A、B；由求得相邻两零点的距离，结合在上零点的个数求出的范围即可判断C；先由，得，再由及求得的值，进而通过诱导公式结合三角恒等变换求解即可判断D. 【详解】对于A，B，，若，则，得， 所以，又且，得， 此时，符合题意； 若，则，得，所以， 又，且，得，此时， 在其单调递减区间内，与图象不符，所以，最小正周期为，故A正确，B错误； 对于C，由得，所以相邻两零点的距离为， 因为在上有9个零点，所以， 即，故C正确； 对于D，由，得， 又由，且， 得， 所以 ，故D正确． 【变式训练1-2】（多选题）（2026·广东·模拟预测）已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B． C． D．若，则 【答案】AC 【分析】根据，确定函数的最小正周期，再判断A的真假；利用点坐标和点处函数的性质，可求出的值，判断B的真假；确定点坐标，利用平面向量数量积的坐标运算，判断C的真假；利用二倍角公式，计算，可判断D的真假. 【详解】对于A：函数的最小正周期为，为函数的一个周期，选项A正确. 对于B：函数经过点，代入得，显然点位于图象的增区间上，()，又由于，则，，选项B错误. 对于C：由选项B：，，得，，得. ，，则，选项C正确. 对于D：若，即，则，选项D错误. 【变式训练1-3】（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，得出振幅和周期，设点，利用正弦型函数的性质结合图象求出坐标，进而求出，利用构造方程求出，进而求出值． 【详解】，振幅为，周期， 设点，则，， ， ， 解得，解得或（舍去）， ，解得． 题型2 三角函数的定义域与值域（最值） 例2-1（2026·上海·三模）若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】求出命题的否定对应的参数，其补集即所求. 【详解】对关于的命题：对任意的，总存在，使得， 其否定为：存在，，使得， 若为真，由，得， 则， 所以且， 所以，得， 由上，若为真，则，即的取值范围是. 例2-2（2026·山西晋城·三模）已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【分析】先根据正弦型函数的周期公式求得，可得，再根据正弦函数的性质求得时，，进而结合题设可得，进而求解即可. 【详解】，， ∵当时，，则， ， 若存在，使得成立， 只需，解得， 结合选项，实数的取值不可能是9． 方法技巧 1.定义域求解：结合三角函数本身定义域（正切、偶次根号、分母），解三角不等式，可借助图像或单位圆； 2.值域 / 最值常用方法： ① 化为，结合的范围求相位范围，再求值域； ② 换元法：令（或），转化为二次函数在上的值域； ③ 几何法：利用斜率、距离等几何意义求解。 3.换元时务必标注新元的取值范围。 易错分析 1.解三角不等式时漏写，或忽略定义域取交集； 2.换元后忽略的范围，直接按全体实数求二次函数值域； 3.求区间最值时直接代入端点，忽略区间内的极值点。 【变式训练2-1·变考法】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数在区间上的最小值恰为，方程表示焦点在轴上的椭圆，记所有满足条件的为集合，实数的取值集合为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由满足条件的集合求，再由椭圆条件求，最后判断集合关系. 【详解】当时，， 此时的最小值为，所以，即． 若，此时能取到最小值， 即，代入可得，满足要求，即； 若取不到最小值，则需满足，即， 而在上单调递减， 所以存在唯一符合题意；所以集合. 由椭圆的焦点在轴上，得， 解得，所以实数的取值集合为， 则，即. 【变式训练2-2】（多选题）（2026·广西崇左·二模）已知函数，下列命题正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．在，上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据正切函数的性质判断． 【详解】对AB，的定义域为，值域为，A正确，B错误. 对C，，所以的图象关于点对称，C正确. 对D，当时，，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上单调递减.当时，，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上单调递减，D正确. 【变式训练2-3】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由求出，根据在上有最大值，且无最小值求出的取值范围. （2）结合（1）得的值，进而得到的解析式，化简得到的解析式进而求出对称中心. 【详解】（1）因为，，所以， 由于，则，即. 由可得， 又因在上有最大值，且无最小值， 根据正弦函数的图象可知， 解得，故的取值范围为. （2）由结合（1）可知，则， 所以 . 令，，解得，， 则函数图象的对称中心为，. 题型3 三角函数的单调性与单调区间 例3-1（2026·福建三明·二模）下列区间是函数的一个单调递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以令，解得， 当时，单调递增区间为， 因为， 所以是函数的一个单调递增区间. 例3-2（多选题）（2026·河南驻马店·三模）已知函数的图象过点和点，则（     ） A．在区间上单调递减 B．直线为图象的一条对称轴 C．将的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 D．在区间上仅有两个零点 【答案】BC 【详解】代入点得，代入得，又因为，所以，函数解析式为. 选项A，，，因此不单调递减. 选项B，，，为对称轴. 选项C，向左平移得成立. 选项D，，，因为函数在上只有1个零点，因此只有1个零点. 方法技巧 1.求单调区间：用整体代换法，将代入基本函数单调区间解；若，先利用诱导公式将化为正数，避免单调性反向。 2.已知单调性求参数： ① 利用 “单调区间是完整单调区间的子集” 列不等式； ② 利用极值点是单调区间的分界点。 3.比较三角函数值大小：先诱导化为同一单调区间的角，再用单调性比较。 易错分析 为负数时直接代入单调区间，导致单调性方向相反； 2.写单调区间时遗漏； 3.已知区间单调性求参数时，忽略周期限制，导致参数范围过大。 【变式训练3-1】（2020·河北张家口·二模）若函数的部分图象如图所示，则函数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象可知函数为奇函数，且当时，；逐项判断是否符合要求即可得. 【详解】由图象可知函数为奇函数，且当时，； A，，该函数为偶函数，A不符； B，，该函数为奇函数， 且当时，，，此时，B符合题意； C，函数为偶函数，C不符； D，当时，，D不符. 【变式训练3-2】（多选题）（2026·辽宁·三模）下列四个函数中，周期为且在区间上单调递减的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，函数的周期为， 当时，，在上单调递减，A正确； 对于B，当时，，函数在上单调递增，B错误； 对于C，函数的周期为， 当时，，在上单调递减，C正确； 对于D，函数的周期为，D错误. 【变式训练3-3·变题型】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，其中，.若为偶函数，，且，并且在区间上单调递减，则_____，_______. 【答案】 2 【分析】根据偶函数的定义可得或，结合可得，再根据可得，，结合单调性分析求解. 【详解】函数为偶函数，要求对任意成立. 即. 展开得. 因此对任意成立. 由于，所以不可能恒有，故， 且，于是或. 又，即，所以. 此时. 由得. 所以，，即，， 又，故可能为， 且，因为，则， 因为在上单调递减， 则，解得，只有满足. 因此，. 题型4 三角函数的奇偶性、周期性与对称性 例4-1（2026·湖南邵阳·模拟预测）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简，然后周期公式和奇函数定义判断即可. 【详解】, 定义域为，定义域关于原点对称， 由周期公式可知， 又， 所以为最小正周期为的奇函数. 例4-2（2026·湖北·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解. 【详解】的图象向左平移个单位长度， 可得，若图象关于原点对称， 则满足，得， 因为，故当时，取得最小值， 故选：C. 方法技巧 1.周期性判断： ① 公式法：周期，周期； ② 定义法：验证恒成立； ③ 图像法：观察图像重复间隔。 2.奇偶性判断：先看定义域是否关于原点对称，再验证与的关系。 对称性：正弦 / 余弦对称轴过最值点，对称中心为图像与 x 轴交点；正切对称中心含渐近线中点。 易错分析 1.误认为带绝对值的三角函数周期一定减半，需具体验证（如周期为）； 2.混淆对称中心是点、对称轴是直线，书写格式错误； 3.判断奇偶性时忽略定义域关于原点对称的前提。 【变式训练4-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．1013 B．2026 C．3039 D．4052 【答案】B 【分析】分， ，三种情况分析的零点个数，并结合函数的周期性，可得的零点. 【详解】因，则函数是周期函数，其最小正周期为. 令，当时，单调递增，单调递增，所以单调递增； 又在上单调递减，故函数 在上单调递增； 又因，所以函数在上有一个零点. 当 时， ，，则，函数在上无零点. 当时， ，则 ，. 令，在 上单调递增，单调递增，所以单调递增； 在 上单调递增，且增长速度逐渐增快. 若，则，而，所以； 若，则，，所以 ； 若，则，，所以 ； 又 ，所以在上恰有一个零点. 综上，函数 在有两个零点. 所以函数 有 个零点. 【变式训练4-2】（多选题）（2026·河南信阳·三模）函数，则（    ） A．的值域为 B．的周期 C．若，当取得最大值时， D．当为奇函数时， 【答案】AC 【分析】由题意知，再结合三角函数性质判断各选项即可得答案. 【详解】对于A，由题意知：， 其中，则的值域为，故A正确； 对于B,对于的最小正周期为，故B错误； 对于C，若，， 当取得最大值时，，即， 所以，故C正确； 对于D，当为奇函数时，，即， 所以，故D错误. 【变式训练4-3·变题型】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且，则____，____． 【答案】 / 【分析】根据函数的最小正周期得到，利用对称轴得到，然后代入计算即可求解. 【详解】函数的最小正周期为．解得， 又图象关于直线对称，则有． 解得． 因，则得或． 又由，． 题型5 三角函数的图像变换 例5-1（2026·天津·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，则实数的最小值（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图象变换和诱导公式求出m的最小值. 【详解】，而. 函数的图象向左平移个单位长度， 可得， 因为平移后所得函数图象与函数的图象重合， 所以，，解得，， 因为，所以当时，取得最小值. 例5-2（2026·山东日照·模拟预测）已知偶函数（，）的图象向右平移（）个单位长度所得的图象与原图象重合，若的最小值为1，曲线与恰有一个交点，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由题意求得的解析式，并由交点条件得到等式，由等式两边函数关于的对称性，得出唯一的交点必然落在对称轴上，从而直接代入即可解出a的值. 【详解】因为为偶函数，则，即， 则，即，此等式不恒成立，故舍， 或，即，即， 因为，则，则， 由题意得的最小正周期为1，则，解得，即， 由题意得有一个解， 整理得， 设，， 易得均关于对称，所以与的交点关于对称， 即任何交点都会有一个与对称的点， 为了使图像只有1个交点，则必有，解得，即 即，解得. 方法技巧 1.图像变换核心：所有变换都针对自变量本身，而非； 2.平移 “左加右减”，伸缩 “横坐标乘，纵坐标乘”； 3.逆向变换：从结果倒推原函数，变换顺序反向、操作反向。 易错分析 1.先伸缩后平移时，直接按个单位平移，忽略除以，导致平移量错误； 2.逆向变换时顺序或加减方向搞反； 3.混淆 “图像平移” 与 “按向量平移” 的表述。 【变式训练5-1】（多选题）（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C．函数的一条对称轴为直线 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【详解】已知函数，最小正周期为，故A正确； 的图像向左平移个单位得： ，故B错误； 正弦函数对称轴满足， 代入得，满足对称轴条件，故C正确； 令，即， 区间包含递减区间和递增区间，故D错误． 【变式训练5-2】（多选题）（2026·浙江·二模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的最小值为1 C．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象与关于轴对称，则的最小值为3 D．若在上无零点，则的取值范围为 【答案】AD 【分析】对于A，根据正弦型函数的单调性判断即可；对于B，根据，得到或，，判断即可；对于C，根据图像的平移变换结合所得图象与关于轴对称，得到，，判断即可；对于D，根据在上无零点，列方程组求解即可. 【详解】. 对于A，若，，当时，， 又在上单调递增，故A正确. 对于B，若，则，即， 所以或，，即或，， 又，所以的最小值为2，故B错误. 对于C，将函数的图象向右平移个单位，得到. 因为与关于轴对称，所以， 所以或，， 即，或，， 又，所以的最小值为6，故C错误. 对于D，若在上无零点，则，， 解得，. 又，当时，；当时，； 当时，，此时无解， 故若在上无零点，则的取值范围为，D正确. 【变式训练5-3·变载体】（2026·广东深圳·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式可得函数的解析式和周期； （2）根据正弦函数的性质求解； （3）根据伸缩平移变换得到的图象，几何结合正弦函数的性质求参数范围. 【详解】（1）由题可知， 则， 最小正周期． （2）当时，， ， 所以值域为； （3）将的图象向左平移个单位长度，得到 的图象，再向上平移个单位长度，得到． 当时，，． 方程有两个不同实数解，即 有两个不同解， 等价于在上有两个不同解． 结合正弦函数图像，可知， 解得． 题型6 三角函数性质的综合应用 例6-1（多选题）（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（     ） A．是最小正周期为偶函数 B．的值域为 C． D． 【答案】BC 【分析】由奇偶性与周期性的定义计算可判断A；利用二倍角的余弦与换元法求得的值域判断B；由题意得，结合余弦函数的牟称性可判断C；结合C选项求得判断D. 【详解】选项A：，所以是偶函数； 又，因此最小正周期是不是，故A错误； 选项B：， 令，则. 当时， 当时，为.故B正确； 选项C： 令，即， 解得（另一根，舍去）. 在内，（其中）的两个根， 满足（余弦函数的对称性），故C正确， 选项D，由方程， 根据C选项可知，但只有符合， 所以，故D错误. 例6-2（2026·陕西西安·模拟预测）直线与曲线的交点的个数为_________． 【答案】6 【分析】将直线代入曲线方程消去，化简得到关于的方程，再结合正弦函数的值域与函数性质分析该方程的实根个数，即可得到所求交点的个数. 【详解】将代入，得． 由，得，则． 函数在区间上取得最大值时对应的自变量为，，． 作出，的大致图象，如图所示． 由图可知，这两个函数的图象在区间上有6个交点， 从而直线与曲线的交点的个数为6． 方法技巧 1.综合题思路：先化简为标准型，再逐一研究各类性质； 2.恒成立问题：转化为区间最值问题，结合图像求解参数范围； 3.零点 / 交点问题：转化为方程解的个数，结合三角函数图像与直线的交点分析。 易错分析 1.化简过程公式用错，导致后续性质全部错误； 2.恒成立问题混淆 “最大值” 与 “最小值” 的方向； 3.零点问题忽略区间端点或边界值。 【变式训练6-1·新思维】（多选题）（2026·河南郑州·二模）声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（     ） A．的最小正周期为 B．在区间上恰有3个零点 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】A.利用周期的定义作判定； B.直接求解在区间的零点，从而得到零点的个数； C. 中心对称的充要条件是：对任意，有； D.举出反例，说明的最大值不是. 【详解】选项 A：， 因为， 所以不是的最小正周期，因此A 错误； 选项 B： ， 令，则：，或， 在上的解为， ，即，在上的解为（与上述解重合）， 因此零点为，共 3 个，B 正确。 选项 C： 因为 所以，图象关于点中心对称，C 正确； 选项 D：， 因为 所以的最大值不是，D 错误. 【变式训练6-2·变题型】（2026·北京大兴·三模）已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得. 【详解】设，， 由得：，， 又，，解得. 此时最的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 取，得. 综上所述：，的一个取值为. 【变式训练6-3·变载体】（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，． (1)求角； (2)若等差数列的首项的值等于角B的值，且，求的通项公式； (3)在（2）条件下，设数列，求的前27项的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的性质，及二倍角的正弦公式即可求解； （2）根据等差数列的性质，及结合（1）即可求出的通项公式； （3）结合（2），根据分组求和，再利用等差数列的求和公式，特殊角的三角函数值，及其周期性即可求解． 【详解】（1）中，因为，所以， 又，则， 因为，所以， 又，因此． （2）设等差数列的公差为，结合（1）有， 又，则，解得， 所以． （3）结合（2）有， 设，该函数的最小正周期， 则， 故， 所以． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断. 【详解】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 2．（2026·北京·高考真题）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】平移后函数为，与关于轴对称可知函数值互为相反数，利用正弦相等得方程，排除不恒成立情形，得到的取值个数. 【详解】将向右平移个单位得 . 由题意，与的图像关于轴对称，即恒成立， 即. 分两种情形讨论： ①，对任意不恒成立，舍去； ②，化简得 ，即. 由得， 对应，因此的取值个数为3. 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 4．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 6．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 7．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． 【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象． 故选：D.          8．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值. 【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 三、填空题 10．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 【答案】 【分析】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在上单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且， 则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 四、解答题 11．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值. （2）利用反证法可证三角不等式有解； （3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值. 【详解】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．下列关于函数,的单调性的叙述,正确的是. A．在上单调递增,在上单调递减 B．在上单调递增,在上单调递减 C．在及上单调递增,在上单调递减 D．在上单调递增,在及上单调递减 【答案】C 【解析】利用正弦函数的单调性分析判断得解. 【详解】因为,， 所以函数的单调性和正弦函数的单调性相同， 所以函数在及上单调递增,在上单调递减. 故选：C 二、解答题 2．不通过求值,比较下列各组数的大小: (1)与; (2)与. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）利用正弦函数在区间上单调递增比较大小；（2）先化简 ,，再利用余弦函数在区间上单调递减比较大小. 【详解】解:(1)因为,正弦函数在区间上单调递增,所以 . (2),. 因为,且函数在区间上单调递减,所以, 即. 3．下列函数有最大值､最小值吗?如果有,请写出取最大值､最小值时自变量x的集合,并求出最大值､最小值. (1),; (2),. 【答案】(1)有最大值､最小值.见解析(2)有最大值､最小值.见解析 【解析】（1）函数有最大最小值，使函数,取得最大值最小值的x的集合,就是使函数,取得最大值最小值的x的集合；（2）令,使函数,取得最大值的x的集合,就是使,取得最小值的z的集合，使函数,取得最小值的x的集合,就是使,取得最大值的z的集合. 【详解】解:容易知道,这两个函数都有最大值､最小值. (1)使函数,取得最大值的x的集合,就是使函数,取得最大值的x的集合; 使函数,取得最小值的x的集合,就是使函数,取得最小值的x的集合. 函数,的最大值是;最小值是. (2)令,使函数,取得最大值的x的集合,就是使,取得最小值的z的集合. 由,得. 所以,使函数,取得最大值3的x的集合是. 同理,使函数,取得最小值-3的x的集合是. 函数,的最大值是3,最小值是-3. 4．下列函数中,哪些是奇函数?哪些是偶函数? (1); (2); (3); (4). 【答案】(1)(3)(4)是奇函数;(2)是偶函数. 【解析】利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性. 【详解】(1),函数的定义域为R， ， 所以函数是奇函数； (2)，函数的定义域为R，， 所以函数是偶函数； (3)，函数的定义域为R，， 所以函数是奇函数； (4)，函数的定义域为R， 所以函数是奇函数. 5．求下列函数的周期,并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验: (1),; (2),; (3),; (4),. 【答案】(1)周期为.见解析(2)周期为.见解析(3)周期为.见解析(4)周期为.见解析 【分析】利用周期函数的定义证明函数的周期，再作出函数的图象得解. 【详解】解:(1)因为, 所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为.函数的图象如图所示：    (2)因为, 所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为.函数的图象如图所示：    (3)因为, 所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为.函数的图象如图所示：    (4)因为, 所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为.函数的图象如图所示：    6．求下列函数的周期: (1),; (2),; (3),. 【答案】(1).(2).(3) 【解析】（1）直接求出函数的周期；（2）令,先求出的周期，再求出原函数的周期；（3）令,先求出 的周期，再求出原函数的周期. 【详解】解:(1),有.由周期函数的定义可知,原函数的周期为. (2)令,由得,且的周期为,即,于是,所以,. 由周期函数的定义可知,原函数的周期为. (3)令,由得,且的周期为,即,于是,所以. 由周期函数的定义可知,原函数的周期为 7．想一想函数与的图象及其关系,并借助信息技术画出函数的图象进行检验. 【答案】见解析 【分析】分析可知当时与的图象相同,当时, 与的图象关于轴对称,再分析即可. 【详解】解:把的图象在轴下方的部分翻折到x轴上方,连同原来在x轴上方的部分就是的图象,如图所示.    8．在同一直角坐标系中,画出函数,,,的图象.通过观察两条曲线,说出它们的异同. 【答案】见解析 【分析】根据五点作图法画出图像,再直观分析即可. 【详解】解:可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象,图象如图.两条曲线的形状相同,位置不同.    9．画出下列函数的简图: (1),; (2),. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】根据五点作图法的方法描点,再用光滑曲线连接起来即可. 【详解】解:(1)按五个关键点列表: x 0 0 1 0 -1 0 1 2 1 0 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):    (2)按五个关键点列表: x 0 1 0 -1 0 1 -1 0 1 0 -1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):    10．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度； （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）. 【答案】（1），（2）游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m（3）甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m 【分析】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，座舱转动的角速度约为，计算得到答案. （2）将数据代入解析式计算得到答案. （3）计算，，相减得到 ，计算最值得到答案. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系， 设时，游客甲位于点，以OP为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为， 由题意可得，. （2）当时，. 所以游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m. （3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则. 经过tmin后甲距离地面的高度为， 点B相对于点A始终落后， 此时乙距离地面的高度为. 则甲、乙距离地面的高度差， 利用， 可得，. 当，即（或22.8）时，h的最大值为. 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m. 11．下列函数中，哪些是奇函数？是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）非奇非偶函数. 【解析】（1）根据奇偶性定义进行判断； （2）根据奇偶性定义进行判断； （3）根据奇偶性定义进行判断； （4）根据奇偶性定义进行判断； 【详解】（1）定义域为R,且，所以是偶函数； （2）定义域为R,且，所以是偶函数； （3）定义域为R,且，所以是奇函数； （4）定义域为, 但，所以既不是奇函数，也不是偶函数. 12．如图，已知直线，A是之间的一定点并且点A到的距离分别为，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C．设. （1）写出面积关于角的函数解析式.； （2）画出上述函数的图象； （3）由（2）中的图象求的最小值. 【答案】（1）；（2）图像见解析；（3） 【分析】1）用，表示出，，得出； （2）根据的单调性作出图象； （3）根据图象得出最小值． 【详解】解：（1），，， ，， ， ，， ． （2）作出函数的图象如图： （3）由（2）中图象可知：当，即时，取最小值，的最小值为. 13．求下列函数的最大值、最小值，并求使函数取得最大、最小值的x的集合 （1）； （2）. 【答案】（1）最大值：， ；最小值：， . （2）最大值为5， ；最小值为1， . 【解析】（1）直接根据时，该函数取得最值； （2）根据，该函数取得最值， 【详解】解：（1）令，此时，，函数有最大值， 令，此时，，函数有最小值， （2）令，此时，，函数有最大值， 令，此时，，函数有最小值， 14．求函数的周期. 【答案】 【解析】根据周期定义或正切函数周期公式求解. 【详解】解法一： ∴所求函数的周期为. 解法二：所求函数的周期. 15．借助函数的图象解不等式，. 【答案】 【分析】画出和的图象，观察图象即可. 【详解】在同一坐标系中画出和的图象，如下：    当时，， 由图象可知不等式的解集为. 16．一台发电机产生的电流是正弦式电流,电压和时间之间的关系如图所示.由图象说出它的周期、频率和电压的最大值,并求出电压(单位:)关于时间(单位:)的函数解析式. 【答案】振幅为,周期为,频率为, 【解析】电压关于时间函数是正弦函数,根据图像可求得振幅和,即可求得答案. 【详解】电压关于时间函数是正弦函数 根据图像可求得振幅, 根据 根据最小正周期计算公式: ,解得 根据,代入, 函数图像过点,可得 综上所述, 振幅为,周期为,频率为, 17．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出分别由函数的图象经过怎样的变化得到. （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）图像见解析，变化过程见解析； （2）图像见解析，变化过程见解析； （3）图像见解析，变化过程见解析； （4）图像见解析，变化过程见解析； 【分析】依题意，根据函数的解析式，根据函数图象变换规律，写出图象变换过程即可得解． 【详解】解：（1）函数在长度为一个周期的闭区间上的图象如下所示：    变换过程： （2）函数在长度为一个周期的闭区间上的图象如下所示：    变换过程： （3）函数在长度为一个周期的闭区间上的图象如下所示：    变换过程： . （4）函数在长度为一个周期的闭区间上的图象如下所示：    变换过程： 2 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $