第03讲 导数与函数的极值、最值（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦导数与函数的极值、最值核心考点，按极值点与极值、函数最值、极值与最值关系的逻辑架构梳理知识，通过命题透视研判考情、思维建模搭建框架、知识精讲拆解核心、题型破译归纳技巧、真题溯源感知考向等环节，帮助学生系统突破含参讨论、单调性衔接等难点。 资料以9类典型题型为载体，如“已知极值点个数求参数”采用定义域分析、导数整理、零点转化的解题步骤，培养学生数学思维与逻辑推理能力。结合真题与课本典例设计分层训练，助力教师精准把控复习节奏，提升学生用导数工具解决复杂问题的应考能力。

第03讲 导数与函数的极值、最值 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 极值点与极值 知识点2 函数的最大(小)值 知识点3 函数极值与最值的关系 题型破译 (含超链接） 题型1 （导）函数图象与极值 【方法技巧】导函数图象与原函数图象的关系 题型2 求函数的极值（点） 【方法技巧】求函数的极值（点）的方法 题型3 已知函数的极值（点）求参数 【方法技巧】已知极值（点）求参数的方法 题型4 已知极值（点）个数求参数 【方法技巧】已知极值（点）个数求参数的通用解题步骤 题型5 求不含参函数的最值 题型6 导数在解决实际问题中的应用 题型7 根据函数的最值求参数 题型8 利用极值、最值解决函数的零点问题 【方法技巧】利用导数画图解决零点问题 题型9 恒成立问题 【方法技巧】恒成立问题的处理方式 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 函数的极值 —— 全国二卷T10（6分） 全国二卷T13（5分） 全国二卷T18（1）（4分） 全国I卷T10（6分） 全国II卷T11（6分） 全国II卷T16（2）（9分） 全国甲卷（理）T21（1）（5分） 函数的最值 —— 全国一卷T19（1）（4分） 北京卷T19（1）（4分） 全国甲卷（理）T21（2）（7分） 全国甲卷（文）T16（5分） 天津卷T20（2）（6分） 考情分析 近三年考情显示，导数与函数的极值、最值考查稳定，是高考数学核心必考内容。无论试题如何变化，均以导数为工具，通过单调性分析极值、最值，借助图像直观呈现本质。常以解答题压轴设问出现，难度中档偏上，侧重含参讨论、单调性衔接、极值点判定与最值求解。最终落脚点仍是单调性与最值，突出转化、分类讨论与数形结合思想。 复习目标 1．结合函数图像，理解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件。 2．能利用导数熟练求函数的极大值、极小值及极值点。 3．会求闭区间上函数的最大值与最小值。 4．能结合单调性、参数讨论，判定极值存在性并求解参数范围。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 极值点与极值 1．极值点与极值 （1）极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点________其他点的函数值都小，且________,而且在点附近的左侧________,右侧________,就把叫做函数的________,叫做函数的________． （2）极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点________其他点的函数值都大，且________,而且在点附近的左侧________,右侧________，就把叫做函数的________,叫做函数的________． （3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值． 注意：函数可以有多个极大值和极小值，例如：函数在上有无数多个极大值和极小值． 2．函数极值的求法 解方程,当时: （1）如果在附近的左侧;右侧,那么是________; （2）如果在附近的左侧,右侧,那么是________ 极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的________,而不是点:极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的________． ②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点． 3．导数与极值的关系 一般来说,""是“函数在点处取得极值”的________条件．若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,那么;后之若,则不一定是函数的极值点．函数在点处取得极值的充要条件是且在左、右两侧的符号________． 自主检测 1．函数的极小值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 知识点2 函数的最大(小)值 1．最值的存在性：一般地,如果在区间上函数的图象是一条________的曲线,那么它必有最大值与最小值． 最值与极值的区别：①函数的极值是函数在________区间上函数值的比较；函数的最值是函数在________区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者． ②函数的极值可以有________个，但最大(小)值只能有________个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得． 最值与极值的联系：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是________,这里区间可以是无穷区间 2．求函数在区间上的最值的步骤： ①在区间上的极值;②将函数的各极值与________处的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 自主检测 2．函数的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．1 知识点3 函数极值与最值的关系 1．研究范围不同：极值是________概念，只看某一点附近的函数值大小；最值是________概念，针对整个定义区间来比较。 2．数量不同：在一个区间内，极大值、极小值可能有________，也可能不存在；而最大值、最小值最多只有________，也可能不存在。 3．位置不同：极值点不能出现在区间________；最值点可以是区间________。 4．取值位置：可导函数的最大值、最小值，一定出现在________或________处。 自主检测 3．已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 题●型●破●译 题型1 （导）函数图象与极值 例1-1（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 例1-2（2025·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 方法技巧 导函数图象与原函数图象的关系 导函数图像由正变负，原函数在该点取得极大值；导函数图像由负变正，原函数在该点取得极小值。只有导函数图像穿过x轴的交点才是极值点，仅相切不穿过的点不是极值点。 【变式1-1】（2023·24高三上·重庆·阶段检测）（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．函数在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 【变式1-2】（2024·25高三下·重庆·开学考试）（多选）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（   ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 【变式1-3·变考法】（2024·25高三上·山东滨州·期末）（多选）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 题型2 求函数的极值（点） 例2-1（2026·湖北十堰·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性，并求其极值； 例2-2（2026·福建泉州·模拟预测）“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 求函数的极值（点）的方法 先确定函数定义域，求导并令，找出所有驻点与不可导点。逐一判断每个点左右两侧导数符号，左正右负为极大值，左负右正为极小值，严格区分极值点与极值。 【变式2-1】（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的所有极值点之和为__________． 【变式2-2·变角度】（2026·河北保定·二模）已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（   ） A．2026 B．2025 C．1014 D．1013 【变式2-3·变考法】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数有3个极值点，则（    ） A． B． C． D． 题型3 已知函数的极值（点）求参数 例3-1（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C． D．3 例3-2（2026·四川宜宾·一模）已知函数. (1)是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 方法技巧 已知极值（点）求参数的方法 （1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． 【变式3-1】（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____． 【变式3-2】（2026·河南·三模）已知函数. (1)若是的极小值点，求的值； 【变式3-3】（2026·河北邢台·一模）已知函数在处取得极小值. (1)求的值; 题型4 已知极值（点）个数求参数 例4-1（2026·湖北·模拟预测）已知定义在上的奇函数存在2个极值点，则（    ） A． B． C． D． 例4-2（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设有且仅有一个极值点，求a的取值范围； 方法技巧 已知极值（点）个数求参数的通用解题步骤 （1）求定义域：优先写出函数定义域，注意分母、对数、根号等限制。 （2）求导并整理：通分、因式分解，转化为整式型导数（方便判断零点）。 （3）转化问题：极值点n个在定义域内有n个不同变号零点。 （4）构造函数+数形结合：分离参数或直接研究导函数图像，利用单调性、零点存在定理求参数范围。 【变式4-1·变题型】（2024·河南·一模）若函数在区间只有个极值点，则曲线在点处切线的方程为__________． 【变式4-2】（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数恰有1个极值点，则实数的取值范围为___________． 【变式4-3】（2024·四川·模拟预测）已知函数． (1)若有3个极值点，求a的取值范围； 题型5 求不含参函数的最值 例5-1（2026·江苏扬州·三模）函数在区间上的最大值为_________． 例5-2（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数. (1)若，求的最大值； 【变式5-1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知圆柱的体积为，则圆柱的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2·变载体】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； 【变式5-3·变考法】（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； 题型6 导数在解决实际问题中的应用 例6-1（2026·江苏镇江·一模）已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为（   ） A． B． C． D． 例6-2（2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 【变式6-1】（2026·云南·模拟预测）把三根结实且等长的树干一端用藤条捆扎起来，另一端立在地面不同的位置得到一个正三棱锥架构，再用树枝、杂草等物覆盖形成侧面，可在野外搭建起一个三棱锥形状的简易帐篷，能起到遮风挡雨的作用，设三根树干的长度都为6，当帐篷的容积最大时（不计损耗），其高度为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式6-2·变情境】（2025·重庆·模拟预测）在我国古代建筑中，梁一直是很重要的组成部分，现代工程科学常用抗弯截面系数来刻画梁的承重能力.若梁的截面形状是圆，且圆形截面的半径为，则抗弯截面系数；若梁的截面形状是正方形，且正方形截面的边长为，则抗弯截面系数；若梁的截面形状是长方形，且长方形截面的长为，宽为，则抗弯截面系数.若上述三种截面形状的梁的截面周长相同，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·上海·三模）某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为______平方千米． 题型7 根据函数的最值求参数 例7-1（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是__________. 例7-2（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在上的最小值为，求. 【变式7-1】（2024·25高三下·广东·开学考试）已知函数的最小值是，则___________. 【变式7-2·变载体】（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为0，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式7-3】（2026·山东淄博·三模）已知函数. (1)当，时，求的极值； (2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 题型8 利用极值、最值解决函数的零点问题 例8-1（2026·山东·模拟预测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 例8-2（2026·广东广州·二模）若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 方法技巧 利用导数画图解决零点问题 （1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便． （2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值． 【变式8-1·变载体】（2026·河南许昌·三模）已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2·变考法】（2026·湖南·三模）当函数的零点个数最多时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·甘肃金昌·三模）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，有2个零点 B．当时，有3个零点 C．当时，只有1个零点 D．当时，有2个零点 【变式8-4】（2026·河南·二模）已知函数． (1)当时，判断在区间有无零点，并说明理由； 题型9 恒成立问题 例9-1（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 例9-2（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数． (1)若在处取得极值，求a的值； (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围． 方法技巧 恒成立问题的处理方式 将或恒成立转化为函数在区间上的最值问题。求导确定最值，建立最值不等式求解参数范围，注意分类讨论与端点取值。 【变式9-1·变载体】（2026·陕西榆林·模拟预测）若恒成立，则实数a的取值范围为______． 【变式9-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，，为的导函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围. 【变式9-3】（2026·安徽芜湖·二模）已知. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若有极值点，求的取值范围； (3)若恒成立，求的取值范围. 【变式9-4】（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 3．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 4．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 5．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______． 6．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 8．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求下列函数的极值： （1）        （2）； （3）        （4） 2．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： （1）， （2）， （3）， （4）， 3．将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 4．已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？ 5．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： （1），； （2），． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 导数与函数的极值、最值 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 极值点与极值 知识点2 函数的最大(小)值 知识点3 函数极值与最值的关系 题型破译 (含超链接） 题型1 （导）函数图象与极值 【方法技巧】导函数图象与原函数图象的关系 题型2 求函数的极值（点） 【方法技巧】求函数的极值（点）的方法 题型3 已知函数的极值（点）求参数 【方法技巧】已知极值（点）求参数的方法 题型4 已知极值（点）个数求参数 【方法技巧】已知极值（点）个数求参数的通用解题步骤 题型5 求不含参函数的最值 题型6 导数在解决实际问题中的应用 题型7 根据函数的最值求参数 题型8 利用极值、最值解决函数的零点问题 【方法技巧】利用导数画图解决零点问题 题型9 恒成立问题 【方法技巧】恒成立问题的处理方式 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 函数的极值 —— 全国二卷T10（6分） 全国二卷T13（5分） 全国二卷T18（1）（4分） 全国I卷T10（6分） 全国II卷T11（6分） 全国II卷T16（2）（9分） 全国甲卷（理）T21（1）（5分） 函数的最值 —— 全国一卷T19（1）（4分） 北京卷T19（1）（4分） 全国甲卷（理）T21（2）（7分） 全国甲卷（文）T16（5分） 天津卷T20（2）（6分） 考情分析 近三年考情显示，导数与函数的极值、最值考查稳定，是高考数学核心必考内容。无论试题如何变化，均以导数为工具，通过单调性分析极值、最值，借助图像直观呈现本质。常以解答题压轴设问出现，难度中档偏上，侧重含参讨论、单调性衔接、极值点判定与最值求解。最终落脚点仍是单调性与最值，突出转化、分类讨论与数形结合思想。 复习目标 1．结合函数图像，理解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件。 2．能利用导数熟练求函数的极大值、极小值及极值点。 3．会求闭区间上函数的最大值与最小值。 4．能结合单调性、参数讨论，判定极值存在性并求解参数范围。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 极值点与极值 1．极值点与极值 （1）极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，且,而且在点附近的左侧,右侧,就把叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值． （2）极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，且,而且在点附近的左侧,右侧，就把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值． （3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值． 注意：函数可以有多个极大值和极小值，例如：函数在上有无数多个极大值和极小值． 2．函数极值的求法 解方程,当时: （1）如果在附近的左侧;右侧,那么是极大值; （2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值 极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标,而不是点:极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的纵坐标． ②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点． 3．导数与极值的关系 一般来说,""是“函数在点处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,那么;后之若,则不一定是函数的极值点．函数在点处取得极值的充要条件是且在左、右两侧的符号不同． 自主检测 1．函数的极小值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】可知， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值，所以极小值为. 知识点2 函数的最大(小)值 1．最值的存在性：一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值． 最值与极值的区别：①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者． ②函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得． 最值与极值的联系：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是最值点,这里区间可以是无穷区间 2．求函数在区间上的最值的步骤： ①在区间上的极值;②将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 自主检测 2．函数的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．1 【答案】D 【详解】因为，由，得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在取到极小值，也是最小值，即. 知识点3 函数极值与最值的关系 1．研究范围不同：极值是局部概念，只看某一点附近的函数值大小；最值是整体概念，针对整个定义区间来比较。 2．数量不同：在一个区间内，极大值、极小值可能有多个，也可能不存在；而最大值、最小值最多只有一个，也可能不存在。 3．位置不同：极值点不能出现在区间端点；最值点可以是区间端点。 4．取值位置：可导函数的最大值、最小值，一定出现在极值点或区间端点处。 自主检测 3．已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 【答案】D 【详解】函数定义域为，是开区间， 则当趋近于或时，若趋于正无穷大， 此时函数没有最大值，故AB错误，D正确； 因为函数有唯一的极大值， 所以在附近，函数值小于， 所以函数的最小值不可能是，故C错误. 故选：D. 题●型●破●译 题型1 （导）函数图象与极值 例1-1（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】由图知当时，，此时单调递增， 当时，， 当时，，此时单调递减， 则的极大值点为. 故选：C. 例1-2（2025·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【答案】B 【分析】详解】观察图象知，当时，或且， 当时，或， 而当时，，当时，，因此当或时，， 当时，，当且仅当时取等号， 则在和上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，极大值，A，C，D不正确；B正确. 故选：B 方法技巧 导函数图象与原函数图象的关系 导函数图像由正变负，原函数在该点取得极大值；导函数图像由负变正，原函数在该点取得极小值。只有导函数图像穿过x轴的交点才是极值点，仅相切不穿过的点不是极值点。 【变式1-1】（2023·24高三上·重庆·阶段检测）（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．函数在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 【答案】AD 【分析】详解】由图可知当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数， 在上为增函数，故A正确，B错误， 则在处取得极大值，处取得极小值， 即函数有极大值和极小值，故C错误，D正确. 故选：AD 【变式1-2】（2024·25高三下·重庆·开学考试）（多选）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（   ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 【答案】ACD 【分析】详解】当时，， 函数单调递增， 同理可得：当时，，函数单调递减， 所以为函数的极大值， 当时，，函数单调递减， 当时，函数单调递减， 所以函数在上单调递减， 从而在处取最大值，且没有极小值点，故A,C正确，B错误； 又和时，， ，而在时等于0，所以不一定等于0， 当时，是导函数的极大值点， 当时，不是导函数的极大值点，所以D正确. 故选：ACD. 【变式1-3·变考法】（2024·25高三上·山东滨州·期末）（多选）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 【答案】ABD 【分析】详解】由有， 由图可知的分布如图所示： 当时，，，，所以， 所以在单调递增，故A错误； 当时，，所以，即，在单调递减，故B错误； 当时，，所以，由图可知当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以时的极小值点，故当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，，所以，所以， 所以在单调递增，所以当时，函数有极大值，故D错误. 故选：ABD. 题型2 求函数的极值（点） 例2-1（2026·湖北十堰·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性，并求其极值； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值： (3)设，为两个不相等的正数，且，证明：． 【答案】(1)时，的极小值为，时，的极大值为； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1），令，解得， 所以时，，即在上单调递减， 时，，即在上单调递增， 时，，即在上单调递减， 所以时，的极小值为，时，的极大值为. （2）对任意，恒成立等价于恒成立， 令，，所以， ，令，解得（负根舍去）， 所以时，，即在上单调递增， 时，，即在上单调递减， 所以在时取得最大值，， 所以实数的最小值为. （3）由，，为两个不相等的正数， 两边同时取自然对数得，即，令，， 所以，因为， 所以时，，即在上单调递增， 时，，即在上单调递减，所以的极大值为， 时， 时，故 一个在 内，另一个在 内，不妨设， 等价于，因为，所以，而在上单调递减，所以证明即可，也即， 令，即，， ， 即在上单调递减，所以，， 所以，即，所以，即，得证. 例2-2（2026·福建泉州·模拟预测）“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】由题意，令，解得或， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极小值为， 因为区间内存在最小值，所以极小值点0在区间内， 则，解得， 令，解得，或， 所以，解得， 综上，函数在区间内存在最小值时， 要满足“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件， 即所求为的真子集， 分析选项可得，只有符合题意. 方法技巧 求函数的极值（点）的方法 先确定函数定义域，求导并令，找出所有驻点与不可导点。逐一判断每个点左右两侧导数符号，左正右负为极大值，左负右正为极小值，严格区分极值点与极值。 【变式2-1】（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的所有极值点之和为__________． 【答案】 【详解】令，解得， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以为的极小值点，无极大值点， 所以函数的所有极值点之和为. 【变式2-2·变角度】（2026·河北保定·二模）已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（   ） A．2026 B．2025 C．1014 D．1013 【答案】D 【分析】详解】， 令，解得或， 所以函数的单调递增区间为和， 令，解得，所以函数的单调递减区间为， 因此是函数的两个极值点，因此， 【变式2-3·变考法】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数有3个极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】由题意知有三个变号零点， 且三个零点为，不妨设， ， 因为， 所以函数关于对称， 又，所以， 所以. 故选：D. 题型3 已知函数的极值（点）求参数 例3-1（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】详解】解：，又在处取得极值， ，解得或， 经检验符合题意， 时，单调递增无极值，故舍去， 则． 例3-2（2026·四川宜宾·一模）已知函数. (1)是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)若图象上总存在关于点对称的两点，求a的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见解析； (2). 【详解】（1）不存在，理由如下： 由知的定义域为，且， 假设存在实数，使得为函数的极小值点， 则，即，解得， 此时， 所以是减函数，与为函数的极小值点矛盾， 所以假设不成立，即不存在实数，使得为函数的极小值点； （2）若图象上总存在关于点对称的两点， 则在上有解， 即在上有解， 整理得， 令，得， 问题可转化为在上有解， 令，则； ①当时，，是减函数， 又，所以， 所以在上无零点，不符合题意； ②当时，，是增函数， 又，所以， 所以在上无零点，不符合题意； ③当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增， 所以的最小值为， 又时，， 根据函数零点存在定理可知在上必存在零点，符合题意； 综上，的取值范围是. 方法技巧 已知极值（点）求参数的方法 （1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． 【变式3-1】（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____． 【答案】2 【分析】详解】因为，则， 由题意可得，解得， 则函数，， 令，解得或；令，解得， 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取到极大值，即，符合题意， 所以. 【变式3-2】（2026·河南·三模）已知函数. (1)若是的极小值点，求的值； (2)若有两个零点. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由，求导得， 因恒成立，故的符号由决定， 由是的极小值点，得，即，解得， 当时，，时，单调递减； 时，单调递增，故为极小值点，符合题意， 因此，； （2）(i)由得，变形为， 令，则的零点等价于与的图象交点， 求导得，令，得， 时，，单调递减；时，，单调递增， ，且时，时， 因此，的取值范围为； (ii) 由是的零点，得， 由单调性可知，令，， 则，，且，，代入得， 设，则，在上单调递减，在上单调递增， 构造函数，， ， 由，则，故，在上单调递减， 则，即在恒成立， 因，故， 结合，得， 又，，在上单调递增， 因此，即， 故. 【变式3-3】（2026·河北邢台·一模）已知函数在处取得极小值. (1)求的值; (2)证明：时，. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）由题知，则，又因为，所以. 检验：若， 则， 当 时，单调递减，当时，单调递增， 为的极小值点，符合题意. 所以：. （2）由（1）知， 证，即证， 即证，即证. 设，则， 令，得或， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又，所以. 所以当时，. 题型4 已知极值（点）个数求参数 例4-1（2026·湖北·模拟预测）已知定义在上的奇函数存在2个极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】定义域为的奇函数满足对任意恒成立， 所以， 则，，即 . 对于A选项：由得，不确定，故不一定为1，A错误； 对于B选项： 化简得（），求导得， 若有2个极值点，则有两个不相等实根，二次方程判别式，即，B正确； 对于C选项：已得，若，则，，为一次函数，不存在2个极值点，C错误； 对于D选项：由前分析知，D错误； 例4-2（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设有且仅有一个极值点，求a的取值范围； (3)若函数存在2个极值点，且满足，求证：． 【答案】(1)2x＋y－2＝0 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， ，且， 故在处的切线方程为，即2x＋y－2＝0， （2）， ， 由＝0可得，令，x>0， 则 令，在上单调递减，且， 则当时，，则，即在上单调递增， 时，，，即在上单调递减， 且又时，，时，， 由题得，有且只有一个变号根，故 （3）由 ，可得， 令，则，由得，由，得. 故在上单调递增，在上单调递减，且，当时，， 因，对于，有，，故，， 则由，又，故， 令，则， 因，则，故在上单调递增， 又， 则在上存在唯一解，∴ 又，， 则有，故可得． 方法技巧 已知极值（点）个数求参数的通用解题步骤 （1）求定义域：优先写出函数定义域，注意分母、对数、根号等限制。 （2）求导并整理：通分、因式分解，转化为整式型导数（方便判断零点）。 （3）转化问题：极值点n个在定义域内有n个不同变号零点。 （4）构造函数+数形结合：分离参数或直接研究导函数图像，利用单调性、零点存在定理求参数范围。 【变式4-1·变题型】（2024·河南·一模）若函数在区间只有个极值点，则曲线在点处切线的方程为__________． 【答案】 【分析】详解】解：因为，所以，设， 因为函数在区间只有个极值点， 所以函数在区间只有个变号零点，所以，即， 解得，又，所以，所以， 所以，，则所求切线方程为. 故答案为： 【变式4-2】（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数恰有1个极值点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】详解】函数的定义域为. . 由函数恰有1个极值点，得恰有一个变号实数根. 即方程恰有一个变号实数根. 令，则直线与函数的图象恰有一个交点. . 当时，，，，函数单调递增； 当时，，，，函数单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值为. 又当时，，所以；， 所以函数的图象如下： 所以或. 当时，. 令，则，在上单调递减. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值为，即恒成立. 所以是减函数，无极值点. 所以实数的取值范围为. 【变式4-3】（2024·四川·模拟预测）已知函数． (1)若有3个极值点，求a的取值范围； (2)若，，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由有3个极值点， 可得到具有3个变号零点， 当时不是的零点， 则可得在有3个交点， 构造函数，， 则，令，解得， 所以当，，单调递增， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以， 而当时，，当时，，当时，, 所以, 则的取值范围为. （2）构造函数 则，且， 构造函数，则， 再令，则， 因为时，则，在单调递增， 而，所以在单调递增， 所以，所以在单调递增， 故，即. 【点睛】方法点睛：对于函数的极值的个数一般转化为导函数的零点个数进行求解，进行求解函数的值域求解参数的范围，而对于不等式的证明，一般构造函数，利用函数的单调性证明. 题型5 求不含参函数的最值 例5-1（2026·江苏扬州·三模）函数在区间上的最大值为_________． 【答案】2 【详解】∵ ，， ∴ 对求导得. 令，解得，，均属于区间. 分别计算在区间端点和极值点处的函数值： 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 比较上述函数值大小：， ∴ 函数在区间上的最大值为. 例5-2（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数. (1)若，求的最大值； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， ， 在单调递减，注意到， ∴当时，，单调递增； 当时，， 单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， ； （2），在单调递减， 注意到且时，时，， ∴存在唯一，使且在上单调递增，在上单调递减， 注意到且及时，， ∴ 要使有两个零点，只需， ∵，则， 代入上式得，化简得， 设，则在上单调递增，注意到， ∴当时，， 设，则在单调增，故，， ∴若有两个零点，则实数的取值范围是 【变式5-1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知圆柱的体积为，则圆柱的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，则，可得， 所以圆柱的表面积， 所以； 令，得； 当时，，当时，， 所以当时，S取得最小值，为． 【变式5-2·变载体】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)当时，证明：在上单调递增； (3)证明：，，使得． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， 求导得． 因为，所以令，得；令，得． 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为． （2）证明：函数， 求导得． 由，得， 所以 ． 当且时，，， 所以，，， 因此，所以当时，在上单调递增． （3）证明：令，，则，， ，令，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，，， 同理可证，当时，． 当时，由（2）知在上单调递增，取． 当时，，，满足题意． 当时，当时，，则； 当时，，此时． 若n为奇数，令，由，得， ； 若n为偶数，令 ， 则 ． 综上，，，使得． 【变式5-3·变考法】（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则. 令，则. 令，则， 所以在上单调递增，且. 所以时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，所以的值域为. （2）当时，，则恒成立，所以. 当时，由，得. 令，则. 令，则. 令，则. 令，则. 当时，，当且仅当时，等号成立，故在上单调递减， 又，所以，故在上单调递减. 因为， 所以存在，使得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 由于，于是当时，，此时， 所以在上单调递增，在上的最大值为， 所以， 综上，实数的取值范围是. 题型6 导数在解决实际问题中的应用 例6-1（2026·江苏镇江·一模）已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】如图，圆锥顶点为，底面圆心为，底面圆周与顶点均在球心为的球面上. 先设参数确定圆锥侧面积，记，，，由，圆锥侧面积为， 由直角三角形和直角三角形可得，， 于是， 令，. 求导，令，解得（舍去），，所以在上单调递增；在上单调递减. 所以时，取得最大值，即圆锥的侧面积最大， 此时，所以圆锥体积. 例6-2（2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 【答案】 【分析】详解】由题意，设，由于扇形的半径为1，， 则，， 所以公园产生的净收益为， 则， 令，得，而， 则（近似值），即此时函数单调递增； 令，得，而， 则（近似值），即，此时函数单调递减， 则扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，. 【变式6-1】（2026·云南·模拟预测）把三根结实且等长的树干一端用藤条捆扎起来，另一端立在地面不同的位置得到一个正三棱锥架构，再用树枝、杂草等物覆盖形成侧面，可在野外搭建起一个三棱锥形状的简易帐篷，能起到遮风挡雨的作用，设三根树干的长度都为6，当帐篷的容积最大时（不计损耗），其高度为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】详解】设帐篷高度为， 则底面正三角形的外接圆半径， 易知底面边长， 底面面积为， 帐篷容积， 则， 令得， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以在时取得最大值. 故选：C. 【变式6-2·变情境】（2025·重庆·模拟预测）在我国古代建筑中，梁一直是很重要的组成部分，现代工程科学常用抗弯截面系数来刻画梁的承重能力.若梁的截面形状是圆，且圆形截面的半径为，则抗弯截面系数；若梁的截面形状是正方形，且正方形截面的边长为，则抗弯截面系数；若梁的截面形状是长方形，且长方形截面的长为，宽为，则抗弯截面系数.若上述三种截面形状的梁的截面周长相同，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】记这三种截面的周长为C，则，从而， ，. 由，得. 令，，则， 显然在上恒成立，故在上单调递增， 因为，，所以. 因为，所以.     故选:D 【变式6-3】（2025·上海·三模）某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为______平方千米． 【答案】 【分析】详解】如图建立平面直角坐标系， 则， 由题意设抛物线方程为，代入点，得，解得， 所以抛物线方程为， 由题意知直线MN为抛物线的切线， 因为点P到边AD的距离为，所以切点P的坐标为， 由，得，所以直线MN的斜率为， 所以直线MN的方程为，即， 令，得，所以， 令，得，所以， 所以， 则， 因为，所以当对，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得最大值平方千米． 故答案为:. 题型7 根据函数的最值求参数 例7-1（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是__________. 【答案】1 【分析】详解】由，求导可得， 当时，令，可得， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，解得； 当时，，显然函数在上单调递减，故不合题意； 当时，，函数在上单调递减，故不合题意. 故答案为： 例7-2（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在上的最小值为，求. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【详解】（1）函数的定义域为，     当时，在恒成立，在上单调递增；     当时，由得，由，得， 所以在上单调递减；在上单调递增     综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则，由题意得， 解得，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递增，则，由题意得， 解得，与矛盾，舍去；     当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 由题意得，解得，符合，所以.     当时，在上单调递减，则，由题意得， 解得，与矛盾，舍去.     综上可得，实数的值为. 【变式7-1】（2024·25高三下·广东·开学考试）已知函数的最小值是，则___________. 【答案】 【分析】详解】由题意可得. 设，则，所以是偶函数. 当时，. 设，则恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增. 因为是偶函数，所以在上单调递减， 所以， 由. 故答案为： 【变式7-2·变载体】（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为0，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】详解】依题意可得函数的定义域为， 由函数的最大值为0， 即在上恒成立， 即的图象在的下方， 结合图象可得，当函数的图象过原点，且与相切时，取得最小值， 根据对称性，不妨只考虑的情况， 即当与相切时，取得最小值， 即在上恒成立， 令，即时，取得最小值， 则，令，则， 又时，，即在上单调递增； 时，，即在上单调递减， 所以，解得． 故选：A 【变式7-3】（2026·山东淄博·三模）已知函数. (1)当，时，求的极值； (2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【详解】（1）当时，则， 其定义域为，且， 令，解得或；令，解得， 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为. （2）若，则的定义域为，且， 当时，则，可知函数在上单调递增， 所以函数无最大值，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数的最大值为， 因为的最大值小于，即，可得， 设，，可知在上单调递增， 且，由不等式可得， 所以的取值范围为. 题型8 利用极值、最值解决函数的零点问题 例8-1（2026·山东·模拟预测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】定义域为，则有且只有一个零点， 等价于方程在有且只有一个根， 即函数，图象与直线有且只有一个交点. ，，， 则在上单调递减，在上单调递增. 则在时取得极大值， 又时，，，； 时，，，远远大于，. 据此可得大致图象如下： 则由图可得为使函数，图象与直线有且只有一个交点， 例8-2（2026·广东广州·二模）若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在R上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得或， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 而当时，，当时，， 由函数有且仅有两个零点，得，即，或，即， 则，令，则，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以的最小值为. 方法技巧 利用导数画图解决零点问题 （1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便． （2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值． 【变式8-1·变载体】（2026·河南许昌·三模）已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】当时，，求导得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故是的极小值点，即为最小值点，， 且； 当时，， ， ， ， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 故函数的图象如下： 已知函数有3个零点，由图象可知， 当时，有3个交点； 当时，有3个交点； 综上，实数a的取值范围是． 【变式8-2·变考法】（2026·湖南·三模）当函数的零点个数最多时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】令，则， 则的零点个数为根的个数， 即为与的交点个数， 若的零点个数最多，则与的交点最多， 令， 令，则或， 令，则， 令，则， 得到在上单调递减，在上单调递增， 可得的极小值为， 当时，，当时，， 所以，故A正确. 【变式8-3】（2026·甘肃金昌·三模）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，有2个零点 B．当时，有3个零点 C．当时，只有1个零点 D．当时，有2个零点 【答案】BC 【详解】对于A，时，有1个零点，时，， 当时，时，时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为时，，所以时，没有零点，A错误； 对于B，当时，在时，有2个零点，B正确； 对于C，由得，时，时，， 令，则 对，且时，，所以在上单调递增， 在上单调递增，且时，， 所以只有1个零点，C正确； 对于D，当时，在上单调递增，时，无解； 时，的极小值为有1个零点，D错误. 【变式8-4】（2026·河南·二模）已知函数． (1)当时，判断在区间有无零点，并说明理由； (2)若在区间单调递增，求正整数的最小值； (3)当取（2）中的最小值时，已知存在，且，使，证明：． 【答案】(1)存在零点，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）解法一：当时，由，， 则，时，， 又，所以， 则在区间上单调递减， 又， 又当时，，且函数在连续， 所以在区间一定存在零点． 解法二：当时，由， 由解法一知在区间上单调递减， 又， 取得， 因为，故， 又函数在连续，所以在区间一定存在零点． （2）因为， 又在区间单调递增，故在区间恒成立， 即恒成立，即是大于等于在上的最大值的最小正整数， 设，，则． 当时，，，所以， 则在区间单调递减， 令， 则， 当时，，， 因此在区间单调递减，即在区间单调递减， 又，，， ， 故存在使， 所以时，，函数在区间单调递增， 时，，函数在区间单调递减， 所以，的最大值为， 又因为，所以， 因为的导函数在区间恒成立， 所以在区间单调递增， 又，所以， 故大于的最小正整数为，所以正整数的最小值为． （3）由（2）知此时，，， 由题意知， 即， 即， 因为，不妨设，得，， 所以，整理得， 因此， ，则， 又，，则． ， 得． 题型9 恒成立问题 例9-1（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】详解】设 ，，原不等式恒成立，等价于 ， 则， 若 ，则 ， 在 上单调递减， 当 时，，不满足 ，舍去； 若 ，令 ，得 ， 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增， 因此， 在 处取得最小值： ， 所以 ，即 ，则， 当时，，; 当 时，两边同乘 ，可得，此时 ，无最小值； 当 时，两边同乘 ，可得， 设 ，，则， 当 时，，， 综上可得， 的最小值为. 例9-2（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数． (1)若在处取得极值，求a的值； (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得． 因为在处取得极值，所以，解得． 经验证，当时，在处取得极小值，符合题意，故． （2）由（1）知． ①若，则当时，，即恒成立， 所以在上单调递增，， 由，得，故． ②若，令，得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 所以， 由，可得，解得，故． 综上，实数的取值范围是． 方法技巧 恒成立问题的处理方式 将或恒成立转化为函数在区间上的最值问题。求导确定最值，建立最值不等式求解参数范围，注意分类讨论与端点取值。 【变式9-1·变载体】（2026·陕西榆林·模拟预测）若恒成立，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】详解】易知， 令，则， 所以．当时，， 当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 由，得函数的最小值为， 因为，所以． 所以实数a的取值范围为. 【变式9-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，，为的导函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】(1)的极小值为，无极大值； (2). 【详解】（1）当时，，定义域为，求导得：， 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此仅有极小值，无极大值，极小值为： . （2）由，代入和的表达式得： 整理得：， 由于，即，不等式变形为： 要使不等式恒成立，只需，其中， 令，则，因为 ， 所以的单调性与相反，的最大值对应的最小值， ，令，得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此在处取得最小值： 进而可得的最大值： 因此，即实数的取值范围是. 【变式9-3】（2026·安徽芜湖·二模）已知. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若有极值点，求的取值范围； (3)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 故当时，在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，， 由，可得， 令，其中，则， 故函数在上为增函数，则， 故当时，直线与函数的图象有交点，设其交点横坐标为，如下图所示： 由图可知，当时，， 当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值，所以，实数的取值范围是. （3）当时，时，，不符合题意； 当时，，满足题意； 当时，由，可得， 构造函数，其中，则， 令，其中，则， 所以函数在上为减函数，且， 当时，，即， 当时，，即， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 【变式9-4】（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2)1 (3) 【详解】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，， ，因为当时，和单调递增，所以函数单调递增， 又，所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数的最小值为. （3）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立，即对任意恒成立， 设，，， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，，，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 上单调递增， 在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 3．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 5．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______． 【答案】 【分析】 【详解】方法1：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 求导得，由，得， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小. 方法2：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 由，得，即，其中锐角由确定， 显然，而，则，当且仅当，即时取等号， 此时，即， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小. 故答案为： 6．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2)2 (3)证明过程见解析 【分析】 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合的单调性进行分类讨论. 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 8．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求下列函数的极值： （1）        （2）； （3）        （4） 【答案】（1）极小值，无极大值；（2）极大值，极小值；（3）极大值，极小值；（4）极小值，极大值. 【详解】（1），则， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； ∴有极小值，无极大值. （2），则有， ∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增； ∴极大值，极小值. （3），则有， ∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增； ∴极大值，极小值. （4），则有， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 时，，单调递减； ∴极小值，极大值. 2．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： （1）， （2）， （3）， （4）， 【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为；（4）最大值为，最小值为. 【详解】（1），则， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； ∴在上的极小值为，而，， ∴在上最大值为，最小值为. （2），则时有， ∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增； ∴在上的极大值为，极小值为，而， ， 综上，在上最大值为，最小值为. （3），则时有， ∴时，，单调递减； ∴在上最大值为，最小值为. （4），则时有， ∴时，，单调递增；时，，单调递减； ∴在上的极大值为，而， ， ∴在上最大值为，最小值为. 3．将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 【答案】两段铁丝的长度均为. 【详解】设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为， ∴两个正方形的面积和，则， ∴时， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增； ∴当时，的极小值也是最小值为，此时另一个正方形的边长也为. 综上，当两段铁丝的长度都为时，它们的面积和最小. 4．已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？ 【答案】 【详解】设销售价为x，可获得的利润为y， 则， 求导得，令， 解得，由知，， 当时，，函数单增； 当时，，函数单减； 因此是函数的极大值点，也是最大值点； 故当销售价为元/件时，可获得最大利润. 5．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： （1），； （2），． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由题意，等价于，令， ∴，而， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 故在上恒成立，即， ∴，得证.    （2）由题设，等价于，等价于， 令，则，而， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 故在上恒成立，即， ∴在上恒成立， 令，则，而， ∴时，，单调递增， 故在上恒成立，即， ∴在上恒成立， 综上，，上恒成立.    4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $