精品解析：山东青岛市海尔学校2025-2026学年度第二学期六月阶段性检测试卷高一数学

海尔学校2025—2026学年度第二学期六月阶段性检测试卷 高一数学 考试范围：必修2第六-第九章 注意事项：1．本试卷共3页；考试时间120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，填写在答题卡和试卷指定位置上. 3.答题时，将答案涂写在答题卡对应题号的规定区域内，写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】复数，根据题意求得，再计算即可得答案. 【详解】设复数，则，因为，所以， 因为，所以，即， 所以. 2. 某中学高中部有高一、高二、高三三个年级，其中高一与高二年级学生共有2800人，从所有高中学生中按照年级人数比例用分层随机抽样法抽取45人，其中高三年级抽取10人，则该中学高三年级学生人数为（ ） A. 1600 B. 1400 C. 1200 D. 800 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的定义列式计算得解. 【详解】从所有高中学生中抽取45人，其中高三年级抽取10人，则高一、高二年级共抽取35人， 设高三年级学生人数为x，则，解得. 故选：D. 3. 已知向量，不共线，且则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的定义计算即可. 【详解】因为向量，不共线，且， 那么存在实数，使得， 则有，解得. 4. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，， 分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数. 【详解】由直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，得众数是最高矩形下底边的中点横坐标， 因此众数 为左起第二个矩形下底边的中点值； 直线左右两边矩形面积相等， 而直线右边矩形面积大于左边矩形面积，则 ； 又数据分布图为右拖尾，因此平均数大于中位数，即， 所以. 5. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱柱的体对角线长等于其外接球直径求出球的半径，即可求得结果. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24， 所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上， 所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即， 所以球的半径为，球的表面积. 故选:B. 6. 数据的平均数为，方差，现在增加两个数据 和，则这组新数据的标准差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式求出新数据的平均数，再根据方差的计算公式求出新数据的方差，最后根据标准差与方差的关系求出新数据的标准差. 【详解】数据的平均数为，方差 即， 则数据， ，的平均数为 方差 标准差为． 故选B． 7. 如图所示，三棱柱中，若、分别为， 靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（ ） A. 48 B. 52 C. 56 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合棱台体积公式求解体积即可得到体积比，即可得结果. 【详解】设平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，三棱柱的高为，底面的面积为 ，体积为， 则， 因为、分别为， 靠近点的三等分点，则， 可得， 所以右半部分的体积. 8. 如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为3，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（ ）. A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将正三棱柱侧面展开，转化为两点之间的距离求解. 【详解】将正三棱柱沿展开两次，得下图： 最短路线即为大矩形的对角线的长，为. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（ ） A. a的值为0.030 B. 抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间 C. 2000名考生中约有10名成绩优秀 D. 估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率之和为 、极差、优秀率、频率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， 解得，A选项正确. 根据频率分布直方图，， 所以极差介于40分至60分之间，B选项正确. 90分以上频率为，对应有人，C选项错误. 成绩介于70分至90分之间的频率为， 所以估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间，D选项正确. 故选：ABD 10. 将边长为4的正方形沿对角线 折起，使点不在平面内，则下列命题是真命题的是（ ） A. 不论二面角为何值，总有 B. 当二面角为时， C. 当二面角为时，是等边三角形 D. 不论二面角为何值，四面体外接球的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】在正方形中，连接交 于点，即可得到，且，从而证明平面，即可判断A，又即为二面角的平面角，利用余弦定理判断B，利用勾股定理判断C，四面体外接球球心是，外接球半径，即可求出外接球的体积，从而判断D. 【详解】 在正方形中，连接交 于点，则，且， 在四面体中，且，又，平面， ∴平面，平面，∴，故A正确； 因为且，所以即为二面角的平面角， 当二面角为时，即， 在中由余弦定理 ，故B正确； 当二面角为时，即， 所以， 又，所以是等边三角形，故C正确； 因为，所以四面体外接球球心是， 所以外接球半径， ∴四面体的外接球体积，故D错误． 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题关键是由正方形的性质得到，且，从而确定二面角的平面角. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点 在线段（不包含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 正方体的外接球表面积为 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 直线 平面 D. 三棱锥 的体积随着点 的运动而变化 【答案】BC 【解析】 【分析】由正方体的对角线即为外接球的直径求得球表面积判断A，由异面直线所成角的定义确定与的夹角范围判断B，根据线面平面平行的判定定理判断C，转换顶点后由三棱锥体积公式判断D． 【详解】正方体对角线长为，即为外接球直径，因此球半径为，球表面积为，A错； 正方体中与平行且相等，是平行四边形，， 是正三角形，与的夹角（锐角或直角）的范围是，因此B正确； 由上述知，而平面，平面，所以平面， 同理平面，又，平面， 所以平面平面，而平面，所以平面，C正确； 由平面，因此 到平面的距离不变，面积确定， 所以不变，D错． 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 设i是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第______象限． 【答案】四 【解析】 【详解】由， 其共轭复数为，在复平面内对应的点为，位于第四象限． 13. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则__________. 【答案】 20 【解析】 【详解】由，得的70%分位数为，所以. 14. 如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为 ，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点的中点的中点 ，连接，由面面平行的性质定理，即得截面多边形，分析可得多边形为正六边形，求出边长后计算面积即可. 【详解】 取的中点的中点的中点 ，连接， 则正六边形为对应的截面，又正六边形的边长为， 所以截面的面积为：. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩 （单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数，众数，中位数； （3）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取28名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 【答案】（1） （2）平均数为，众数为，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的特征计算参数即可； （2）根据平均数，众数，中位数的求解方式求解即可； （3）先计算，，的比例，再根据分层抽样计算人数即可． 【小问1详解】 由题可知， 解得； 【小问2详解】 平均数， 众数为， 根据题意，中位数在，设中位数为 ， 解得：， 则中位数为； 【小问3详解】 竞赛成绩在，，内的比人数例为， 故内被抽取的人数为（人）． 16. 如图，平面四边形是边长为 的正方形.平面，，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）因为平面，且，所以平面. 又平面，因此. 因为是正方形，所以. 又，且平面， 根据线面垂直的判定定理，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得 平面，再结合底面是正方形及线面垂直的判定定理可得； （2）先延长并交于点 ，进而可得平面平面，再过过作，连接，则就是平面与平面的夹角的平面角.在底面中，由余弦及正弦定理得，进而在直角中，得，最后在直角中用勾股定理及直角三角形的边角关系计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 ，且，所以四边形为直角梯形， 因此直线 与直线必交于一点 . 连接，过作，垂足为 ，连接，如图： 因为，所以平面，所以平面. 同理，平面，所以平面， 因此 是平面与平面的公共点， 又因为 点也平面与平面的公共点，所以平面平面. 因为平面，平面，所以， 又，且，平面， 由线面垂直的判定定理得，且，平面，平面， 因此就是平面与平面的夹角的平面角. 因为在中， ，且，所以是的中位线， 所以，在中，，如图： 由余弦定理， 解得， 又由正弦定理，得. 在直角中，，， 所以. 以在直角中，， 由勾股定理得， 所以. 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知向量，满足 ， ，且，的夹角为. （1）求； （2）若，求实数 的值； （3）若向量与向量的夹角为锐角求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先计算，再利用模的公式计算即可； （2）根据垂直的数量积表示，列方程求参数即可； （3）由向量夹角为锐角，则，注意排除夹角为0的情况． 【小问1详解】 ， 则； 【小问2详解】 ， ， 解得； 【小问3详解】 向量与向量的夹角为锐角， ， 解得或， 又无解，即向量与向量不共线， 故实数的取值范围为或． 18. 在中，角， ，的对边分别为 ， ， 且. （1）求； （2）若的面积为且为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】通过正弦定理边角互换将边长化成角度正弦值，再利用三角形内角和将角B换成A与C的关系化简即可； 通过面积公式可以将边计算出来，再利用正弦定理将周长用角度表示出来，通过角度的关系可以找出周长的范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以，因为，所以， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 由正弦定理有， ， ， 所以，因为，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，所以，所以， 因为在上为单调递减，所以， 所以，则， 所以周长的取值范围为. 19. 如图，在正方体中，，， 分别为棱，，的中点. （1）求证：四点共面. （2）设平面平面，求证：. （3）棱，上是否分别存在点 ，，使平面平面？若存在，求与的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为分别是​的中点，所以是​的中位线，得​. 在正方体中，且，所以四边形是平行四边形，得， 因此由平行公理得，两条平行直线确定唯一平面， 所以共面，故四点共面. （2）由（1）分析知​，平面，平面​， 所以平面. 又平面，平面平面， 根据线面平行的性质定理，得，结合（1）中，得. （3） 存在，. 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理及平面的性质可得； （2）先证 平面，再由线面平行的性质可得 ，再结合（1）分析可得； （3）先由可得，再结合（1）的分析得 平面 .再构造平行四边形 ，进而可得 平面 ，再由面面平行的判定定理可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在 点，且时，平面 平面 .理由如下： . 若，由线段成比例，所以. 又（1）分析知，得 ， 平面 ， 平面 ， 由线面平行的判定定理得 平面 . 设 分别为 的中点，连接 ，所以 . 又 分别是的中点，所以且. 因为 分别是的中点，所以，即， 又，所以，由线段成比例，所以且. 由平行公理得 且 ，所以四边形 是平行四边形， 所以 ，且 ，因此 . 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ， 平面 ，且 ， 平面 ， 由面面平行的判定定理得平面 平面 . 因此，存在 点，且时，平面 平面 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海尔学校2025—2026学年度第二学期六月阶段性检测试卷 高一数学 考试范围：必修2第六-第九章 注意事项：1．本试卷共3页；考试时间120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，填写在答题卡和试卷指定位置上. 3.答题时，将答案涂写在答题卡对应题号的规定区域内，写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 某中学高中部有高一、高二、高三三个年级，其中高一与高二年级学生共有2800人，从所有高中学生中按照年级人数比例用分层随机抽样法抽取45人，其中高三年级抽取10人，则该中学高三年级学生人数为（ ） A. 1600 B. 1400 C. 1200 D. 800 3. 已知向量，不共线，且则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，， 分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 6. 数据的平均数为，方差，现在增加两个数据 和，则这组新数据的标准差为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，三棱柱中，若、 分别为， 靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（ ） A. 48 B. 52 C. 56 D. 60 8. 如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为3，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（ ）. A. 6 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（ ） A. a的值为0.030 B. 抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间 C. 2000名考生中约有10名成绩优秀 D. 估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间 10. 将边长为4的正方形沿对角线 折起，使点不在平面内，则下列命题是真命题的是（ ） A. 不论二面角为何值，总有 B. 当二面角为时， C. 当二面角为时，是等边三角形 D. 不论二面角为何值，四面体外接球的体积为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点 在线段（不包含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 正方体的外接球表面积为 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 直线 平面 D. 三棱锥 的体积随着点 的运动而变化 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 设i是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第______象限． 13. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则 __________. 14. 如图，已知正方体的棱长为2，， ，分别为 ，，的中点，过点， ，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数，众数，中位数； （3）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取28名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 16. 如图，平面四边形是边长为 的正方形.平面，，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知向量，满足 ， ，且，的夹角为. （1）求； （2）若，求实数 的值； （3）若向量与向量的夹角为锐角求实数的取值范围. 18. 在 中，角，，的对边分别为 ， ， 且. （1）求； （2）若 的面积为且 为锐角三角形，求 周长的取值范围. 19. 如图，在正方体中，， ， 分别为棱，，的中点. （1）求证：四点共面. （2）设平面平面，求证：. （3）棱，上是否分别存在点 ，，使平面平面？若存在，求与的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $