四川省成都石室中学2025-2026学年高二下学期数学周练（十五）

**基本信息** 立足高二核心知识，融合党史竞赛、摄像头寿命等真实情境，通过梯度化题型设计考查数学眼光、思维与语言，适配周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数定义域、等差数列、正态分布等|第4题结合党史知识考查条件概率，体现文化传承| |多选题|3/18|向量夹角、二项式展开、函数性质|第11题综合导数与函数零点，考查推理意识| |填空题|3/15|直线垂直、排列组合、抽象函数|第13题志愿者选派问题，强化应用意识| |解答题|5/77|数列求和、立体几何、概率统计、椭圆、导数|第17题投篮比赛统计分析，第19题导数极值点证明，注重数学建模与逻辑推理，契合高考命题趋势|

石室中学高2027届高二下期第十五周数学周练 1、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知函数的定义域为，，对，则的解集为（ ） A． B． C． D． 2．“关于，的方程：表示圆”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 4．为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛.某班级在5道党史题中（有3道选择和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件为“第一次抽到选择题”，事件为“第二次抽到选择题”，则（ ） A． B． C． D． 5．已知是函数的图象的一条对称轴，则的最小正值为（ ） A． B． C． D． 6．某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.若石室中学在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知点在抛物线：上，过点作圆：的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ） A．5 B． C．6 D． 8．已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（ ） A． B． C． D． 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知向量，则下列向量中与的夹角为60°的是（ ） A． B． C． D． 10.的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．展开式共有6项 B．各二项式系数之和为64 C．展开式中项的系数为 D．展开式中系数最大的项为70x 11．已知函数，则（ ） A．函数在上单调递增 B．函数在上有两个零点 C．对恒有，则整数的最大值为 D．若，则有 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若直线与直线垂直，则实数______. 13．从5名志愿者中选出4人分别到、、、四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到、二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有______． 14．已知定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是________. ①是奇函数 ② ③ ④时， 4、 解答题（本题共5小题，共77分） 15．已知是数列的前项和，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16．如图，在正三棱柱中，，延长至，使，是线段的中点． （1）求证：①直线平面；②； （2）求二面角的正弦值． 17.某同学参加投篮比赛.比赛规则如下：先后在两个不同位置投篮.其中第一次投篮投进得1分，投不进得0分，第二次投篮投进得2分，投不进得分，两次投篮的总得分不低于0分就能获奖.已知这位同学在第一个位置投篮投进的概率是，在第二个位置投篮投进的概率为，每次投篮是否投进相互之间没有影响. （1）求至少投进一个球的概率； （2）求这位同学两次投篮的总得分的分布列、期望及方差； （3）求这位同学能获奖概率. 18.已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 19.已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 石室中学高2027届高二下期第十五周数学周练参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B B D C B C B BC BC ABD 1．B 【详解】令，不等式即为，因为，因为，所以，所以在R上单调递增，因为，所以的解集为. 故选：B． 2．B 【详解】若关于，的方程：表示圆，则，解得或， 因为真包含于， 所以“关于，的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．B 【详解】因为为等差数列，可得，所以， 又由等差数列的性质，可得. 故选：B. 4．D 【详解】，，所以. 故选：D. 5．C 【详解】由已知是函数的图象的一条对称轴， 则，， 则，， 又，可知，则，且， 则当时，取得最小值为， 故选：C. 6．B 【详解】因为使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2，因而根据正态分布规律可知该摄像头平均使用寿命为 年 所以每个摄像头4年内正常工作的概率为0.5，因而两个摄像头同时能正常工作的概率为 0.50.5=0.25 所以选B 7．C 【详解】设点，由圆的方程可知圆心，半径； 又切线长为，可得， 即，解得，可得； 再由抛物线定义可得点P到M的准线的距离为. 故选：C 8．B 【详解】由题设，，， 令且，则，即在上递增， 又，即， 由，令且， 则，又， 令且，则，即递减，所以， 所以，即在上递增，故， 即在上恒成立，故， 综上，，结合单调性知：. 故选：B 9．BC 【详解】不妨设向量， 若，则，不满足条件，A错误； 若，则，满足条件，B正确； 若，则，满足条件，C正确； 若，则，不满足条件，D错误． 故选：BC. 10．BC 【详解】对于A，由二项式展开式的性质可得，展开式共有7项，故A错误； 对于B，各二项式系数之和为，故B正确； 对于C，通项为， 令，代入可得展开式中项的系数为，故C正确； 对于D，由通项可得，当时，，故D错误； 故选：BC 11．ABD 【详解】函数， 求导得， 对于A，当时，，有， 故函数在上单调递增，A正确； 对于B，令，则， 当时，，有， 函数在上单调递增， 而，，则使得， 当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增， 由选项A知，在上递增， 又， 则， 使得，因此函数在上有两个零点，B正确； 对于C，对恒有，故，由选项B知，， 则有，由得：， 令，， 则， 函数在上单调递减，， 又， 则有，故， 因此整数的最大值为，C不正确； 对于D，当时，令， 则，， 函数在上递减，，即， 函数在上递增，，即， 令，， 显然在上单调递增，则有函数在上单调递增， 因此，即， 所以当时，成立，D正确． 故选：ABD 12．/ 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得，故答案为： 13．36 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，到，中的一个部门，其他三人到剩余的部门，有种选派方案． ②、甲、乙两人都被选中，安排到，部门，从其他三人中选出2人，到剩余的部门，有种选派方案， 综上可得，共有24+12=36中不同的选派方案． 14．②③ 【详解】令，则， 若是奇函数，则，取时，即，但，故①错误； 因为恒成立，且，所以恒成立，在上为单调递增函数，所以，故②正确； 由②可知，③正确； 因为在上为单调递增函数，所以当时有，所以，故④错误； 故答案为：②③ 15．（1）；（2） 【详解】 （1）由， 当时，， 当时，可得， 两式相减得：，所以有， 也符合上式， 所以； （2）当时，有 当时，有， 所以有 . 16．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2） 【详解】（1）①在正三棱柱中，， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，面， 所以平面； ②因为，是线段的中点，所以， 因为平面，平面， 所以， 又平面，所以平面， 又平面， 所以； （2）在中，由于，所以， 则， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 因为轴垂直平面， 则可取平面的法向量为， 则， 所以二面角的正弦值为． 17．（1）；（2）分布列见解析，，；（3） 【详解】 （1）设至少投进一个球为事件，则. （2）这位同学投篮三次的总得分的所有可能取值为，0，2，3， ，， ，， 随机变量的分布列是 0 2 3 ，， 所以. （3）设这位同学获奖为事件，则，所以获奖的概率为. 18．（1）；（2）证明见解析 【详解】 （1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . （2）由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 19．（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】 （1）当时，， 由，所以. 故单调递增区间为. （2）（ⅰ），令，即 令，，则是方程的两个正根， 则，即， 有，，即. 所以的取值范围为：. （ⅱ） 令 则． 令，则， 则在上单调递减， 又 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减 则， 又，故 即. 学科网（北京）股份有限公司 $