四川省成都市石室中学2025-2026学年高二下学期数学周练（十三）

**基本信息** 石室中学高二下期数学周测，以真实情境与分层设计为特色，覆盖数列、概率统计、函数导数等核心知识，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|线性相关、随机变量、等比数列|散点图判断（数学眼光）、餐厅选择概率（数学应用）| |多选题|3/15|概率独立事件、抛物线性质|班干部评选概率（情境真实）、抛物线焦点弦（几何直观）| |填空题|3/15|函数极值、概率分布|正方体切割涂漆面数（空间观念）、抛掷骰子得分期望（数据意识）| |解答题|5/50|等差数列、标记重捕法、椭圆综合|标记重捕法估计种群（科学情境）、椭圆面积最值（模型观念）|

石室中学高2027届高二下期第十三周数学定时练习 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（    ） A．    B．   C．    D．    2．已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 3．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（    ） A．15 B．17 C．80 D．82 4．设，则（   ） A． B． C． D． 5．已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．某学校有两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．已知王同学第2天去餐厅用餐，则第1天去餐厅的概率（   ） A． B． C． D． 7．将一个各面都涂了油漆的正方体切割为27个同样大小的小正方体，经过充分搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为，则（   ） A． B． C． D． 8．若数列的前项和为，，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 9．某校高二年级要从7名班干部（其中5名男生，2名女生）中任选3人参加学校优秀班干部评选（每人被选中的机会均等），记A=“男生甲被选中”，B=“女生乙被选中”，则下列结论中正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．至少一名女生被选中的概率为 10．已知抛物线的焦点为，过作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，下列说法正确的有（   ） A．若直线的倾斜角为，则 B．的最小值为8 C．以线段为直径的圆恒与轴相切 D．若为的准线与轴的交点，且，则直线的斜率为 11．某人在次射击中，击中目标的次数为，，其中，，击中偶数次为事件，则下列说法正确的是（ ） A．当时，取得最大值 B．若，，则的取值范围是 C．若，，当取最大值时，则 D．当时，随着n的增大而减小 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．函数在处取得极小值，则的值为________. 13．一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数和是3的倍数，则这次抛掷得分为3，否则得分为-1.抛掷n次，记累计得分为ξ，若E(ξ)=10，则D(ξ)=　　　　　. 14．已知5支球队两两之间都要进行一场比赛，任意两支球队之间的比赛都没有平局，各队的实力相同，则有且只有2支球队恰好获胜3场的概率为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共50分） 15．（本题满分10分）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．（本题满分12分）为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量，生态学家采用了标记重捕法．具体操作如下：假设该鸟类的种群数量为，首先，从保护区中随机捕捉20只该种鸟类，对它们进行标记后放回保护区．经过足够长的时间，使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合．然后，再次从保护区中随机捕捉50只该种鸟类，记其中被标记的鸟的数量为． (1)若，求被捕捉的50只中至少1只被标记的概率（用组合数表示）和； (2)求使得最大的的值． 17．（本题满分13分）已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点. (1)求椭圆的标准方程. (2)设直线与椭圆交于A，B两点，且以线段为直径的圆过坐标原点O. ①证明：为定值. ②求面积的最大值. 18．（本题满分15分）已知函数． (1)证明：； (2)将所有正零点排列为严格递增数列 （i）证明：； （ii）设表示不超过的最大整数，求． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《石室中学高2027届高二下期第十三周数学定时练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D B B D C D ACD ABC 题号 11 答案 ABD 1．D 【详解】对于A：散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性；故A错误； 对于B：两个变量不具有线性相关性，故B错误； 对于C：两个变量之间的关系为负相关关系；故C错误； 对于D：两个变量之间的关系为正相关关系，且散点图中的点分布在一条直线附近，线性相关程度较高；故D正确. 2．B 【详解】由，可知其对称轴为：， 又，由对称性可知： 3．D 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，，解得. 则. 4．B 【详解】令，得， 令，得， 所以 ． 5．B 【详解】对求导得，当时，，， 曲线在处的切线方程为. 设切线与相切于点，对求导得， 由切线斜率为得，解得， 将切点代入切线方程得，解得. 6．D 【详解】设 ：第1天去A餐厅，：第1天去B餐厅，：第2天去A餐厅， 由题意，第1天随机选餐厅， 因此 ； 由题意 ， ， ， 又 ， 因此： . 7．C 【详解】的所有可能取值为， 涂3面油漆的小正方体有8个；涂2面油漆的小正方体有12个； 涂1面油漆的小正方体有6个；涂0面油漆的小正方体有1个； 则，，，， 所以． 8．D 【详解】，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， ，， . 9．ACD 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，显然，事件A与事件B相互不独立，B错误 对于C，，C正确； 对于D，没有女生被选中的概率为，因此至少一名女生被选中的概率为，D正确. 10．ABC 【详解】对于A，抛物线的焦点为，若直线的倾斜角为，，则直线的方程为， 与抛物线的方程联立得，所以， 因为，所以，故A正确； 对于B，由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，与抛物线的方程联立得，则， 因为，当时，等号成立，所以，最小值为8，故B正确； 对于C，以线段为直径的圆的圆心为的中点，横坐标为，则圆心到轴的距离为， 因为，所以圆的半径，则，因此该圆恒与轴相切，故C正确； 对于D，易知，若，则，，， 所以， 结合选项B的解析，可知，，， 代入得，解得，即直线垂直于轴，斜率不存在，故D错误． 11．ACD 【详解】对于A，，当时，取得最大值，故A正确； 对于B，因为，若，则 由于，则， 由于，则，则在上单调递增. 则的取值范围是，故错误； 对于C，在20次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大.故C正确； 对于D，因为 所以， 击中奇数次: 两式相减可得 ， 所以， 当时，为正项且单调递减的数列， 所以随着的增大而减小，故D正确. 12．2 【详解】函数的定义域为R，求导得， 依题意，，解得或， 当时，是常数函数，不存在极值； 当时，，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此是函数的极小值点， 所以. 13. 解析　由题意可知一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子有36种等可能的结果， 其中出现的点数和是3的倍数有12种等可能的结果， 所以抛掷一次，出现的点数和是3的倍数的概率为p==， 记抛掷n次出现的点数和是3的倍数的次数为X， 则X~B，ξ=3X-(n-X)=4X-n， 由E(X)=，得E(ξ)=4E(X)-n==10， 得n=30， 于是D(X)=30××=，D(ξ)=42D(X)=16×=. 14． 【详解】解：由题可知共有场比赛，每场比赛有2种情况，共有种； 从5支球队中选出两支球队甲、乙恰胜3场， 由于甲乙之间存在胜负关系，故甲、乙的选法有种； 不妨设甲战胜了乙，甲还需战胜其余3支队伍中的2支队伍，故有种选择． 这样，乙必然战胜其余3支队伍． 设甲没战胜的队伍是丙，由于是恰有两支球队获胜3场， 所以除甲、乙、丙外的两支球队至少有一支队伍战胜了丙， 丙与另外两支球队之间的3场比赛共有种结果，其中丙战胜另外两支球队的情况（会导致丙也获胜3场）有2种，需要排除，故符合题意的情况有种， 故所求的情况种数为，概率为． 15．(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得，..................................................................................3分 所以的通项公式为；...........................................................4分 （2）因为， 所以， 则， 两式相减得..........................................7分 ， 所以．................................................................................................10分 16．(1)， (2)在时取得最大值． 【详解】（1）因为，所以服从超几何分布，.......................................................2分 其中，，． ，．.............................................................................5分 （2）当时，．............................................................................................6分 当时，．.............................................................................................9分 设，则． 由，解得，..................................................................................................11分 即时，， 即时，， 所以在时取得最大值．.................................................................................12分 17．(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为.......................................................................................3分 （2）①设，， 由，消去整理得，.............................4分 所以， 则，，................................................................................6分 又因为直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点， ∴，即， ∴， ∴， 即， 化简得，所以，即为定值；.............................8分 ②因为到直线的距离， 又 ， 所以，.................10分 又，所以，则， 所以 ， 因为且， 所以， 令，则， 所以， 令，所以 ， 所以当即，时取得最大值，所以， 即面积的最大值为..................................................................................................13分 18．(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析，（ii） 【详解】（1）证明：，，...............................1分 ，，， 所以在区间上单调递增，..............................................................................3分 ....................................................................................................................4分 （2）（i）证明：由（1）在区间上单调递增， 则时，，即此时无零点，............................................5分 当，，单调递增， 又， ，， 则在上有一个零点，..............................................................................7分 同理可得在上有一个零点， 又，，， ， 又， ，且在上单调递增， ，即；..........................................................................................9分 （ii）， ， .......................10分 ， ，.........................................................................................12分 又， ， ...........................................................................14分 ．..........................................................................................................15分 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $