四川省成都石室中学2025-2026学年高二下学期数学周练（五）

石室中学高2027届高二下期第五周数学定时练习 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．下列求导结果正确的是(　　) A. B. C. D. 2．若，且是第四象限角，则等于（   ） A． B． C． D． 3．若函数的图象与直线相切于点，则实数（   ） A． B．2 C． D．3 4．若复数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 6．是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，，若，则必有（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知正实数a，b满足，则为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 9．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异 于，点），则下列结论正确的是（     ） A．异面直线与所成角为60° B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 10．设函数，则下列结论正确的有（   ） A．的单调递减区间为 B．是的极小值点 C．有3个零点 D．当时，方程恰有三个实数根 11．双曲线具有如下光学性质：如图，分别为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，则（    ） A． B．双曲线的右焦点到渐近线的距离为21 C．当反射光线过点时，光线由所经过的路程为6 D．设反射光线所在直线的斜率为，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设事件A，B相互独立，，则_________________． 13．三个数的大小顺序为 　　　　　　　　.(用“<”连接)  14．函数在区间上存在零点，则的最小值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共50分） 15．已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求． 16．如图，在梯形中，，过点作于点.现将沿翻折到的位置，使得平面平面. (1)证明：； (2)已知，，求与平面所成角的正弦值. 17．已知抛物线，过点作直线与抛物线相交于两点，为坐标原点. (1)证明：； (2)若存在异于点的定点，使得恒成立，请求出点的坐标，并求出面积的最小值. 试卷第1页，共3页 18．设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C D A B C ABC ACD 题号 11 答案 ACD 1． B 解析　对于A，y=cos，则y'=sin，故错误； 对于B，y=sin x2，则y'=2xcos x2，故正确； 对于C，y=cos 5x，则y'=-5sin 5x，故错误； 对于D，y=xsin 2x，则y'=sin 2x+xcos 2x，故错误. 2．D 【详解】因为，且是第四象限角，则， 所以. 3．A 【详解】，则，解得， 所以，即切点为， 代入直线整理得，解得. 4．C 【详解】复数满足， 表示复数在复平面内的轨迹是以原点为圆心、半径为的单位圆， 表示复数到点的距离， 即求解单位圆上的点到的距离取值范围， 因为到点的距离为， 所以的最大值为，的最小值为， 故的取值范围是. 5．D 【详解】由题意可知，，设过点的直线方程为. ，将直线方程代入抛物线方程可得. 化简得.根据韦达定理得. 又，所以. 由于抛物线的准线方程为，所以. 所以. 因为，所以. 当且仅当，即时，等号成立，此时取最小值为. 6．A 【详解】令，则， 又，，所以，函数在上单调递减， 由，得，即，所以. 7．B 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 8．C 【详解】等式左边：设，求导得， 时，在单调递减，时，在单调递增， 因此的最小值为，所以， 等式右边：设，求导得， 时，，在单调递增，时，，在单调递减， 因此的最大值为，所以， 又，因此仅当时等式成立，即 ，， 故. 9．ABC 【详解】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于B，由正方体的性质可知，，平面，, 平面，又因为平面，， 同理可得平面，又因为平面，， 又因为平面，平面，故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面, 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，， 从而，， 由正方体的性质知：平面， 即平面，故平面的法向量可取为， 直线与平面所成角正弦值为，, 因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 10．ACD 【详解】，， 对于选项A，的解为， 则的单调递减区间为，故选项A正确； 对于选项B，由得或， 的解为或， 则的单调递增区间为， 则是的极大值点，故选项B错误； 对于选项C，， 为的一个零点， 时是单调递增函数， 故在范围内，有且仅有一个零点； 的单调递减区间为， 是的极大值点， ， 是的极小值点， ， 在范围内，有且仅有一个零点； 在范围内，是单调递增函数， ， ， 在范围内，有且仅有一个零点； 则有3个零点，故选项C正确； 对于选项D，的极小值为 ，极大值为，， 直线与的图像有且只有三个交点， 结合图像可知，当时，方程恰有三个实数根，故选项D正确.    故选：ACD. 11．ACD 【详解】对于A，由题意，则，，则， 则，故 A正确； 对于B，，则，右焦点． 双曲线的渐近线方程为，即， 右焦点到渐近线的距离，故B错误； 对于C，由双曲线定义知，即． 光线由所经过的路程为． 当，，三点共线时，取得最小值， ，，则， 所以光线由所经过的路程为，选项C正确； 对于D，设左、右顶点分别为A、B．如图示： 双曲线的渐近线斜率为． 当与同向共线时，的方向为，此时，最小． 因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为， 则斜率满足，选项D正确． 12． 【详解】由于事件A，B相互独立，所以事件相互独立， 所以. 故答案为： 13．答案　b<c<a 解析　设f(x)=，则f'(x)=， 当x>e时，ln x>1，可得f'(x)<0， 可知f(x)在(e，+∞)上单调递减， 因为a===f(e)，b===f(4)，c==f(3)，所以a<b<c. 14．/0.5 【详解】设为在上的零点，则，即点在直线上， 又为点到原点的距离的平方，原点到直线的距离为， 因此，即的最小值即为在上能成立， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，则，， 所以的最小值为. 15．(1) (2) 【详解】（1）当时，； 当时，，则． 经检验，当时也满足该式．综上， （2）由题意知， 数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，分组求和可得 ． 16．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又易知，平面，所以平面， 又平面，所以. （2） ②，，. 设平面的法向量为，则， 取，则， 记与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 17．(1)证明见解析 (2)  8 【详解】（1）证明：设直线的方程为， 由，得，即， 因为，所以， ， 所以，所以. （2）因为，所以， 由角平分线的性质可知，为的角平分线，由抛物线对称性可得，在轴上， 设，， 因为在轴上，所以，， 整理得，由，代入可得， 即，由于上式对任意恒成立，所以，即. ， 到直线的距离为：，面积， 当时，面积有最小值8. 18．(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）时，，对函数求导得. 所以. 所以的图象在处的切线方程为，即. （2）由得. 因为在上单调递增，所以. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立， 若，令得或，且. 当时，，单调递减， 所以，与在上恒成立矛盾， 综上所述，的取值范围是. （3）证明：当时，， 所以在上单调递增，又， 所以时，时，. 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以. 设，则. 所以在上单调递增，因为，所以. 因为，所以. 又，所以，即. 又在上单调递增，所以，即. 所以，即. 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $