四川省成都石室中学2025-2026学年高二下学期数学周练（十七）

**基本信息** 石室中学高二数学周测卷，以AI医药筛选、车厘子等级统计等真实情境为载体，覆盖解析几何、概率统计等核心知识，通过分层设问培养数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线与圆、导数切线、排列组合|结合逻辑推理（如充要条件判断）| |多选|3/15|二项式定理、椭圆性质、概率期望|多选项设计考查数学严谨性| |填空|3/15|数列通项、空间距离、函数单调区间|注重知识迁移（如导数与不等式解集）| |解答|4/50|立体几何二面角、概率分布列、导数应用、抛物线综合|16题以车厘子统计为情境，18题抛物线多问递进，体现数学应用与创新意识|

石室中学高2027届高二下期第十七周数学专项练习 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 2．直线与圆相交于两点，则＂＂是＂的面积为”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3、过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 4．已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 5．从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，可以组成（   ）个没有重复数字的五位数. A．1440 B．1224 C．576 D．792 6．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子”，事件B是“AI模型筛选出候选分子”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 7．椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，为与的交点，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．1 8．一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字，随机投掷该骰子 3 次，得到的点数依次记为，则满足的有序数对的个数为（ ） A． 48 B．36 C． 24 D． 12 二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 9、关于二项式的展开式，下列说法正确的是(　　) A.展开式中所有项系数之和为64 B.展开式中第4项的二项式系数最大 C.展开式中不含x3的项 D.展开式中常数项为240 10．椭圆为的右焦点，点在上，且关于轴对称，分别为线段的中点，为坐标原点，则 A． B．的最小值为 C． D．存在点，使得 11、袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球、2个白球，现从中任取3个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是(　　) A.E(Y)=2E(X) B.P(|Z-5|≤1)= C.E(Z)=4 D.D(Z)= 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12、若数列的前项和，则的通项公式是________ 13、已知，，，则点A到直线BC的距离为_________ 14、已知函数f(x)=x3+mx2+nx+1(m，n∈R)，若不等式f(x)>0的解集为{x|x>a且x≠1}，则函数f(x)的单调递减区间为 四、解答题（本大题共4小题，共50分） 15．（本小题满分 10 分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，．M为棱上一点，且平面， （ⅰ）试确定点M的位置； （ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 16．（本题满分12分）随着生活水平的提高，一些进口水果也成了热销商品.某品牌车厘子大小等级划分为、、、、五个等级，分别对应如下五组质量指标值：，，，，.从该品牌车厘子中随机抽取1000颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)质量指标值越高，车厘子越大、质量越好，若质量指标值低于180的为二级，质量指标值不低于180的为一级.现利用分层随机抽样的方法按比例从样本中随机抽取12颗，再从抽取的12颗车厘子中随机抽取3颗，记其中一级的颗数为，求的分布列及数学期望； (2)甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌车厘子的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢购一个订单，每个订单均由（，）箱车厘子构成.假设甲、乙两人抢购成功的概率均为，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为，抢到车厘子总箱数为. ①求的分布列及数学期望； ②当的数学期望取最大值时，求正整数的值. 17．（本题满分13分）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，；(2)当时，，求的取值范围； 18．（本小题满分15分）设抛物线C：y2=4x的准线与对称轴交于点P，直线l过点P且与C交于A，B两点． （1）设O为坐标原点，求的值； （2）若以线段AB为直径的圆与y轴相切，求l的方程； （3）过点P作直线l′（不同于l）与C交于M，N两点，且直线AM与y轴交于点Q，设ΔPBN与ΔQBN的面积分别为, 求． 石室中学高2027届高二下期第十七周数学专项练习答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A D C B D C A BD BCD ACD 1．B【详解】对于两条直线，，若，则满足且（不重合）； 由题得，， 首先由列等式：， 整理得，解得或， 当时，，，即，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线斜率均为2，在轴上的截距分别为和，不重合，满足平行条件. 综上，. 2．A【详解】因为，所以，即，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以＂＂是＂的面积为＂的充分不必要条件，故选A ． 3、D 【详解】设切点为，所以切线的斜率， 切线方程为．将坐标原点代入可得， 因为切线有且只有一条，所以，解得或，又，所以， 故选：D． 4．C【详解】因为，所以， 设数列的公差为，则，所以， ，，所以当时，，当时，， 所以，所以. 5．B【详解】不含数字0的无重复数字的五位数，有个； 含有数字0的无重复数字的五位数，有个，所以所求的五位数个数为. 6．D 【详解】因为，所以.所以. 由，得. 所以. 7．C 【详解】 由题意知，双曲线的焦点在轴，且与椭圆共焦点，因此椭圆的焦点也在轴， 对椭圆，半焦距满足；对双曲线，半焦距满足，故，即， 联立两曲线方程，两式相加得，解得， 将代入椭圆方程，整理得，代入得， 因为的底为，高为，因此面积， 由，得，即， 所以，所以，的面积为. 8．【答案】A【详解】不妨设，则，故，所以要使得，只需要2． 若，此时三个数的取值有和三种情况，当三个数的取值为时，有序数对共有 3 种情况；当三个数的取值为时，有序数对共有 6 种情况； 当三个数的取值为时，有序数对共有 3 种情况；所以当时，有序数对的个数共有 12 种． 同理，，6 的不同情况也均为 12 种，故满足的有序数对的个数为． 9、答案　BD解析　令x=1，则=1，A错误； 由Tk+1=(-2x)k=(-2)kx3k-12，k=0，1，…，6，当k=3时，第4项的二项式系数最大，B正确； 令3k-12=3，得k=5，则展开式中含x3的项，C错误； 令3k-12=0，得k=4，则常数项为T5=(-2)4=240，D正确. 10．【答案】BCD【详解】对于选项 A ，由题意得，如图，设的左焦点为，连接，由的对称性知且，则，由， 取点，得．，故 A 错误； 对于选项 B ，因为为线段的中点，所以，因为的最小值为，所以的最小值为，即，故 B 正确；因为分别为线段的中点，所以， 由椭圆的定义知，故 C 正确； 对于选项 D，设，则，且， 由，得， 所以．， 若，则，此时， 故存在点，使得，故 D 正确．故选 BCD． 11、答案　ACD解析　X，Y均服从超几何分布， 且X+Y=3，Z=2X+Y=3+X，P(X=k)=，k=0，1，2，E(X)=3×=1，E(Y)=3-E(X)=2=2E(X)，A正确； P(|Z-5|≤1)=P(|X-2|≤1)=1-P(X=0)=1-=，B错误；E(Z)=3+E(X)=3+1=4，C正确； D(Z)=D(3+X)=D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=+0+=，D正确. 12、【详解】当时，； 当时，，由于不适合此式， 所以. 13、【详解】已知，，，所以，. 进而，. ，进而. 则点到的距离. 14、答案：解析　不等式f(x)>0的解集为{x|x>a且x≠1}，所以f(x)=(x-1)2(x-a)，且a<1， 即f(x)=(x-a)(x2-2x+1)=x3-(a+2)x2+(2a+1)x-a， 所以解得 则f(x)=x3-x2-x+1， 所以f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1)，由f'(x)<0，解得-<x<1，因此函数f(x)的单调递减区间为. 15．【详解】（ⅰ）M为棱上靠近点P的三等分点，理由如下： 如图2，过点M作交于点N，连接. ，； ，，，四点共面，则平面平面； 平面，. 四边形为平行四边形，则. ，，，，即. 为棱上靠近点P的三等分点满足题意………………………..4分 （ⅱ）过点M作交于点O，连接.由（ⅰ）得； 为等边三角形，则，. ，，，四边形是平行四边形，则. 平面，平面，平面. ，平面，平面，平面. ，平面平面. 过点A作于点H，过点H作交于点G，连接， 平面，，平面.平面，. ，，平面，平面. 平面，；，，平面，平面，平面，则；为平面与平面所成锐二面角的平面角， 即为平面与平面所成锐二面角的平面角. 由平面，平面，得；，，，，为等边三角形，,，，，. 在中，，则. 在中，，得. 在中，. 在中，. 即平面与平面所成锐二面角的正弦值为．…………………..10分 16、【详解】（1）由频率分布直方图，质量指标低于180的二级频率为， 不低于180的一级频率为，故二级与一级的数量比为. 分层抽样抽取12颗车厘子，得二级品颗，一级品颗. 随机抽取3颗，一级颗数服从超几何分布，的可能取值为. ，，，. 所以的分布列为： . ………………..5分 （2）① 甲、乙抢购成功的概率均为，两人抢购相互独立，故，的可能取值为. ，， . 的分布列为： .………………..9分 ② 由，得，即. 由基本不等式，，当且仅当即时等号成立， 又，故时取得最大值. …………..12分 17、【详解】（1）， 由切点在直线上，也在函数图象上， 可知且，可得； 由，则切线的斜率为，解得；故. …………..4分 （2）由（1）知，， 则， 故题意可转化为对任意恒成立，令，， 则， 当时，由且，则，即， 则在上单调递增，又， 要使对任意恒成立，则，解得；………..7分 当时，不成立； ………..8分 当时，，，且， 则， 即，则在上单调递减，又当时，，不满足题意；………..12分 综上所述，的取值范围为. ………..13分 18、解：（1）由题意，易知点P(-1,0)．（1分） 设直线l的方程x=ty-1，代入y2=4x，并整理得y2-4ty+4=0 由Δ=16t2-16>0，得t<-1或t>1．（3分）设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4t，y1y2=4． 所以=x1x2+y1y2=+y1y2=1+4=5．（4分） （2）由弦长公式，得|AB|==4． 线段AB的中点到y轴的距离r=．（7分）又xi=tyi-1（i=1,2），故r=(y1+y2)-1=2t2-1． 由|AB|=2r，得4=4t2-2，解得t=±（均满足Δ>0）． 所以直线l的方程为2x±y+2=0．（9分） ②设点M(,y3)，N(,y4)，同理可得y3y4=4． 又直线BN的斜率k1==．（12分）由y2=，y4=，得k1=．（13分） 设点Q(0,m)，由A，M，Q三点共线，得(y3-m)=(y1-m)． 化简，得m=，故k1=m．（15分）又直线PQ的斜率k2==m，故k1=k2． 所以BN∥PQ，故ΔPBN与ΔQBN的面积相等，．（15分） 学科网（北京）股份有限公司 $