第一章 三角形的证明及其应用（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材北师大版八年级下册

第一章 三角形的证明及其应用·拔尖卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，交于点．若，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查含直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握含直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．先利用等腰三角形性质得出底角相等，结合三角形内角和求出顶角；再通过直角三角形角的性质求出的长度，接着算出的度数并证得，最后通过线段和求出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，，连接，取的中点，连接．若，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，过点作于点，由直角三角形的性质得，即得，再根据勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在等边中，为边上的一点，若，为边上的一点，连接交的延长线于点，当时，，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 【详解】解：过作交于． ∵是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ∵ ， 的周长为6， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状． 连接，先在中用勾股定理求；再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积． 【详解】解：连接，如图： 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴是直角三角形， ， ∴四边形的面积为． 5．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，，则的面积为（   ） A．10 B．16 C．20 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了三角形面积的计算，利用全等求高是解答本题的关键．作，垂足为E，作，交的延长线于点F，先根据等腰三角形的性质得，再证明，得，即可求的面积． 【详解】解：由题意，作，垂足为E，作，交的延长线于点F，如图： 是等腰三角形的中线， ， 的面积为：． 故选：D． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，线段垂直平分线的判定与性质，直角三角形的斜边中线的性质，勾股定理等知识，延长交于点，作，垂足为，由勾股定理得，根据直角三角形的斜边中线的性质得，再通过等面积法求出，由翻折的性质可知，，，，则，，然后等面积法和等腰三角形的性质得出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点，作，垂足为， ∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴，解得， 由翻折的性质可知：，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 7．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，，将边沿翻折，使点落在上的处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是利用折叠性质得出相等的线段和角，结合等腰直角三角形和勾股定理计算线段长度。 先证明为等腰直角三角形可求得，然后在中，利用面积法可求得的长，依据勾股定理求得的长，依据求得的长即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ∵根据勾股定理， ， ， ， 故选：B． 8．（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形．若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及度角的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：如图所示 为等边三角形， ，． ，， ． ． ． ． ， ． 、…均为等边三角形． ． ， ． ，． ，． ． 同理，， 以此类推：． 即的边长为． 故选：D． 9．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，是的角平分线，且．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线性质等知识，在上截取，过作于点，则，证明，所以，，，则，得，所以，设，，则，则，，所以，设点到的距离为，点到的距离为，所以，，由，得到，设，，则，所以，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，过作于点，则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由， 设，，则， ∴，， ∴， 设点到的距离为，点到的距离为， ∴，， ∵， ∴， 设，，则， ∴， ∴， 故选：． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．，则下列结论：①点是的中点；②是等腰三角形；③与互补；④的长是1；⑤的面积是2．其中结论正确的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，得，，，，得到，可判定①正确；结合，可判定②正确；根据折叠的性质，可证，判定③正确；设，由勾股定理，得,解得，判定④⑤错误，解答即可． 本题考查了折叠的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，四边形内角和定理，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，得，， ，， ∴， ∴点是的中点， 故①正确； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， 故②正确； 根据折叠的性质，得，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴与互补， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设， ∴， 根据勾股定理，得， ∴, 解得， ∴的长是， ∴的面积是， 故④⑤错误； ∴结论正确的有3个， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，，的垂直平分线分别交和于点D和P，的垂直平分线分别交和于点E和Q，若，则的度数是 ． 【答案】/115度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质及三角形内角和，等边对等角等知识，掌握线段垂直平分线的性质是关键；由线段垂直平分线的性质可得，进而有，由三角形外角的性质得，，再由三角形内角和求得即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，利用角平分线的性质，推导点到、的距离相等是解题关键． 作到、、的垂线，可由角平分线性质得三条垂线段相等，然后通过的面积求出垂线段长度，用该长度计算的面积即可． 【详解】解：如图，过点分别作、、的垂线，交延长线于点，交延长线于点，交于点． 平分，平分， ，， ， 已知，，， ， 解得，即， ． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）如图，已知，点…，在射线上，点…，在射线上，若，，…，依此规律作图至点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角所对的直角边是斜边的一半等知识，探究规律，然后利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴， 在中， ∴， ∴， 同理，，，， 在中，， ∴， ， …… 以此类推，. 故答案为：． 14．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 【答案】西北 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北． 15．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在中，，，点为的中点，点为延长线上一点，连接交于点，过点作，与的延长线相交于点，若，，的面积是36，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，得到的面积是解题的关键． 连接，先证，得到，进而得到，再由，得到，再结合三角形面积公式求出的长． 【详解】连接， 在中，，， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵ , ∴，即， 解得． 故答案为：8． 16．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，射线外有一点，且到射线的距离为6，若点是射线上的一个动点，则当线段与射线所夹锐角是的两倍时，的长为 ．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，结合角的倍数关系转化为边的关系． 先过作，利用勾股定理求出的长度，分点在点右侧、左侧两种情况，结合“等角对等边”构造等腰三角形，再用勾股定理列方程求解的长度． 【详解】解：如图，过作，则， 在中，， 当点在点右侧时，即， 如图，在上截取， 此时， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 当点在点左侧，即， 此时点与上述情况的点重合， ； 综上，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点． (1)如图，求证：点到三边，，所在直线的距离相等； (2)如图，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． () 作，，，由角平分线的性质，即可证得结论； ()先借助()的结论得出平分，得，再利用分别平分的外角，结合内角和求出的度数，进而算出外角和；最后通过三角形外角性质推导的度数，再根据角平分线求出的度数． 【详解】（1）证明：过点分别作，，，垂足分别为，，． ∵是的外角的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∴， ∴点到三边，，所在直线的距离相等． （2）解：由得， ∴． ∵是的外角的平分线，是的外角的平分线， ∴，． 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（6分）（25-26八年级上·江西景德镇·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，小正方形边长为1，请你按照下列要求作图． (1)如图1，请你在网格中，画出三边为有理数的等腰三角形； (2)如图2，请你在网格中画出斜边为5，两条直角边为无理数的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图、勾股定理和逆定理的应用． （1）根据，可以构造长为5的斜线段，由此即可构造边长为5，5，6的等腰三角形， （2）根据，而，，由此构图即可解答． 【详解】（1）解：如图1， （2）如图2， 19．（8分）（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 过点．若直线 与x轴、y轴分别交于点B、D，且与直线交于点C，点C的横坐标为2． (1)求直线的表达式； (2)直线 上是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；或 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，用待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质， （1）先求出 解析式得到，将代入，求解即可； （2）先求出，得到，，则是等腰直角三角形，得到，再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ， 当时，， ∴， 将代入，得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：当时，，解得， ∴， ∴，， 当时，，即， ∴是等腰直角三角形， ∴； 分以下两种情况： ①过点A作x轴的垂线，交直线于点M， 在 中，令，则， ∴， 即此时是等腰直角三角形，； ②如图，取的中点N，过点N作x轴的垂线，交直线于点，由垂直平分线的性质可得， ∴， ∴， 即此时是等腰直角三角形， 由N为的中点，易得， 在 中，令，则， ∴． 综上，直线上存在点M，使为等腰直角三角形，点M的坐标为或． 20．（8分）（25-26八年级上·福建龙岩·月考）“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，我们常用图形面积来解释一些公式或完成证明． (1)如图1，通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式：________； (2)图2是我国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为c，直角三角形的长直角边长为b，短直角边长为a，请通过面积证明：； (3)由（2）可知，在直角边分别为，斜边为c的直角三角形中，有．请你用这个结论解决问题：如图3，在中，，点E在上，将沿折叠，点C的对应点D恰好落在上，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】题目主要考查完全平方公式与图形的关系，勾股定理解三角形，折叠的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据图形计算面积即可得出相应公式； （2）根据题意利用两种方式计算正方形面积即可得出结果； （3）根据勾股定理得出，再由题意得出，，设，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，大正方形的面积可以表示为：，， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意得，大正方形的面积为：， ∵大正方形是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的，直角三角形的长直角边长为b，短直角边长为a， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵将沿折叠，点C的对应点D恰好落在上， ∴，， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的长为． 21．（10分）（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解； （2）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ； （2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ． 22．（10分）（25-26九年级上·甘肃白银·期末）如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或10 【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质得出是等边三角形，可得出相等的角和边，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）如图：在上取点，使得，连接，根据条件证明，得出，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；； （3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：，证明如下：    如图：在上取点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：①如图，当点E在线段上时，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，    ， ∵四边形为正方形，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得：， ∴． ②如图，当点E在延长线上时，取的中点G，连接，    ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得∶． ∴． 综上所述，的长为或10． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识以及正确作出辅助线是解题的关键． 23．（12分）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”．    (1)如图1，在△ABC中，D是边BC上一点，若∠B=30°，∠BAD=∠C=40°，求证： AD为△ABC的“等角分割线”； (2)如图2，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°； ①画出△ABC的“等角分割线”，写出画法并说明理由； ②若BC=3，求出①中画出的“等角分割线”的长度． (3)在△ABC中，∠A=24°，若△ABC存在“等角分割线”CD，直接写出所有符合要求的∠B的度数． 【答案】（1）见解析（2）①见解析②2（3）44°， 52°， 54°， 108° 【分析】⑴根据题目中的已知角的度数可以得到∠BAD=∠C=40°，∠ADB=∠BAC=110° 又∠B=∠B，得出△ABD的三个内角与△ABC的三个内角的度数分别相等；根据三角形的外角求出∠ADC=70°，∠BAD+∠CAD=110°得到∠CAD=70°得出△ADC是等腰三角形，所以AD为△ABC的“等角分割线”. ⑵①依据“等角分割线”定义画出即可，②AD平分∠BAC， ∠ACD=30°，设CD=x，则AD=BD=2x，BC=BD+CD=2x+x=3，即可求出AD=2x=2 ⑶分△ACD是等腰三角形DA=DC,DA=AC和△BCD是等腰三角形DB=BC,DC=BD四种情况，根据内角和定理及三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可. 【详解】(1)证明：∵∠B=30°，∠BAD=∠C=40° ∴∠ADB=∠BAC=110° 又∠B=∠B， ∴△ABD的三个内角与△ABC的三个内角的度数分别相等， ∵∠B=30°,∠BAD=40°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=70° 又∵∠C=40° ∴∠DAC=70°=∠ADC ∴AC=CD ∴△ADC是等腰三角形， ∴AD为△ABC的“等角分割线” (2)①画法：如图2，画∠BAC的角平分线，交BC于点D，线段AD即为所求， 理由如下： ∵∠C=90°，∠B=30° ∴∠BAC=60° ∵AD平分∠BAC ∴∠DAC =∠BAD =30°=∠B ∴∠ADC=60°=∠BAC 又∵∠C=∠C=90° ∴△ADC的三个内角与△ABC的三个内角的度数分别相等， ∵∠BAD=∠B ∴AD=BD ∴△ABD是等腰三角形， ∴AD为△ABC△ABC的“等角分割线” ②设CD=x ∵△ADC中，∠C=90°，∠DAC=30°， ∴AD=2x， ∴BD=AD=2x ∵BC=3 ∴x+2x=3 ∴x=1 ∴AD=2x=2； (3) ①当△BCD为等腰三角形，DB=BC时，如下图     ∵DB=BC，△ABC∽△ACD    ∴ ∠2=∠3，∠1=∠B    ∵∠2=∠A+∠1，∠2+∠3+∠B=180°    ∴ 2(∠A+∠1)+∠B=180°    ∴ 2(24°+∠B)+∠B=180°    ∴ ∠B=44° ②当△BCD是等腰三角形，DB=DC时，如下图 ∵DB=DC，△ABC∽△ACD ∴∠B=∠2,∠1=∠B ∵ ∠3=∠2+∠B，∠A+∠1+∠3=180° ∴ ∠A+∠1+∠3=24°+∠B+∠B+∠B=180° ∴ ∠B=52° ③当△ACD为等腰三角形，DA=CA时，如下图 ∠2+∠3=180°-∠A=180°-24°=156° ∠2=∠3=78° ∵△ABC∽△CBD ∴∠A=∠4=24° ∵ ∠B+∠4=∠3 ∴∠B=54° 当△ACD为等腰三角形，DA=DC时，如下图 ∵ DA=DC ∴ ∠A=∠1=24° ∴ ∠2=∠A+∠1=48° ∵△ABC∽△CBD ∴ ∠B=∠2+∠3=∠2＋∠A=108° 44°， 52°， 54°， 108°． 【点睛】本题主要考查了等角三角形的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键. 24．（12分）在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行证明即可； （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； （2）证明：如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明及其应用·拔尖卷 【新教材北师大版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，交于点．若，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，，连接，取的中点，连接．若，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在等边中，为边上的一点，若，为边上的一点，连接交的延长线于点，当时，，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 5．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，，则的面积为（   ） A．10 B．16 C．20 D．25 6．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，，将边沿翻折，使点落在上的处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形．若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，是的角平分线，且．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．，则下列结论：①点是的中点；②是等腰三角形；③与互补；④的长是1；⑤的面积是2．其中结论正确的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，，的垂直平分线分别交和于点D和P，的垂直平分线分别交和于点E和Q，若，则的度数是 ． 12．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则 ． 13．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）如图，已知，点…，在射线上，点…，在射线上，若，，…，依此规律作图至点，则的长为 ． 14．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 15．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在中，，，点为的中点，点为延长线上一点，连接交于点，过点作，与的延长线相交于点，若，，的面积是36，则的长为 ． 16．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，射线外有一点，且到射线的距离为6，若点是射线上的一个动点，则当线段与射线所夹锐角是的两倍时，的长为 ．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点． (1)如图，求证：点到三边，，所在直线的距离相等； (2)如图，连接，若，求的度数． 18．（6分）（25-26八年级上·江西景德镇·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，小正方形边长为1，请你按照下列要求作图． (1)如图1，请你在网格中，画出三边为有理数的等腰三角形； (2)如图2，请你在网格中画出斜边为5，两条直角边为无理数的直角三角形． 19．（8分）（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 过点．若直线 与x轴、y轴分别交于点B、D，且与直线交于点C，点C的横坐标为2． (1)求直线的表达式； (2)直线 上是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（8分）（25-26八年级上·福建龙岩·月考）“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，我们常用图形面积来解释一些公式或完成证明． (1)如图1，通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式：________； (2)图2是我国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为c，直角三角形的长直角边长为b，短直角边长为a，请通过面积证明：； (3)由（2）可知，在直角边分别为，斜边为c的直角三角形中，有．请你用这个结论解决问题：如图3，在中，，点E在上，将沿折叠，点C的对应点D恰好落在上，求的长． 21．（10分）（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 22．（10分）（25-26九年级上·甘肃白银·期末）如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 23．（12分）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”．    (1)如图1，在△ABC中，D是边BC上一点，若∠B=30°，∠BAD=∠C=40°，求证： AD为△ABC的“等角分割线”； (2)如图2，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°； ①画出△ABC的“等角分割线”，写出画法并说明理由； ②若BC=3，求出①中画出的“等角分割线”的长度． (3)在△ABC中，∠A=24°，若△ABC存在“等角分割线”CD，直接写出所有符合要求的∠B的度数． 24．（12分）在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $