第五部分 第3节  二次函数与一元二次方程-2025-2026学年初中数学计算能力强化训练

初中数学计算能力强化训练九年级+中考 第3节 二次函数与一元二次方程 ○练习1 难度：容易☑中等☐难■ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.求二次函数y=x2一4x+3的图像与坐标轴的交点坐标. 2.已知二次函数y=x2+x-2025与x轴的交点的横坐标为m,n,求1+1的值. 3.已知二次函数y=x2一2x一3的图像与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C. (1)求点A,B,C的坐标， (2)求△ABC的面积. 2/B 4 2 4.若二次函数y=x2一2018x十2019的图像与坐标轴的两个交点为(m,0)与(，0)，求 (m2-2019m+2019)(n2-2019n+2019)的值. 34 第五部分 二次函数 ○练习2 难度：容易☑中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.不画图像，判断函数y=2x2十x十1的图像与x轴是否有公共点.如果有，写出公共点的 坐标. 2.已知二次函数y=2x2十2x十k一2的图像与x轴有两个交点，求实数k的取值范围. 3.已知抛物线y=x2一mx十2(m一3).求证：不论m为何实数，这个抛物线与x轴总有两个 交点. 4.已知二次函数y=x2一2mx+2m2+1(m是常数). (1)求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点 (2)如果把该函数图像沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数图像与x轴只有一 个公共点，求m的值. 357 初中数学计算能力强化训练九年级+中考 ○练习3 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.已知抛物线y=ax2十4ax十c与x轴的一个交点的坐标是(1,0)，求抛物线与x轴的另一 个交点的坐标. 2.已知二次函数y=ax2十bx十c的对称轴是直线x=1,若关于x的一元二次方程ax2十 bx十c=0的一个根为x=6,求方程的另一个根. 3.已知二次函数y=x2一(m2十8)x十2(m2+6).设这个函数的图像与x轴交于B,C两点， 与y轴交于点A,若△ABC的面积为48，求m的值. 36抛物线的顶点在x轴上时，令y=0,则x2+2ax十 2a2+3a一4=0有两个相等的实数根，∴.(2a)2 4(2a2+3a-4)=0,解得a=1或a=-4,对应顶 点坐标为（一1,0）或(4,0).综上所述，a的值为0或 1或一4，顶点坐标为(0，一4)或（一1,0）或(4,0). 第2节用待定系数法确定二次函数表达式 练习1 1.把点(-1,4)的坐标代人y=ax2,得4=a×(-1)2, 解得a=4,∴.这个函数的表达式为y=4x2. 2.把点(-2,0)的坐标代入y=x2-x-3k,得 (一2)2-k·（一2)一3k=0,解得k=4,.抛物线 的函数表达式为y=x2一4x一12. 3.二次函数y=(x-1)2十n,当x=2时，y=2, .2=(2一1)2十n,解得n=1,.该二次函数的表 达式为y=(x-1)2+1. 4.（1),y与x2成正比例，.设y=kx2(k≠0). 当x=1时，y=2,.2=·1,解得k=2,y与 x之间的函数表达式为y=2x2.(2)当x=一1 时，y=2×(-1)2=2. 练习2 1.把点(2,3)和（一1，一3）的坐标代入y=ax+c, 得4a十c-3,解得0=2，÷这个二次函数的 {a+c=-3, 1c=-5, 表达式为y=2x2-5. 2.（1)把点(-3,0)，(2，-5)的坐标代入y=ax2十 6x+3,得9a一36十30，解得g二2该 14a+2b+3=-5, 二次函数的表达式为y=一x2一2x十3.(2)点 P(一2,3)在这个二次函数的图像上.理由如下： 当x=-2时，y=-(-2)2-2×(-2)+3=3, .点P(一2,3)在这个二次函数的图像上. 3.把点(-1,0)，(1，-4)的坐标代入y=ax2+bx 3,得0=a-63。解得=1，把（0，-3)， 1-4=a+b-3, 1b=-2. (2,-3)的坐标代入y=x2一2x一3，都成立， ∴.该抛物线的函数表达式为y=x2一2x一3. 4.(1)根据题意，得h=2,∴.该抛物线的函数表达式为 y=a(x十2)2.，该抛物线过点(1，-3)，.一3= 9a,解得a=一子…该抛物线的函数表达式为y一 -号x+2.(2):a=-}<0,抛物线开口 向下，又.对称轴为直线x=一2，.当x<一2 时，y随x的增大而增大 练习3 1.设该抛物线的函数表达式为y=a(x-4)2 1(a≠0).把点(0,3)的坐标代入，得16a一1=3， 解得a=},“该抛物线的函数表达式为y 68 红-4r-1 2.:该二次函数的图像以直线x=0为对称轴， .设该二次函数的表达式为y=a.x2十c(a≠0). 把点(3,0)，(2，一5)的坐标代入y=ax2十c,得 0=9十c,解得公'g,二该三次函数的表 {-5=4a+c, 达式为y=x2一9. 3.(1),当自变量x=4时，二次函数有最小值一3， .顶点坐标为(4，一3)，.可设二次函数的表达 式为y=a(x-4)2-3.把点(1,0)的坐标代人， 得9a-3=0,解得a=号∴这个二次函数的表 达式为y=号x-40-8.(2)”y=专红 4)2一3，.对称轴为直线x=4,又.抛物线与 x轴的一个交点的坐标为(1,0)，.抛物线与 x轴另一个交点的横坐标为2×4一1=7. 4.(1)A为该函数图像的顶点，.可设二次函数 的表达式为y=ax2一6，又，二次函数的图像经 过点B(-1,-5),∴.a-6=-5,解得a=1,∴.二 次函数的表达式为y=x2-6.(2)根据题意， 可设二次函数的表达式为y=a(x十3)2十k.把 点A(0,一6)，B(-1,一5)的坐标代入，得 1 9a十k=一6'解得 a=- 5’ .二次函数的表 14a+k=-5, 21 k=- 5 达式为y=一日x+3)- 51 练习4 1. 设二次函数的表达式为y=ax2十bx十c.把点 A(1,0),B(0,6),C(4,6)的坐标代入，得 a+b+c=0, [a=2, c=6, 解得{b=一8，.这个二次函数 16a+4b+c=6, c=6, 的表达式为y=2x2-8x十6. 2.设该抛物线的函数表达式为y=a(x十1)(x一5). 把点C(0,5)的坐标代入，得5=一5a,解得 a=一1，故该抛物线的函数表达式为y=一(x十 1)(x-5)=-x2+4x+5. 3.把(0,1)，(1，-2)，(2,1)的坐标代人y=ax2+ [c=1, a=3, bx十c,得{a十b十c=-2,解得b=-6,∴.这个 4a+2b+c=1, (c=1, 二次函数的表达式为y=3x2-6x十1. 第3节二次函数与一元二次方程 练习1 1.当x=0时，y=3,.抛物线与y轴的交点为 (0,3);当y=0时，x2-4x十3=0，解得x=1或 x=3,.抛物线与x轴的交点为(1,0)，(3,0). 2.由题意可知，方程x2十x一2025=0的两根分别 为m,n,∴.m+n= -}=-1,mm=-2,025- 1 -2025,.1+1=m+n= -1 mnmn-20252025 3.(1)令x=0,得y=-3,∴.C(0,-3);令y=0,得 x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,∴.A(-1,0), B(3,0).(2)A(-1,0),B(3,0),C(0,-3), ∴AB=4,0C=3,5e=2AB·0C=2× 2 4×3=6. 4.,抛物线y=x2一2018x十2019与x轴的两个 交点为(m,0)与(n,0),.m2-2018m十2019= 0,n2-2018n+2019=0,mn=2019,∴.(m2 2019m+2019)(n2-2019n+2019)=-m· (-n)=mn=2019. 练习2 1.令y=0,得2x2+x+1=0,∴.b2-4ac=12-4×2× 1=一7<0，.此函数的图像与x轴没有公共点. 2.,抛物线与x轴有两个交点，.方程2x2+2x十 k一2=0有两个不同的实数根，∴.b2一4ac=22 4×2×(k-2)=-8k+20>0,解得k<2.5. 3.证明：，b2-4ac=(-m)2-4×1×2(m-3)= m2-8m+24=m2-8m+16+8=(m-4)2+8> 0,.不论m为何实数，这个抛物线与x轴总有 两个交点. 4.(1)证明：b2-4ac=(-2m)2-4×1×(2m2+ 1)=-4m2-4<0,∴.不论m为何值，该函数的 图像与x轴没有公共点.(2)，y=x2-2mx+ 2m2+1=(x一m)2+m2+1,∴.抛物线的顶点坐 标为(m,m2十1).，把该函数图像沿y轴向下平 移3个单位长度后，得到的函数图像与x轴只有 一个公共点，.m2十1=3，解得m1=√2，m2= 一√2，即m的值为士√2. 练习3 1.,抛物线y=a.x2+4ax+c的对称轴为直线x= -4=一2，且抛物线与x轴的一个交点的坐标是 2a (1,0),∴.一2×2-1=一5，即抛物线与x轴的另 一个交点的坐标是（一5,0） 2.由题意可知，一名-1，即6=-2a,设方程的另 一个根为m,则6十m=一b=一二2a=2,解得 a m=一4，即方程a.x2十bx+十c=0的另一个根为 x=-4. 3.由题意可得BC=|x一2=√（十x2)2-4x2= √(m2+8)2-8(m2+6)=√/(m2+4)2=m2+4, ∴Sa=号BC,0A=2m+0·(2m2+12)= m4+10m2+24.又.S△ABc=48,.m4+10m2+ 24=48,整理，得(m2一2)·（m2+12)=0. m2+12>0,.m2-2=0,解得m=土√2. 第4节用二次函数解决问题 练习1 1.(1)根据题意，得y=100-5x.(2)设客房日租金 的总收入为P元，则P=(120+10x)(100-5x)= 一50(x-4)2+12800,∴.当x=4时，P取得最大 值，最大值为12800，此时每间客房的日租金为 120十10×4=160（元）.答：旅馆将每间客房的日 租金提高到160元时，客房日租金的总收人最 高，最高总收人是12800元. 2.(1)根据题意，得y=100-10.一50=一2z十 5 200.(2)根据题意，得W=(x一40)（一2x+ 200)=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+ 1800.-2<0,.当x=70时，W最大，W最大= 1800.答：当售价定为70元时，每天的总利润最 大，最大利润是1800元. 练习2 1.建立如图所示的 VA 平面直角坐标系 xOy,则点A的坐 标为(2，一2).设 抛物线的函数表达 式为y=ax2,将点 A2,-2)的坐标代入，得4如=-2，解得a=一 抛物线的函数表达式为y=一2.当y=一3 时，有-3=-，解得x=士6,6 (-√6)=2√6(m).答：水面下降1m后，水面的 宽度为2√6m. 2.建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则C(0, 4),A(一5,0)，B(5,0).设抛物线的函数表达式 为y=ax2十c,根据题意，得4=C: 解得 {0=25a+c, 4 云'：抛物线的函数表达式为y=一会十 c=4, 4 4当y=2.4时有2.4=一252+4，解得= 69