精品解析：辽宁省沈阳市第四十三中学2025-2026学年七年级下学期数学期末试卷

七下数学限时作业B（十四） 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四幅图是我国一些省级图书馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列成语所反映的事件中，是随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 旭日东升 D. 水滴石穿 4. 如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（    ） A. 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 B. 三角形的角平分线是射线 C. 三角形的三条中线交于一点 D. 三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形 6. 小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … … 输出 … … 那么，当输入数据时，输出的数据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，将剩下的部分对折、剪裁，拼接成一个如图2所示的梯形，则利用面积恒等能验证的公式是（ ） A. B. C. D. 8. 一副三角尺如图放置，为中点，将绕点旋转，边分别与边分别交于点，若，则阴影部分面积为（　　） A. B. C. D. 9. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A. 8 B. 3 C. 6 D. 4 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. “夜深知雪重，时闻折竹声．”这是白居易《夜雪》中对雪的描写．单个雪花的质量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为________． 12. 如图，在的棋盘内已有四个棋子，在剩余的方格内继续随机放入棋子（每一方格内最多放入一个棋子），如果有三个棋子在同一直线上，我们称之为“三连珠”．现随机放入一个棋子，出现“三连珠”的概率是________． 13. 在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度与此高度处气温的关系： 海拔高度 … 气温 … 根据表中的数据表示出与的关系式为________． 14. 青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为_______． 15. 已知为等腰三角形，且，为腰边的高，为的角平分线，若，则的度数为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2）用简便方法计算： 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图是一个“巴”字，如图是由图抽象出的几何图形，其中，，．求证：． 证明：（已知）， （① ）． 又， （② ）（等量代换）． （③ ）． ， （⑤ ）． （⑥ ）． （等量代换）． （已知）， （⑦ ）． （⑧ ）． 19. 在一个不透明的袋子中装了个红球和个白球，这些球除颜色外都相同． （1）求从袋子中摸出个球是红球的概率． （2）小宇从袋子中取出个白球，同时又放入相同数目的同样红球，经过反复试验，发现摸出一个球是红球的概率为，则的值为 ． 20. 如图，，点D在边上，与交于点P，已知，，，． （1）求的度数． （2）求与的周长和． 21. 小明星期天从家出发去小强家给小强过生日，他骑了一段时间后自行车发生故障，只能原地等待，同时电话联系小强，小强立刻骑自行车来接他，与小强相遇后，他搭乘小强的自行车一同去往小强家（两人接打电话和碰头，重新上车的时间均忽略不计），骑行速度变为之前小强骑行速度的一半．在这过程中，两人离小明家的距离s（千米）与小明所用时间t（小时）之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题． （1）两家相距________千米；发生故障后，小明原地休息了________小时与小强相遇；相遇前，小强骑行速度是________千米/小时； （2）求a的值； （3）小强在出发后多少小时与小明家相距10千米． 22. 如图，是的平分线，为射线上一个动点，以为圆心，截取交于点，为射线上一定点，将沿折叠得到，在直线上取一点使得，连接． （1）点在如图位置时； ①证明：； ②图中可表示的的补角是 ； （2）请直接写出在运动过程中、、的等量关系 ． 23. 【发现问题】 在综合与实践课上，小宣遇到了如下问题： （1）如图，，，求边上的中线的取值范围．请你帮小宣解决此问题，的取值范围是 ； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【灵活运用】 （2）大为同学又遇到了新的问题．如图，是的中线，是的中线，，求证：；请你尝试帮助该同学解决问题． 【拓展延伸】 （3）如图，在中，，，与相交于点，，，，的面积为，则的面积是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七下数学限时作业B（十四） 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四幅图是我国一些省级图书馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形是轴对称图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法则，积的乘方和幂的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选D． 3. 下列成语所反映的事件中，是随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 旭日东升 D. 水滴石穿 【答案】B 【解析】 【详解】解：先明确事件的定义：在一定条件下，一定发生的事件是必然事件，一定不发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件； ∵水中捞月一定不会发生，是不可能事件，∴A错误； ∵一箭双雕可能发生，也可能不发生，符合随机事件的定义，∴B正确； ∵旭日东升每天一定会发生，是必然事件，∴C错误； ∵水滴石穿在长期作用下一定会发生，是必然事件，∴D错误． 4. 如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，根据作图得到，同位角相等，两直线平行，得到，进而得到，进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∴， 条件不足，无法得到； 故选A． 5. 下列说法正确的是（    ） A. 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 B. 三角形的角平分线是射线 C. 三角形的三条中线交于一点 D. 三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角形的高的交点在三角形的内部，直角三角形的高的交点即直角顶点，钝角三角形的高所在的直线的交点在三角形的外部．以及三角形的中线，角平分线的性质即可作出判断． 【详解】解：A．直角三角形的三条高线的交点是三角形的直角顶点，在三角形上，故选项错误； B．三角形的角平分线是线段，故选项错误； C．正确； D．三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，故选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，都是需要熟记的内容． 6. 小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … … 输出 … … 那么，当输入数据时，输出的数据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题为数字规律探究题，分别观察输出数据的分子分母与输入数据的关系，总结规律即可求解． 【详解】解：设输入数据为，观察表格可得： 当时，输出； 当时，输出； 当时，输出； 当时，输出； ……； 因此总结规律：当输入数据为时，输出数据为； ∴将代入公式，得输出数据为． 7. 如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，将剩下的部分对折、剪裁，拼接成一个如图2所示的梯形，则利用面积恒等能验证的公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意知，图2梯形的高为， 左图中阴影部分的面积是，右图中梯形的面积是， ． 8. 一副三角尺如图放置，为中点，将绕点旋转，边分别与边分别交于点，若，则阴影部分面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质等，连接，由等腰三角形的性质可得，，，进而由余角性质得，即得，即可得，得到，利用中线性质求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵是等腰直角三角形，点是斜边的中点， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 10. 如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A. 8 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：A． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. “夜深知雪重，时闻折竹声．”这是白居易《夜雪》中对雪的描写．单个雪花的质量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，在的棋盘内已有四个棋子，在剩余的方格内继续随机放入棋子（每一方格内最多放入一个棋子），如果有三个棋子在同一直线上，我们称之为“三连珠”．现随机放入一个棋子，出现“三连珠”的概率是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，共有5种等可能的结果，其中出现“三连珠”的情况有4种（放在第2行从左往右第3个方格中不能形成）， 故. 13. 在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度与此高度处气温的关系： 海拔高度 … 气温 … 根据表中的数据表示出与的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察表格数据可得，海拔高度与气温满足一次函数关系，设出一次函数解析式，利用待定系数法求解即可. 【详解】解：由表格规律可知，是的一次函数，设， 由表格得，当时，；当时，， 代入得，解得， 故与的关系式为. 14. 青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、全等三角形的性质、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示，再运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图2， ∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴，即阴影部分的面积为10． 故答案为：10． 15. 已知为等腰三角形，且，为腰边的高，为的角平分线，若，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分为锐角和为钝角进行讨论，再结合高的位置分情况讨论，结合等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余和角平分线的定义计算的度数． 【详解】设， ∵， ∴． 情况1：为锐角，高在内部，且，在边上时，如图， ∵， ∴， 在中，，则， ∵平分， ∴， 由，得： ， 解得， 即． 情况2：为锐角，高在内部，且，在边上时，如图， ∵， ∴， 在中，，则， ∵平分， ∴， 由，得： ， 解得，不符合题意； 情况3：为钝角，高在外部，在的延长线上，如图， ∵， ∴，， 在中，，则， ∵平分， ∴， 由，得： ， 解得， 即． 综上，的度数为或． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2）用简便方法计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 2a-6b，14． 【解析】 【分析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可． 【详解】解：[（a-2b）2-（a-2b）（a+2b）+4b2]÷（-2b） =（a2-4ab+4b2-a2+4b2+4b2）÷（-2b） =（-4ab+12b2）÷（-2b） =2a-6b， 当a=1，b=-2时，原式=2×1-6×（-2）=2+12=14． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 18. 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图是一个“巴”字，如图是由图抽象出的几何图形，其中，，．求证：． 证明：（已知）， （① ）． 又， （② ）（等量代换）． （③ ）． ， （⑤ ）． （⑥ ）． （等量代换）． （已知）， （⑦ ）． （⑧ ）． 【答案】①两直线平行，同旁内角互补；②；③同旁内角互补，两直线平行；④；⑤平行于同一条直线的两条直线互相平行；⑥两直线平行，同位角相等；⑦等量代换；⑧同角的补角相等 【解析】 【分析】根据已知的，判断此处用到的平行线性质定理，推导与的数量关系，再通过等量代换得到与的和为，再依据平行线的判定定理推出，根据平行公理的推论得到两条直线都与平行，再利用平行线的性质推导与的关系，最后利用同角的补角相等的性质完成最终证明即可． 【详解】略． 19. 在一个不透明的袋子中装了个红球和个白球，这些球除颜色外都相同． （1）求从袋子中摸出个球是红球的概率． （2）小宇从袋子中取出个白球，同时又放入相同数目的同样红球，经过反复试验，发现摸出一个球是红球的概率为，则的值为 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）利用概率列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，从袋子中摸出个球是红球的概率为； 【小问2详解】 解：由题意，球的总数量不变仍为， ∵摸出一个球是红球的概率为， ∴现在袋里红球的数量为，解得. 20. 如图，，点D在边上，与交于点P，已知，，，． （1）求的度数． （2）求与的周长和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出、，根据三角形的周长公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴与的周长和为 ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． 21. 小明星期天从家出发去小强家给小强过生日，他骑了一段时间后自行车发生故障，只能原地等待，同时电话联系小强，小强立刻骑自行车来接他，与小强相遇后，他搭乘小强的自行车一同去往小强家（两人接打电话和碰头，重新上车的时间均忽略不计），骑行速度变为之前小强骑行速度的一半．在这过程中，两人离小明家的距离s（千米）与小明所用时间t（小时）之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题． （1）两家相距________千米；发生故障后，小明原地休息了________小时与小强相遇；相遇前，小强骑行速度是________千米/小时； （2）求a的值； （3）小强在出发后多少小时与小明家相距10千米． 【答案】（1）12，1，8 （2） （3）小强在出发或小时后距离小明家10千米． 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，关键是读懂图象，根据图象的数据进行解题． （1）由图象结合实际意义解答即可； （2）先求出相遇前，小强骑行速度，得到相遇后，骑行速度，据此求解即可； （3）分相遇前和相遇后两种情况讨论，列一元一次方程并求解可得答案． 【小问1详解】 解：根据图象可知两家相距12千米； 发生故障后，小明原地休息了小时与小强相遇； 相遇前，小强骑行速度是千米/小时； 故答案为：12，1，8； 【小问2详解】 解：∵相遇前，小强骑行速度是千米/小时； ∴相遇后，骑行速度是4千米/小时， ∴小时， ∴； 【小问3详解】 解：小强出发后x小时距离小明家相距10千米，由题可得 相遇前：， 解得：； 相遇后：， 解得：， ∴小强在出发或小时后距离小明家10千米． 22. 如图，是的平分线，为射线上一个动点，以为圆心，截取交于点，为射线上一定点，将沿折叠得到，在直线上取一点使得，连接． （1）点在如图位置时； ①证明：； ②图中可表示的的补角是 ； （2）请直接写出在运动过程中、、的等量关系 ． 【答案】（1）①证明：是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ②（或） （2） 【解析】 【分析】（1）①利用等腰三角形的性质和角平分线的定义，再利用“”的判定方法进行证明即可； ②先利用等腰三角形内角和性质推导与的数量关系，再结合折叠性质及角平分线定义推导与的数量关系，根据补角的定义求解即可； （2）先由折叠性质得到，再结合（1）的全等结论得到，分点在点、之间和点在点外侧两种情况，根据线段和差关系推导等量关系即可． 【小问1详解】 解：①略； ②在中，， ， 是的平分线， ， ， 是的补角； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， 由折叠性质得， ， 当点在点、之间时，如图所示： ； 当点在点外侧时，如图所示： ， 综上所述，点在运动过程中、、的等量关系为． 23. 【发现问题】 在综合与实践课上，小宣遇到了如下问题： （1）如图，，，求边上的中线的取值范围．请你帮小宣解决此问题，的取值范围是 ； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【灵活运用】 （2）大为同学又遇到了新的问题．如图，是的中线，是的中线，，求证：；请你尝试帮助该同学解决问题． 【拓展延伸】 （3）如图，在中，，，与相交于点，，，，的面积为，则的面积是________． 【答案】（1） （2）证明：如图2，延长至点M，使得，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， 、， 是的中线、， 、， ， 在和中， ， ， ， 即； （3）20 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形三边关系，通过倍长中线构造全等三角形是解题的关键． （1）采用“倍长中线法”构造全等三角形，将、、转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求的取值范围； （2）同（1）采用“倍长中线法”构造全等三角形，结合的条件推导边和角的等量关系，再证明包含和的三角形全等，进而得到角相等； （3）先采用“倍长中线法”构造全等三角形，求出、，再证明，将转化为，最后利用求解即可． 【小问1详解】 解：如图1所示，延长至点E，使得，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 的取值范围是； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图3，延长至点，使得，连接， 在和中， ， ， 、， ， ， ， ，即， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $