第十三章 三角形 专项训练（简答题）-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 专项训练（简答题）-2025-2026学年人教版八年级上册数学 姓名： 班级： 一、解答题 1．等腰三角形中，腰长5cm，底边长6cm，求周长． 2．在△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长(不含中线)分为12cm与15cm两部分．求△ABC的各边长． 3．一个等腰三角形的周长为18cm． （1）已知腰长是底边长的2倍，求各边的长． （2）已知其中一边的长为4cm，求其他两边的长． 4．在中，，为的中线，且将周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长． 5．如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数． ​ 6．用一条长的细绳围成一个等腰三角形，若一腰长是底边长的倍，求各边的长． 7．如图，点D，E在线段BC上，AD=AE， AB=AC，证明：BD＝CE 8．已知△ABC的两边是关于x的方程x2-10x+m=0的两根，第三边的长为4，当m为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这两边的长。 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC的度数． 10．已知在△ABC中，AB＝AC，且线段BD为△ABC的中线，线段BD将△ABC的周长分成12和6两部分，求△ABC三边的长． 11．设，，是的三边，化简：． 12．已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长. 13．已知△ABC的三边长分别为m+2，2m-1，8． （1）求m的取值范围． （2）若△ABC是以8为底的等腰三角形，求底边上的高． 14．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果底边长是腰长的一半，求腰长； （2）能围成有一边长为的等腰三角形吗？如果能，请求出它的底边长． 15．一个等腰三角形的周长为． （1）已知腰长是底边长的2倍，求各边的长； （2）已知其中一边的长为．求其它两边的长． 16．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线. （1）CD　 　AC.（填“<”或“>”） （2）AC+BC　 　AB（填“<”或“>”） （3）若点E是线段AB上的一个动点，连结CE，则CD　 　CE.（填“≤”或“>”） 17．已知，，为的三边长，且，满足，为方程的解，求的周长，并判断的形状． 18．已知，，是的三边长，、满足，且边长的值为偶数，则的周长为多少？ 19．已知a，b，c分别是三角形的三条边的长度，化简代数式：． 20．在 中， 为边上的中线，把 的周长分成12和 10两部分，求底边的长． 21． 在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=3∠ACB，点D在直线AB上，AD=AC，求∠BCD的度数. 22． 如图，在△ABC中，AE=BE，∠AED=∠ABC. （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若AB=CB，∠AED=4∠EAD，求∠C的度数. 23．如图，在中，，，，求的度数． 24．如图，已知D为的边延长线上一点，，垂足是F，交于点E，，，求的度数． 25．【定义】如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“非余三角形” （1）如图，若是等边三角形，是边的中线，请你判断是否为“非余三角形”，并说明理由； （2）若是“非余三角形”，，则中最小角的度数为 ． 26．如图，在中，线段是边上的高． （1）若是边上的中线，，，求的长； （2）若是的平分线，，，求的大小． 27．如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，…．若，，求的度数． 28．在△ABC中，∠A＝30°，∠DCE=15°，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠B的度数． 29．如图，中，是边上的高，是边上的中线，，． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 30．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，若∠BAC∶∠B∶∠C=4∶3∶2，求∠DAE的度数． 答案解析部分 1．【答案】解：腰长5cm，底边长6cm，， 满足三角形的三边关系，周长为； 答：周长为．． 【解析】【分析】根据三角形周长即可求出答案. 2．【答案】解：为的中线， . 设，则. 当时，解得， ，解得， 此时的三边长为. 当时，，解得7cm， 此时的三边长为. 综上，各边长分别为8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm. 【解析】【分析】根据三角形的中线性质，可得AD=CD；根据等腰三角形两腰相等，列一元一次方程，分类讨论，解方程即可求出三边的长度. 3．【答案】（1）设底边长为，则腰长为，由题意得，解得， 等腰三角形三边长为3.6cm，7.2cm，7.2cm. （2）①当等腰三角形的底边长为4cm时，腰长， 则等腰三角形的三边长为4cm，7cm，7cm，能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为4cm时，底边长=18-2×4=10(cm)， 则等腰三角形的三边长为4cm，4cm，10cm，不能构成三角形. ∴等腰三角形另外两边的长为7cm，7cm. 【解析】【分析】（1）根据等量关系列一元一次方程方程，解方程即可求出等腰三角形的腰长和底边长； （2）根据等腰三角形的性质，两腰相等，分类讨论；根据三角形的三边关系判定是否可以构成三角形. 4．【答案】解：设AD=BD=xcm，则AC=2AD=2xcm， ∵ AB=AC， ∴ AB=2x， 根据题意得，AB+AD=12或15，CD+BC=15或者12， 即3x=12 或3x=15， ∴ x=4或5， ∴ AB=AC=8，BC=11，或AB=AC=10， BC=7， 答：三角形的三边长分别为：8cm，8cm，11cm或7cm，10cm，10cm． 【解析】【分析】设AD=BD=xcm，根据等腰三角形的性质可得AB=2x，分情况：△ABD周长为12cm和△ABD周长为15cm，即可求得. 5．【答案】解：∵AB=BD， ∴∠BDA=∠A， ∵BD=DC， ∴∠C=∠CBD， 设∠C=∠CBD=x， 则∠BDA=∠A=2x， ∴∠ABD=180°﹣ 4x， ∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°， 解得：x=25°，所以2x=50°， 即∠A=50°，∠C=25°． 【解析】【分析】由于AB=BD=DC，所以△ABD和△BDC都是等腰三角形，可设∠C=∠CDB=x，则∠BDA=∠A=2x，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理的推论，可以求出∠A，∠C度数． 6．【答案】解：设底长为 ，则腰边长为 ， 根据题意得 ， 解得 ， 当 时， ， 所以三角形的腰长为 、 ，底边长为 ，符合题意； 【解析】【分析】设底长为 ，则腰边长为 ，根据题意列出方程，求出x的值，再求出三角形各边的长即可。 7．【答案】证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P， ∵AB=AC，AP⊥BC， ∴BP=CP， ∵AD=AE， ∴DP=EP， ∴BP-DP=CP-EP，即BD=CE． 【解析】【分析】过点A作AP⊥BC于点P，根据等腰三角形的性质可得BP=CP、DP=EP，然后根据线段的和差关系进行证明. 8．【答案】解：设△ABC的两点a，b是关于x的方程 x2-10x+m=0的两根， ∴a+b=10，ab=m， ∴当a=b=5时，则m=25，△ABC是等腰三角形； 当a=4时，b=6，则m=24，△ABC是等腰三角形； 当b=4时，a=6，则m=24，△ABC是等腰三角形； 综上所述： 当m＝25时，△ABC为等腰三角形，这两边的长分别为5，5； 当m＝24时，△ABC为等腰三角形，这两边的长分别为4，6。 【解析】【分析】先求出a+b=10，ab=m，再分类讨论，利用等腰三角形的性质计算求解即可。 9．【答案】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠DAE＝∠BAD＝28°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝ （180°﹣∠DAE）＝ ×（180°﹣28°）＝76°， ∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14° 【解析】【分析】由条件可先求得∠DAE，再根据等腰三角形的性质可求得∠ADC，则可求得∠EDC． 10．【答案】解：设腰长为 ，底边长为 ， 当12为腰长加腰长的一半时，则： ，解得 此时三角形的三边长为 ，能组成三角形 当6为腰长加腰长的一半时，则 解得 ， 此时三角形的三边长为 ，不能组成三角形 故三角形的三边长为 【解析】【分析】 设腰长为 ，底边长为 ， 分两种情况：当12为腰长加腰长的一半时，当6为腰长加腰长的一半时，再利用二元一次方程组求解即可。 11．【答案】解：，，是的三边， ，，， ，， ．​​​​​​ 【解析】【分析】根据三角形三边关系得，，再根据绝对值性质以及合并同类项法则化简即可求出答案. 12．【答案】解：∵， ∴，解得， ∵a为方程的解， ∴或1， 当，，时，， 不能组成三角形，故不合题意； ∴， ∴的周长为： 【解析】【分析】根据偶次方的非负性，绝对值的非负性可得b，c值，再根据含绝对值的方程可得a值，再根据三角形周长公式即可求出答案. 13．【答案】（1）解：∵△ABC 的三边长分别为 m+2，2m-1，8． 解得 （2）解：∵△ABC 是以 8 为底的等腰三角形 ∴m+2=2m−1， ∴m=3， ∴2m-1=2×3-1=6-1=5， ∴△ABC的三边长分别为5，5，8， 如图：AB=AC=5，BC=8，过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∴， ∴， ∴底边上的高为3. 【解析】【分析】(1)根据三角形的三边关系可得：，然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算即可解答； (2)根据等腰三角形的性质可得2m-1=m+2，从而可得m=3，进而可得△ABC的三边长分别为5，5，8，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得BD=CD=4，从而在Rt△ABD中，利用勾股定理进行计算即可解答. 14．【答案】（1）解：设腰长为，则底边长为，由题意可得， ， 解得，， 等腰三角形的腰长为； （2）解：能围成有一边长为的等腰三角形，理由如下： 当腰长为时，则底边长为， ， 能围成有腰长为9的等腰三角形， 当底边长为时，则每个腰长为， ， 能围成有底边长为9的等腰三角形， 由上可得，三角形的底边为或． 【解析】【分析】（1）设腰长为，根据题意列方程，从而可以求得各边的长； （2）利用分类讨论，根据分别为腰和底边求出是否可以组成三角形，然后得出底边长即可． （1）解：设腰长为，则底边长为，由题意可得， ， 解得，， 等腰三角形的腰长为； （2）解：能围成有一边长为的等腰三角形，理由如下： 当腰长为时，则底边长为， ， 能围成有腰长为9的等腰三角形， 当底边长为时，则每个腰长为， ， 能围成有底边长为9的等腰三角形， 由上可得，三角形的底边为或． 15．【答案】（1）解：设底边长为，则腰长为， ∵三角形的周长是， ∴， 解得：，则， ∴这个等腰三角形的各边的长为，，； （2）解：①当底边长为时， 则腰长为：， 所以另外两边的长为，，且符合三角形三边关系定理； ②当腰长为时， 则底边长为：， 所以另外两边长为，，，不符合三角形三边关系定理． 综上，另外两边的长为，． 【解析】【分析】（1）设底边长为，则腰长为，根据周长列方程解题即可； （2）分类讨论，然后根据三角形三边关系判断求出的结果是否符合题意. 16．【答案】（1）＜ （2）＞ （3）≤ 【解析】【解答】解：（1）∵ 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线， ∴CD⊥AB， ∴CD＜AC； 故答案为：＜； （2）由三角形三边关系得AC+BC＞AB； 故答案为：＞； （3）∵CD⊥AB， 点E是线段AB上的一个动点， ∴当点E与点D重合时，CD=CE，当点E与点D不重合时，CD＜CE， ∴CD≤CE. 故答案为：≤. 【分析】（1）根据垂线段最短可作答； （2）根据三角形中任意两边之和大于第三边可作答； （3）由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短即可作答. 17．【答案】解：∵，，， 解得，． ∵c为方程的解， ∴， ∴或3． 当时，，不能构成三角形， ∴不符合题意； 当时，，能构成三角形， 此时，的周长为． 综上，的周长为18． ∵， ∴是等腰三角形． 【解析】【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是解题的关键．依据非负数的性质，即可得到a和b的值，再根据c为方程的解，即可得到或3，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长，以及的形状． 18．【答案】解：∵， ∴， 解得，， ∴，即， ∵为偶数， ∴或， 当时，的周长为：； 当时，的周长为：； 综上所述，的周长为或． 【解析】【分析】根据题意得到，求出的值，然后根据三角形三边数量关系，确定的值即可求解． 19．【答案】解：∵a，b，c分别是三角形的三条边的长度 ∴，，（‌三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边‌） ∴ 【解析】【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算，解题关键是根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负性，从而正确去掉绝对值符号；注意在去括号和合并同类项时要仔细运算. 20．【答案】解∶设，则． ①若，则∶， 解得，即． 此时， ∴． ②若，则， 解得，即． 此时 综上所述，底边的长为或． 【解析】【分析】设，则，再分类讨论：①若，则∶；②若，则，再分别求出x的值，可得CD的长，最后利用线段的和差求出BC的长即可. 21．【答案】解： ∠BAC=100° ， ∠ABC=3∠ACB 分两种情况： 当点D再BA的延长线上时 是ACD的一个外角 AD=AC 当点D在AB的延长线上时 ∠BAC=100°， AD=AC 综合上述， ∠BCD的度数是20°或70°。 【解析】【分析】先利用三角形内角和定理可得，从而可得，然后分两种情况：当点D再BA的延长线上时；当点D在AB的延长线上时，从而分别计算解答即可。 22．【答案】（1）证明： ∠AED=∠ABC. BD平分∠ABC （2）解：设 ，，BD平分∠ABC 解得 x= 【解析】【分析】(1)根据已知条件和三角形外角和性质证明，即 BD平分∠ABC； （2）设，根据三角形外角性质可得，则 ，根据三角形内角和定理可得，即，解得 x=，可得。 23．【答案】解：∵，， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】利用等边对等角的性质可得，，设，再利用角的运算和等量代换求出即可． 24．【答案】解：∵， ∴ ∴ ∴ ​​​​​​​ 【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得，根据对顶角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案. 25．【答案】（1）解：是“非余三角形”． 理由如下：∵是等边三角形， ∴，， ∵是边的中线， ∴，， 设，， ∵， ∴是“非余三角形”. （2） 【解析】【解答】（1）解：是“非余三角形”． 理由如下：∵是等边三角形， ∴，， ∵是边的中线， ∴，， 设，， ∵， ∴是“非余三角形”； （2）解：∵是“非余三角形”， ∴（与为的两个内角）， ①当时，得：， 解得：， ∴的第三个内角的度数是：， 此时中最小角的度数为； ②当时，得：， 解得：， ∴的第三个内角的度数是：， 此时中最小角的度数为； ③当的第三个内角的度数是时，得：， 解得：， 此时中最小角的度数为； 综上所述，中最小角的度数为， 故答案为：． 【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，，再根据中线求出，，最后计算求解即可； （2）先求出，再分类讨论，计算求解即可。 （1）解：是“非余三角形”． 理由：∵是等边三角形， ∴，， ∵是边的中线， ∴，， 设，， ∵， 是否为“非余三角形”； （2）∵是“非余三角形”， ∴（与为的两个内角）， ①当时， 得：，解得：， ∴的第三个内角的度数是：， 此时中最小角的度数为； ②当时， 得：，解得：， ∴的第三个内角的度数是：， 此时中最小角的度数为； ③当的第三个内角的度数是时， 得：， 解得：， 此时中最小角的度数为； 综上所述，中最小角的度数为． 故答案为：． 26．【答案】（1）解：是边上的高，，， ． ∴． 又是边上的中线， ． （2）解：∵ 线段是边上的高 ，∠C=60°， ∴∠EAC=180°-∠AEC-∠C=180°-90°-60°=30° ，， ． 又为∠BAC的平分线， ． ∴． 【解析】【分析】（1）结合已知条件以及三角形的面积公式先求得出，进而根据三角形的中线的性质求出BD的长； （2）根据三角形内角和定理求得∠EAC和，进而根据角平分线的性质可得，根据，即可求出的度数． （1）解：是边上的高，，， ． ， 解得． 又是边上的中线， ． （2），， ． 又为角平分线， ． 又， ，． 27．【答案】解：如图，由题意知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 答：的度数为． 【解析】【分析】本题考查三角形内角和定理.根据题意可得，，，利用三角形内角和定理可得：，代入数据进行计算可求出的度数，再根据平角的定义可得：，进而可推出，据此可求出答案. 28．【答案】解：∵CD是△ABC的高，∠DCE＝＝15°， ∴∠CED=90°-15°=75°， ∵∠A＝30° ∴∠ACE=75°-30°=45°， ∵CE是∠ACB的角平分线， ∴∠BCE=∠ACE=45°， ∴∠ACB=90°， ∴∠B＝60°， 【解析】【分析】根据高线可得∠CED的度数，再根据三角形的外角求得∠ACE的度数，进而根据角平分线得到∠BCE=∠ACE，即可求出∠B的度数即可. 29．【答案】（1）解：在中，，， ， 是边上的高， ， ； （2）解：是边上的高，且，， ， ， ， 是边上的中线， ． 【解析】【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的面积． （1）先利用三角形内角和定理求出，再根据是边上的高可得：，代入数据进行计算可求出得度数； （2）先利用三角形的面积公式可求出，再根据是边上的中线可得，代入数据进行计算可求出的长． （1）解：在中，，， ， 是边上的高， ， ； （2）解：是边上的高，且，， ， ， ， 是边上的中线， ． 30．【答案】解：∵∠BAC：∠B：∠C=4：3：2 ∴∠BAC=80°，∠C=40° ∵AE平分∠BAC ∴ ∵AD是BC边上的高线 ∴∠ADC=90° ∵∠C=40° ∴∠CAD=50° ∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10°. 【解析】【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理.根据∠BAC：∠B：∠C=4：3：2，利用三角形内角和定理可求出△ABC的三个内角的度数，再根据AE平分∠BAC，利用角平分线定义求出∠CAE的度数，利用三角形的高的定义可得∠ADC=90°，进而可求出∠CAD的度数，再利用角的运算可得∠DAE=∠CAD-∠CAE，代入数据可求出答案. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$