第十四章 全等三角形（证明题专题训练）-2025-2026学年人教版八年级上册数学暑假专项突破与能力提升训练

第十四章 全等三角形（证明题专题训练）-2025-2026学年人教版八年级上册数学暑假专项突破与能力提升训练 目录 考点一、三角形全等的判定-SAS 2 考点二、三角形全等的判定-ASA 8 考点三、三角形全等的判定-AAS 14 考点四、直角三角形全等的判定-HL 19 考点一、三角形全等的判定-SAS 1．如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，，，．求证：． 【答案】证明：∵，∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】根据题意得到，然后利用"SAS"证明，则，最后根据内错角相等，则两直线平行，据此即可求证. 2．如图，点D，E分别在AC，AB上，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，． ∴AD+CD=AE+BE，即AB=AC， 在△ABD和△ACE中， ∵AD=AE，∠A=∠A，AB=AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE （2）解：∵△ABD≌△ACE，， ∴∠B=∠C=30°， ∵， ∴∠ADB=180°-∠A-∠B=95°， ∵∠ADB=∠C+∠COD， ∴∠COD=65° 【解析】【分析】（1）根据等量加等量和相等推出AB=AC，从而用SAS判断出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等即可得出结论； （2）根据全等三角形的对应角相等可得∠B=∠C=30°，根据三角形的内角和定理得到∠ADB=95°，再由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，即可求解． （1）证明：∵，． ∴AD+CD=AE+BE，即AB=AC， 在△ABD和△ACE中， ∵AD=AE，∠A=∠A，AB=AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE； （2）解：∵△ABD≌△ACE，， ∴∠B=∠C=30°， ∵， ∴∠ADB=180°-∠A-∠B=95°， ∵∠ADB=∠C+∠COD， ∴∠COD=65°． 3．如图，C，A，D在同一直线上，已知． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵，∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． ∴线段的长度为4． 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可以得到，然后利用AAS证明全等解题； （2）根据全等三角形的性质得到得，然后利用解答即可． （1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． ∴线段的长度为4． 4．如图，已知为等边三角形，点D、E分别在、边上，且，与相交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明：∵为等边三角形， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）已证：， ， ． 【解析】【分析】（1）先利用等边三角形的性质可得，再利用“SAS”证出即可； （2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算及等量代换求出即可． （1）证明：∵为等边三角形， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）已证：， ， ． 5．已知：中，，是的高，，相交于点P，延长至点Q，使，连接、，如果，求证：． 【答案】证明：，， ， ． ，， 在和中， ， ． ，， ， ． 即． 【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形内角和定理的应用．利用垂直的定义可得：，再根据BP=AC，CQ=AB，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，通过等量代换得，进而可证明． 6．如图，在和中，，分别交于点F，G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 【解析】【分析】（1）根据等式性质，由，推导出，即可根据“”证明，最后根据全等三角形的对应角相等得； （2）根据三角形外角等于与之不相邻的两个内角的和，并结合（1）得结论可得，即． （1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 考点二、三角形全等的判定-ASA 7．如图，在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴。 【解析】【分析】（）根据平行线的性质，可得，又跟据， ，易证。 （）根据平行线的性质，可得，最后再根据三角形外角和定理：代入数据即可求解。 （1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴． 8．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质；通过公共边且由AB=CD得到AC=BD，因为AE∥BF，根据两直线平行，同位角相等，得出∠EAC=∠FBD，又因为EC∥FD，根据两直线平行，内错角相等，得到∠FDB=∠ECA，最后在和中，利用角边角（ASA）全等判定条件，证明．​​ 9．已知：如图，点在上，点在上，和相交于点，，求证：． 【答案】证明：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即 【解析】【分析】根据全等三角形的判定与性质求解．根据ASA证明，则，根据，可证． 10．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC. 【答案】证明：∵BE∥DF， ∴∠ABE=∠D， 在△ABE和△FDC中， ∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F ∴△ABE≌△FDC（ASA）， ∴AE=FC． 【解析】【分析】根据直线平行性质可得∠ABE=∠D，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△FDC（ASA），则AE=FC，即可求出答案. 11．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，，过E，F分别作，，，连接交于点G．求证：． 【答案】证明：， ， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 在和中 ， ， ． 【解析】【分析】先利用线段的和差求出AF=CE，再利用“ASA”证出，可得BF=DE，再利用“AAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得． 12．如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案. （2）根据三角形外角性质即可求出答案. （1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 考点三、三角形全等的判定-AAS 13．如图，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵和相交于点O，∴． 又∵在和中，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵，∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据全等三角形的判定即可判断； （2）由（1）可知：，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数． （1）证明：∵和相交于点O， ∴． 又∵在和中，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 14．如图，在中，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）根据题意可得：，再根据， 利用垂直的定义可得：，再根据AC=DE，利用全等三角形的判定定理可证明； （2）利用全等三角形的性质可得：，再根据，利用等量替换可证明结论． （1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 15．已知：如图，点E、F在线段上，，且，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴，（AAS） ∴． 【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由，得到，再由线段的和差，得到，在与中，结合，证得，进而证得． 16．如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， 【解析】【分析】由二直线平行，内错角相等，得∠BAC=∠DCA，由AF=CE可推出AE=CF，从而用AAS判断出△ABE≌△CDF. 17．如图，已知 ， ．求证： ． 【答案】证明：在 和 中， ， ． 【解析】【分析】根据三角形全等的性质，利用AAS可证明出 ． 18．已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠AED，BC＝ED． 求证：AB＝AE． 【答案】证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC， ∴∠DAE=∠CAB． 在△DAE和△CAB中， ， ∴△DAE≌△CAB（AAS）， ∴AB=AE． 【解析】【分析】先求出 ∠DAE=∠CAB ，再理论与AAS证明 △DAE≌△CAB ，最后证明求解即可。 考点四、直角三角形全等的判定-HL 19．如图，，，，，垂足分别为D，E． （1）求证：； （2）若，，求BE的长． 【答案】（1）证明：，，， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴， 又，， ∴即 ​​​​​​​​​​​​​​ 【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案. （2）根据全等三角形性质可得，，再根据边之间的关系即可求出答案. （1）证明：，，， ∴ ∴ ∴ （2）∵ ∴， 又，， ∴即 20．如图，点B，F，E，C在同一条直线上，于点A，于点D，且，．求证：． 【答案】证明：， . . ，， ， 在和中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）. 【解析】【分析】根据等量加等量和相等推出BE=CF，由垂直的定义得∠A=∠D=90°，从而利用HL判断出Rt△ABE≌Rt△DCF. 21．如图，平分且平分，，点F在射线上，且． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵平分且平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得，∴， ∴， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴ 【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，然后根据得到证明结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再推理得到解题即可． （1）证明：∵平分且平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∴， ∴， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴． 22．如图，△中，，，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：在与中， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ； ，， ， ． 【解析】【分析】（1）由题意用定理可证，然后根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”可得∠BAE=∠FCB，再根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”即可求解； （2）由题意易得，由（1）可得，根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”可得∠BAE=∠FCB；然后根据等边对等角和直角三角形的性质即可求解． （1）证明：在与中， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ； ，， ， ． 23．已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，， （1）求证：； （2）若，求的度数 【答案】（1）证明：，， 和是直角三角形， ， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， 【解析】【分析】（1）先证两个三角形是直角三角形，再根据HL证 即可； （2）根据全等三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求解． （1）证明：，， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 24．如图，为等腰直角三角形，，点D在上，点E在的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵为等腰直角三角形，， ，， 在和中， ， ； （2）解：为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ． 【解析】【分析】（1）先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得； （2）先利用角的运算求出，再结合，利用角的运算求出即可． （1）证明：∵为等腰直角三角形，， ，， 在和中， ， ； （2）解：为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形（证明题专题训练）-2025-2026学年人教版八年级上册数学暑假专项突破与能力提升训练 目录 考点一、三角形全等的判定-SAS 2 考点二、三角形全等的判定-ASA 4 考点三、三角形全等的判定-AAS 6 考点四、直角三角形全等的判定-HL 9 考点一、三角形全等的判定-SAS 1．如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，，，．求证：． 2．如图，点D，E分别在AC，AB上，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 3．如图，C，A，D在同一直线上，已知． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 4．如图，已知为等边三角形，点D、E分别在、边上，且，与相交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 5．已知：中，，是的高，，相交于点P，延长至点Q，使，连接、，如果，求证：． 6．如图，在和中，，分别交于点F，G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 考点二、三角形全等的判定-ASA 7．如图，在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 8．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，．求证：． 9．已知：如图，点在上，点在上，和相交于点，，求证：． 10．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC. 11．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，，过E，F分别作，，，连接交于点G．求证：． 12．如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． （1）求证：； （2）若，求的度数． 考点三、三角形全等的判定-AAS 13．如图，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 14．如图，在中，． （1）求证：． （2）求证：． 15．已知：如图，点E、F在线段上，，且，，求证：． 16．如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，，，． 求证：． 17．如图，已知 ， ．求证： ． 18．已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠AED，BC＝ED． 求证：AB＝AE． 考点四、直角三角形全等的判定-HL 19．如图，，，，，垂足分别为D，E． （1）求证：； （2）若，，求BE的长． 20．如图，点B，F，E，C在同一条直线上，于点A，于点D，且，．求证：． 21．如图，平分且平分，，点F在射线上，且． （1）求证：； （2）求证：． 22．如图，△中，，，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23．已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，， （1）求证：； （2）若，求的度数 24．如图，为等腰直角三角形，，点D在上，点E在的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$