第14讲 等边三角形（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材人教版

第14讲 等边三角形（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 等边三角形 观察与讨论：如图，把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 怎样判定一个三角形是等边三角形呢？ 【知识点1 等边三角形的性质】 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【知识点2 等边三角形的判定】 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识点3 含30°角的直角三角形的性质】 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD. 又因为∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60°，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AB.又BD=2BC， 所以BC=AB.由此可以得到上述结论. 【题型1 利用等边三角形的性质求角度】 【例1】如图，在等边三角形中，，分别是，上的动点（不在端点），且，交于点，则的大小为_____． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出相等的边和角，然后证明，得出，最后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】如图，和均为等边三角形，连接，其中交于点F．若恰好平分，且，则的度数为___________． 【答案】 【分析】首先根据角平分线的定义确定，再结合等边三角形的性质证明，进一步证明，由全等三角形的性质可得，然后由三角形外角的定义和性质求的值即可． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 【答案】/40度 【分析】先利用等边三角形每个内角为，结合，在中求出，再由对顶角、翻折性质得，推出，最后在中用内角和算出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，是等边三角形，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得 从而可将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ，进而利用旋转的性质可得 ， ， ，然后利用三角形的内角和定理可得 ，再利用旋转的性质可得 ， ，从而可得 是等边三角形，进而可得 ， ，最后利用周角是 可求出 ，从而利用 证明 ，进而可得 ，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 将绕点A顺时针旋转得到，连接， 由旋转得：，，， ∴， 由旋转得：，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】 【例2】如图，是等边三角形，是的高，边的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的长为_______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，线段垂直平分线的性质，连接，由等边三角形的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，则根据等边对等角和角之间的关系可求出，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，是的高， ∴， ∵边的垂直平分线分别交于点E、F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式2-1】如图，在等边中，是边上一点，以点为圆心，的长为半径画弧交的延长线于点，若，，则的周长为__________． 【答案】 【分析】过点作，由可得，再结合等边的角推导出，最后代入周长公式计算． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 的周长为． 【变式2-2】如图，已知：，点在射线ON上，点在射线OM上，、、均为等边三角形，若，则的边长为____． 【答案】64 【分析】首先根据等边三角形的性质得，进而得，再根据等腰三角形的性质得，故得的边长为，同理得的边长为，的边长为，以此规律可得，的边长． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴的边长为， 同理：的边长为，的边长为，的边长为，以此规律可得的边长为． 【变式2-3】如图，在等边中，点，分别为边，上的点，在上取点，在上取点，使，，连结，并交于点．若，且四边形的周长比四边形的周长大7，则的长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练利用线段的和差是解题的关键． 证明，可得，根据图形可得，四边形的周长为，四边形的周长为，再利用线段的转换和线段的和差，最终可得，则可得的长． 【详解】解：是等边三角形， ， ，， ， ， 根据图形可得，四边形的周长为，四边形的周长为， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型3 含30°角的直角三角形的性质简单应用】 【例3】如图，在中，，，平分交于，于．请直接写出线段、、的数量关系_________ 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，，进而得出． 【详解】解：中，，，， ，， 平分交于， ， ， ， ，， ． 【变式3-1】如图，中，，，D是的中点，连接，于点E，，那么的值为______． 【答案】6 【分析】根据在中，，D是的中点，于点E，可以求得，，以及和的度数，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴，， ∴， ∵于点E，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】根据等边对等角得，根据含角的直角三角形的性质得，根据直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质及等角对等边推出，最后由可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【变式3-3】如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，由等边三角形性质得到，，根据含角的直角三角形求出，求出，再根据含角的直角三角形求出，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型4 作垂线构造含30°角的直角三角形】 【例4】在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】先根据中线定义求出长度，再过作构造含角的直角三角形，利用直角三角形性质求高，最后用三角形面积公式计算面积。 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， 过点作于， ∴， ∵，， ∴， ∴ 【变式4-1】如图，在等边三角形中，是延长线上一点，是上一点，连接，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过作于点，由等腰三角形的性质得，设，则，由等边三角形的性质得，则，再由含角的直角三角形的性质得，然后求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过作于点， ， ， 设，则， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 【变式4-2】如图，在等腰三角形中，，点E，F在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质．延长交于点G，延长交于点D，可得是等边三角形， ，进而可得，然后利用线段的和差关系可得，再利用等腰三角形的性质可得，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而在中，利用含30度角直角三角形的性质可得，据此进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点G，延长交于点D， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式4-3】如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【答案】7.8 【分析】此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 【题型5 等边三角形的判定】 【例5】如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，从而得到，由可得，从而得到，即可求解． 【详解】证明：，点是的中点， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【变式5-1】如图，是线段上一点，分别以、为边在同侧画等边和等边，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定． (1)根据等边三角形的性质可以得到，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证； (2)根据可知，利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可证结论成立． 【详解】（1）解：和为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ； （2）解：连接， 由（1）知，   ， ，， 在和中 ， ， ， 是等边三角形． 【变式5-2】如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明： ， ， 在和中， ，   ， ， 由（1）得，即 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得到，由得，则． （2）先求得，由平移得，则，即可等量代换，则． （3）由，求得，可根据“”证明，得，而，所以，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，垂足为， ， ， 的度数是． （2）解：，， ， ∵是由沿方向平移得到的， ∴ ∵， ， ， ， ∴的长是． （3）略 【变式5-3】在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，． (1)如图（1），当时，则_____°； (2)如图（2），当时，连接，判断的形状，并给予证明． 【答案】(1) (2)是等边三角形，证明见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，即可得出，利用线段的垂直平分线的性质得出，，根据等腰三角形当性质得出，，四边形内角和定理解决问题即可； （2）同（1）可得出，，，即可得出，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵点为线段，，的垂直平分线的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 答案为： （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴， 由（1）可知：，，， ∴， ∴是等边三角形． 【题型6 等边三角形的判定与性质】 【例6】如图，中，，点在上，点在上，，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)14 【分析】（1）由，，判定为等边三角形，得，；结合，用可证； （2）由得，根据外角的性质进行求解即可； （3）根据，，可得中，则；结合，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 为等边三角形， ，． ， ； （2）解：， ． ， ， ； （3）解：，， ， ． ， ． 【变式6-1】如图，在等边中，点P，Q在边上，并且满足，作关于直线的对称图形，连接，线段交于点N． (1)当时， ； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）证明，得到，对称，得到，即可得出结果； （2）证明为等边三角形，即可． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵对称， ∴； （2）证明：∵为等边三角形， ∴， 由（1）可知：，， ∴， ∵对称， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【变式6-2】已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：． (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，是的中点， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）证明：， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ． 【变式6-3】已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图1，若为的中点，，求的长． (2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ，即， 在中， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，进而根据等边对等角结合三角形外角的性质可得，最后根据等角对等边即可求解； （2）先根据等边对等角结合平行线的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形性质推出，然后根据全等三角形性质可证，等量代换即可得证； （3）过作交延长线于点，先证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质推出，得出，进而得到的长，证明，得到，即可得解． 【详解】（1）解：为等边三角形， ，， 为的中点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，过作交延长线于点， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【题型7 等边三角形中多结论问题】 【例7】如图，中，，分别平分和，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的周长等于的周长 【答案】D 【分析】根据平分，得出，根据，得出，即可判断A；用和A同样的方法，即可判断B；根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可判断C，假设为等边三角形，则，推出周长，的周长即可判断D． 【详解】解：A、∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B、∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C、∵，分别平分和， ∴， ∵， 故C正确，不符合题意； D、假设为等边三角形，连接，则， 由A、B可知，为等腰三角形， ∴， ∴周长， ∵，C分别平分和， ∴平分， ∵为等边三角形， ∴，则， 在中，， ∴的周长 ∴的周长周长， 故D不正确，符合题意； 故选：D． 【变式7-1】如图，已知等边三角形，，点D在上，点F在延长线上，，于E，于G．交于点P．则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，利用等边三角形的性质得到，则，则可根据“”判定，所以；于是可对①进行判断；利用可判断，则可对②进行判断；由于只有当时，，则可对③进行判断；利用得到，加上，所以，从而得到，于是可对④进行判断． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵于E，于G， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 所以①正确； 在和中， ， ∴， 所以②正确； ∵， ∴只有当时，， 所以③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以④正确． 故选：D． 【变式7-2】如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的结论个数是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质的综合运用以及待边三角形的判定与性质，根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据翻折可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；判断出和不全等，从而得到，判断出④错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴ ∴，故①正确． ∴， 由翻折的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． ∵的对称图形和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故③正确． 在和中，， ∴，故④错误； 综上所述，结论正确的是①②③共3个． 故选：C． 【变式7-3】如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键．根据等边和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为易求的度数，可知②正确；过分别作于，于，由可得，进而可得平分，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等可得，故可得④正确，据此即可求解． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； 过分别作于，于，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴平分，故③正确； 如图，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①②③④，共4个， 故选：A． 模块三 课后作业 1．如图，是等边三角形，若，，，则_____． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据证明，则可得． 本题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 2．如图，线段，是线段上的动点，以，为边在上方作正和正，的周长的最小值为____． 【答案】15 【分析】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质以及动点最值问题，作关于的垂线，设垂足为，易得，当点与点重合时取等，据此求解． 【详解】解：延长交于点，作关于的垂线，设垂足为， 则， 由题可知，， ， 当点与点重合时取等， 即周长最小值为． 故答案为：15． 3．如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接、，与交于点F，过点B作于点G．若，则的度数为___． 【答案】/30度 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由全等三角形的性质推出，，由三角形外角的性质得到． 由全等三角形的性质推出，，判定是等边三角形，得到，由三角形外角的性质得到，由直角三角形的性质求出． 【详解】解：， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．已知是等边三角形，点在上，点在的延长线上，，交于点，，若，且，则的长为_____． 【答案】8 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角直角三角形的性质，过点D作交于点H．先证明，可得，求出，设，则，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于点H． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 5．如图，，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为直角三角形，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查图形规律问题，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，分别求出、、⋯⋯，得出规律即可得解． 【详解】解：∵是直角三角形，，， ∴，， ∴， ∵是直角三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴； 同理可得，， 又⋯⋯， 所以，的边长为， 故答案：． 6．已知：和都是等边三角形（共线）．以下结论：①；②平分；③；④是等边三角形；⑤；其中正确的有_____（写序号）． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由题中条件可得，得出对应边、对应角相等，进而得出，，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论． 【详解】解：∵与为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故④正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴，故⑤正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于M，于N，如图所示： 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， ∵不一定相等，即不是的中线， ∴不是的高， ∴不一定相等， ∴不一定相等，即不一定平分，故②错误； ∴①③④⑤都正确． 故答案为：①③④⑤． 7．如图，是等边三角形，，，．求证：． 【答案】证明：，， ． 是等边三角形， ，． ． 在和中， ． ． 【分析】先根据、的垂直条件，得到．结合等边三角形的性质，得到，．推导与的大小关系，判断二者是否相等．因为已知，可通过判定和全等．依据全等三角形对应边相等的性质，即可求证． 【详解】略 8．如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为4 【分析】（1）运用垂直平分线的判定定理证明即可； （2）证明是等边三角形得，再证明可得到解答． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ， 点、点在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）解：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形， ． 由（1）可知垂直平分， ， ， ， ， ， ． 9．如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ， ， ， ， 是等边三角形． (2)4 (3)证明：是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由等边三角形三线合一可得，，再结合已知即可求解； （3）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ， ， ， 又， ． （3）略 10．如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解； （2）利用，得到，进而得到； （3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：令、交于点，、交于点，如下图所示： 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：在上截取，连接， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 等边三角形（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 等边三角形 观察与讨论：如图，把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 怎样判定一个三角形是等边三角形呢？ 【知识点1 等边三角形的性质】 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【知识点2 等边三角形的判定】 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识点3 含30°角的直角三角形的性质】 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD. 又因为∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60°，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AB.又BD=2BC， 所以BC=AB.由此可以得到上述结论. 【题型1 利用等边三角形的性质求角度】 【例1】如图，在等边三角形中，，分别是，上的动点（不在端点），且，交于点，则的大小为_____． 【变式1-1】如图，和均为等边三角形，连接，其中交于点F．若恰好平分，且，则的度数为___________． 【变式1-2】如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 【变式1-3】如图，是等边三角形，若，则_____． 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】 【例2】如图，是等边三角形，是的高，边的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的长为_______． 【变式2-1】如图，在等边中，是边上一点，以点为圆心，的长为半径画弧交的延长线于点，若，，则的周长为__________． 【变式2-2】如图，已知：，点在射线ON上，点在射线OM上，、、均为等边三角形，若，则的边长为____． 【变式2-3】如图，在等边中，点，分别为边，上的点，在上取点，在上取点，使，，连结，并交于点．若，且四边形的周长比四边形的周长大7，则的长为_____________． 【题型3 含30°角的直角三角形的性质简单应用】 【例3】如图，在中，，，平分交于，于．请直接写出线段、、的数量关系_________ 【变式3-1】如图，中，，，D是的中点，连接，于点E，，那么的值为______． 【变式3-2】如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长为______． 【变式3-3】如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型4 作垂线构造含30°角的直角三角形】 【例4】在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 【变式4-1】如图，在等边三角形中，是延长线上一点，是上一点，连接，．若，，，则的长为 ． 【变式4-2】如图，在等腰三角形中，，点E，F在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，，则 ． 【变式4-3】如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【题型5 等边三角形的判定】 【例5】如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 【变式5-1】如图，是线段上一点，分别以、为边在同侧画等边和等边，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【变式5-2】如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【变式5-3】在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，． (1)如图（1），当时，则_____°； (2)如图（2），当时，连接，判断的形状，并给予证明． 【题型6 等边三角形的判定与性质】 【例6】如图，中，，点在上，点在上，，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于点，，，求的长． 【变式6-1】如图，在等边中，点P，Q在边上，并且满足，作关于直线的对称图形，连接，线段交于点N． (1)当时， ； (2)求证：． 【变式6-2】已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：． (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【变式6-3】已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图1，若为的中点，，求的长． (2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 【题型7 等边三角形中多结论问题】 【例7】如图，中，，分别平分和，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的周长等于的周长 【变式7-1】如图，已知等边三角形，，点D在上，点F在延长线上，，于E，于G．交于点P．则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④ 【变式7-2】如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的结论个数是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-3】如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 模块三 课后作业 1．如图，是等边三角形，若，，，则_____． 2．如图，线段，是线段上的动点，以，为边在上方作正和正，的周长的最小值为____． 3．如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接、，与交于点F，过点B作于点G．若，则的度数为___． 4．已知是等边三角形，点在上，点在的延长线上，，交于点，，若，且，则的长为_____． 5．如图，，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为直角三角形，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为_____． 6．已知：和都是等边三角形（共线）．以下结论：①；②平分；③；④是等边三角形；⑤；其中正确的有_____（写序号）． 7．如图，是等边三角形，，，．求证：． 8．如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 9．如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 10．如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $