第13讲 等腰三角形（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材人教版

第13讲 等腰三角形（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 等腰三角形 如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来．将这个等腰三角形对折, 使它的两腰重合，再展开． 问题１ 找出其中重合的线段和角． 问题２ 在等腰三角形ABC中，AD是什么特殊的线段? 问题３ 等腰三角形有什么性质? 说说你的猜想． 【知识点1 等腰三角形的性质】 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD. 在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”. 由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”. 【知识点2 等腰三角形的判定】 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【知识点3 作一个等腰三角形】 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2） ①作线段AB=a；②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 【题型1 等边对等角】 【例1】如图，在中，，点在边上，点在边上，且，则_______°． 【变式1-1】如图，在中，点在边上，且，，则的度数是________度． 【变式1-2】如图，点在上，点在上，且，，，则______． 【变式1-3】如图，在中，分别为边上的点，，．若，则的度数为 ． 【题型2 “三线合一”的应用】 【例2】如图，在中，，平分，，延长交于点E．若，求的度数． 【变式2-1】在梯形中，，点为边的中点，连接、，且．求证：． 【变式2-2】如图，在中，，，点D是的中点，点E、F分别在、上，且． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【变式2-3】如图，在等腰中，，为延长线上一点，且，垂足为，连接，若，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【题型3 根据等角对等边求线段长】 【例3】如图，在中，与的平分线交于点O．过O点作，分别交于D、E．若，则的周长是____________． 【变式3-1】在中，，和的平分线分别交于点、，若，，求______． 【变式3-2】如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为_______． 【变式3-3】如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，点，在边上，，，则与的周长差为___________． 【题型4 确定等腰三角形的个数】 【例4】如图，在的正方形网格中，点，都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为_____． 【变式4-1】如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 【变式4-2】如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【题型5 尺规作等腰三角形】 【例5】如图，已知，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长； (2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高． 【变式5-1】如图，在中，，点在边上．请用尺规作图法，在内求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式5-2】如图，为直线外一点，点，在直线上，已知为锐角．请用尺规作图法，在直线上求作一点，使得，（保留作图痕迹，不写作法） 【变式5-3】线段和C、D两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段上作一点B，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型6 分类讨论思想求角度】 【例6】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式6-1】已知是的高，，，则的度数为 ． 【变式6-2】在中，，点在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是_________________．    【变式6-3】中，，边的垂直平分线交直线于点M，交于点D，若，则的度数为 ． 【题型7 等腰三角形的判定与性质】 【例7】如图，在中，，点D为的中点，连接的垂直平分线EF交于点E，交于点O，交于点F，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【变式7-1】如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果，求的度数． 【变式7-2】如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 【变式7-3】如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【题型8 等腰三角形与全等三角形的综合】 【例8】如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 【变式8-1】如图1，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接． (1)①求证：； ②求的度数； (2)如图2，若为中边上的高，，，请直接写出四边形的面积． 【变式8-2】【常见类型】 （1）如图1，已知：，且．求证：． 【变式拓展】 （2）某同学改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答． 如图2，是等腰直角三角形，，为中点，交延长线于点于点． 求证：；． 【变式8-3】在等腰直角中，，点D在边上，过点B作射线的垂线，垂足为点E． (1)如图1，过点C作射线的垂线，垂足为点F，求证：； (2)在射线上取点G，使，连接，，与交于点H．如图2，若，，求线段的长． 模块三 课后作业 1．在中，，与相邻的外角为，则________；若等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角为________． 2．在中，，，点在边上，连接，若为等腰三角形时，则的度数为__________． 3．在中，边的垂直平分线交边于点D，边的垂直平分线交边于点E，连接，，则的度数为_____． 4．已知在中，是边上的高，垂足为点，点在射线上，连接，若，，，则______． 5．如图，在中，角平分线和相交于点，，，，则的周长为___________． 6．如图，在中，平分平分，且交于M，若，则________． 7．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点都在格点上，在网格中确定一个格点，使为等腰三角形，符合条件的格点有_____个． 8．学习了等腰三角形和尺规作图后，小云进行了拓展性研究，她发现“任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形”．下面是小云设计的尺规作图过程． 已知：如图，，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 作法：①作直角边的垂直平分线，交斜边于点D； ②连接，则线段即为所求． 根据小云设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（只保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴①________， ∴（②________）（填推理的依据）， ∵， ∴，③________， ∴， ∴④________， ∴和都是等腰三角形． 9．如图，在中，平分交于点，点为延长线上一点，过点作分别交、于、两点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)过点作交延长线于点，，请直接写出图形中所有的等腰三角形（除外）． 10．已知与中，，，，连接与相交于点F，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 等腰三角形（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 等腰三角形 如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来．将这个等腰三角形对折, 使它的两腰重合，再展开． 问题１ 找出其中重合的线段和角． 问题２ 在等腰三角形ABC中，AD是什么特殊的线段? 问题３ 等腰三角形有什么性质? 说说你的猜想． 【知识点1 等腰三角形的性质】 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD. 在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”. 由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”. 【知识点2 等腰三角形的判定】 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【知识点3 作一个等腰三角形】 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2） ①作线段AB=a；②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 【题型1 等边对等角】 【例1】如图，在中，，点在边上，点在边上，且，则_______°． 【答案】40 【分析】先结合等边对等角以及三角形的外角性质，得，再运用三角形内角和性质为列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， 则， 在中，， 即， 解得． 【变式1-1】如图，在中，点在边上，且，，则的度数是________度． 【答案】36 【分析】由等边对等角得出，由三角形外角的定义及性质得出，再由等边对等角得出，，最后由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，点在上，点在上，且，，，则______． 【答案】/45度 【分析】设，则可利用等腰三角形的两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和来求，，最后利用三角形的内角和求出，就可得到． 【详解】解：设， ， ∴， 又 ， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ， 解得， ． 【变式1-3】如图，在中，分别为边上的点，，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，设，由可得，即得，得到，进而可得，，再得到，最后根据列出方程即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2 “三线合一”的应用】 【例2】如图，在中，，平分，，延长交于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质“三线合一”，可得，平分，从而可得，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F． ，平分， ， ，， 平分， ， ， ． 【变式2-1】在梯形中，，点为边的中点，连接、，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】延长交的延长线于点，证明，得出，．结合，得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明． 【详解】证明：延长交的延长线于点， ∵， ∴，， 又是中点， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， 又， 即． ∴是等腰三角形， ∵是中点， ∴，即． 【变式2-2】如图，在中，，，点D是的中点，点E、F分别在、上，且． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的转化，解题的关键是连接，利用等腰直角三角形三线合一的性质构造全等三角形，将四边形面积转化为三角形面积求解． （1）连接，利用等腰直角三角形性质得到，，再通过同角的余角相等证明，从而用证明，得到． （2）由得，将四边形的面积转化为，再利用计算． 【详解】（1）证明：连接． ∵ ，，点是的中点， ∴ ，，，， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在和中， ∴ （）， ∴ ． （2）解：∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， 点是中点， ∴ ． ∴ 四边形的面积为． 答：四边形的面积为． 【变式2-3】如图，在等腰中，，为延长线上一点，且，垂足为，连接，若，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：过A作于H，过E作于F，    ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：B． 【题型3 根据等角对等边求线段长】 【例3】如图，在中，与的平分线交于点O．过O点作，分别交于D、E．若，则的周长是____________． 【答案】9 【分析】利用角平分线的定义、平行线的性质、等边对等角可知与是等腰三角形，即，，易得可得的周长等于即可解答． 【详解】解：∵在中，与的平分线交于点O， ，， ∵， ，， ，， ∴，， ∵， ∴的周长为： ． 【变式3-1】在中，，和的平分线分别交于点、，若，，求______． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ = =． 【变式3-2】如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质． 根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式3-3】如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，点，在边上，，，则与的周长差为___________． 【答案】4 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质进行作答． 【详解】解：∵平分， ， 又 ∵， ， ， ∵平分， ， 又 ∵， ， ， ， 的周长 ， ， 的周长， 平分， ， 又， ， ， ， 同理可得， ， ∴的周长， ∴与的周长差． 故答案为：4． 【题型4 确定等腰三角形的个数】 【例4】如图，在的正方形网格中，点，都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为_____． 【答案】6 【分析】根据网格结构，分别以、为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点，即可得到点的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有6个． 【变式4-1】如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数． 【详解】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有5个； 当为腰时，分别以、点为圆心，以为半径作弧，可找出格点的个数有3个； ∴这样的点有8个． 故答案为：8． 【变式4-2】如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点B，即可得解． 【详解】解：要使为等腰三角形分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个； ②当时，以点A为圆心，为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个； ③当时，以点O为圆心，为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个， ， 故选：D． 【变式4-3】如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 【题型5 尺规作等腰三角形】 【例5】如图，已知，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长； (2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的尺规作图，需要利用直尺和圆规，深刻理解等腰三角形的性质，即两底角相等；等腰三角形“三线合一”的性质，即在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三条特殊线段重合为一条线段，根据给定的底角和底边或高进行作图．解题的关键是利用已知条件，通过得到顶角，或利用两直线平行，同位角相等，来转化相等的角． （1）先作射线，再以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点C，分别作，交于点，则即为所求； （2）先作出的补角，即为等腰三角形的顶角，再作顶角的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，在角平分线上截取，过点作，分别交、于点、点，即得所求． 【详解】（1）解：作法：先作射线，再以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点C，分别作，交于点，则即为所求； （2）解：①原图中，在角的一边上作一个与相等的角， ②原图中，延长已知角的另一条边，得到，即， ③作， ④作的角平分线， ⑤在上取点，使， ⑥过点作，分别交、于点、点， 【变式5-1】如图，在中，，点在边上．请用尺规作图法，在内求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据作图可得，进而根据等边对等角以及三角形的内角和定义，即可求解． 【详解】解：如图， 根据作图可得 ∴ 【变式5-2】如图，为直线外一点，点，在直线上，已知为锐角．请用尺规作图法，在直线上求作一点，使得，（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质．作线段的垂直平分线交直线于点，再连接，得到，进而得到，推出，最后以为圆心、的长为半径画弧，交直线于点，得到，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 【变式5-3】线段和C、D两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段上作一点B，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线交于点，连接即可． 本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，掌握尺规作垂线的方法是解决问题． 【详解】解：连接，作的垂直平分线交于点，连接，则就是所求的以为底边的等腰三角形，如图： 【题型6 分类讨论思想求角度】 【例6】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解决本题的关键．分别从此等腰三角形为锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵，， ∴， ∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴三角形的顶角为， 故选C． 【变式6-1】已知是的高，，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．当高在等腰三角形外部时；当高在等腰三角形内部时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：当高在等腰三角形外部时，如图： ， ， ， ， 是是的外角， ， ， ； 当高在等腰三角形内部时，如图： ， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或， 故答案为：或 【变式6-2】在中，，点在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是_________________．    【答案】或或 【分析】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分三种情形，分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图1中，当，时，满足条件．    如图2中，当，时，可得， ．    如图3中，当，时，，    ， 故答案为：或或． 【变式6-3】中，，边的垂直平分线交直线于点M，交于点D，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点，根据题意画出示意图是解题的关键．根据题意，分2种情况①点M在边上，②点M在延长线上，连接，利用线段垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形的性质分别得到，，，设，结合图形利用三角形内角和定理列出方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：①若点M在边上，如图，连接， ， ， 是边的垂直平分线， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得：， ； ②若点M在延长线上，如图，连接， ， ， 是边的垂直平分线， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得：， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【题型7 等腰三角形的判定与性质】 【例7】如图，在中，，点D为的中点，连接的垂直平分线EF交于点E，交于点O，交于点F，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，灵活运用中垂线的性质和等腰三角形的性质成为解题的关键． （1）根据中垂线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而说明是的中垂线可得，进而得到即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质及角的和差可得，再根据中垂线的性质以及三角形的内角和可得；再根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的中垂线， ∴， ∵，D为中点， ∴（三线合一）， ∴是的中垂线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵，D为中点， ∴（三线合一）， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-1】如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ，， ， ， 是等腰三角形； (2) 【分析】（1）证明，得到即可证明结论； （2）求出，根据和三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式7-2】如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形得，结合，推出；再由对顶角相等，得，根据“等角对等边”得，从而证明结论． （2）过作，由（1）的结论，用“等腰三角形三线合一”得；再由及，推得；最后用证明，得，等量代换得结论． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ，， ． ， ， ， 是等腰三角形． （2）证明：如图，过点作于点． ， ． ，，， ， ． ，， ， ， ． 【变式7-3】如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)15° 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的性质． （1）根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得． （2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案． 【详解】（1）证明：为线段的垂直平分线， ． ，点为的中点， 为线段的垂直平分线． ． ． ∴为等腰三角形． （2）解：，点为的中点， 为的平分线． ． ． ． ∵为等腰三角形， ． ． 【题型8 等腰三角形与全等三角形的综合】 【例8】如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． （1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据邻补角的定义，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论； （3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， （3）证明：延长到，使得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式8-1】如图1，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接． (1)①求证：； ②求的度数； (2)如图2，若为中边上的高，，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)35 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，利用手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． （1）①利用证明，即可证明结论；②由全等三角形的性质得到，由等腰直角三角形的性质得到，则由平角的定义得到，利用角的和差求出答案； （2）由得出，然后判定出，再得出，再根据四边形的面积的面积的面积，通过计算即可解答． 【详解】（1）①证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵均为等腰直角三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴； （2） ， ，， 在中，，， ， ， ， ∵，， ∴； 由（1）得， ∴四边形的面积的面积的面积 ． 【变式8-2】【常见类型】 （1）如图1，已知：，且．求证：． 【变式拓展】 （2）某同学改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答． 如图2，是等腰直角三角形，，为中点，交延长线于点于点． 求证：；． 【答案】（1）详见解析 （2）①详见解析；②详见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． （1）根据证明，即可得证； （2）①根据证明，即可得证； ②连接，过点作交于点，证明，可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的数量关系即可得证． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）证明：①交延长线于点，于点， ， 为中点， ， ， ， ； ②如图，连接，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式8-3】在等腰直角中，，点D在边上，过点B作射线的垂线，垂足为点E． (1)如图1，过点C作射线的垂线，垂足为点F，求证：； (2)在射线上取点G，使，连接，，与交于点H．如图2，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握性质定理是解题的关键； （1）由余角的性质可得，再加上以及直角即可证明； （2）过点C作射线的垂线，垂足为点F，由（1）可得，即可得到 ，，进一步可证明，得到；由可得，得到，得到 ，BG=2AE，即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵等腰直角中，， ∴， ∵，， ∴， ，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）过点C作射线的垂线，垂足为点F，由（1）可得， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴； ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 模块三 课后作业 1．在中，，与相邻的外角为，则________；若等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角为________． 【答案】 或 【分析】需要先根据邻补角性质求出对应内角，再结合等腰三角形性质分类讨论求解． 【详解】解：在中，， ， 与相邻的外角为， ， ， ； 等腰三角形一个外角等于，分两种情况讨论： ①若该外角为顶角的邻补角，则顶角为， ②若该外角为底角的邻补角，则底角为，顶角为， 故答案为；或． 2．在中，，，点在边上，连接，若为等腰三角形时，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再分三种情况讨论为等腰三角形的情况，结合等腰三角形性质和三角形外角性质，排除不符合题意的情况，即可计算得到的度数． 【详解】解：在中，，， 由三角形内角和定理得： ， 如图： 点在线段上，分三种情况讨论： ① 当时，为等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得， ； ② 当时，为等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理得： ， ； ③ 当时，为等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得 ， 根据三角形外角的性质，， 可得 ，不符合角度定义，舍去． 综上，的度数为或． 3．在中，边的垂直平分线交边于点D，边的垂直平分线交边于点E，连接，，则的度数为_____． 【答案】 或 【分析】分两种情况讨论，利用线段垂直平分线的性质得到等角，再结合三角形内角和定理计算求解. 【详解】解：分两种情况讨论： 如图1： 边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于， ，， ，， ， ， 又在中， 将代入得 解得 如图2： 同理可得，，即， 此时，即 又 将代入得 解得，即； 综上，的度数为或. 4．已知在中，是边上的高，垂足为点，点在射线上，连接，若，，，则______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质；根据三线合一的性质得出，然后分类讨论，即可求解． 【详解】解：如图所示，当点在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当点在线段上时， ∵， ∴． 故答案为：或． 5．如图，在中，角平分线和相交于点，，，，则的周长为___________． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，得到，推出，同理：，于是得到的周长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长． 故答案为：． 6．如图，在中，平分平分，且交于M，若，则________． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，以及角平分线的定义，证明出，是解决本题的关键． 根据题意得出，确定，再由等角对等边即可求解． 【详解】解：平分平分 ∵， ，， ， ，． ， 故答案为：10． 7．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点都在格点上，在网格中确定一个格点，使为等腰三角形，符合条件的格点有_____个． 【答案】9 【分析】本题考查网格中作等腰三角形，根据等腰三角形的定义，在网格中作出符合条件的等腰三角形即可． 【详解】解：如图， 符合条件的格点共有9个； 故答案为：9． 8．学习了等腰三角形和尺规作图后，小云进行了拓展性研究，她发现“任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形”．下面是小云设计的尺规作图过程． 已知：如图，，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 作法：①作直角边的垂直平分线，交斜边于点D； ②连接，则线段即为所求． 根据小云设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（只保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴①________， ∴（②________）（填推理的依据）， ∵， ∴，③________， ∴， ∴④________， ∴和都是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②等边对等角；③；④ 【分析】（1）根据作法补全图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得，再根据角的等量代换得，进而可证得，由等腰三角形的判定即可求证结论． 【详解】（1）解：补全的图形如图所示； （2）解：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴， ∴（等边对等角）． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等腰三角形． 9．如图，在中，平分交于点，点为延长线上一点，过点作分别交、于、两点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)过点作交延长线于点，，请直接写出图形中所有的等腰三角形（除外）． 【答案】(1)见解析； (2)，，，． 【分析】（）利用平行线的性质和角平分线的定义即可求出角度相等，再根据“等角对等边”即可求解； （）利用平行线的性质，角平分线的定义和“等边对等角”即可求出角度相等，再根据“等角对等边”即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， （2）∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，是等腰三角形， ∵ ∴， ∴是等腰三角形， 综上可知：，，，是等腰三角形． 10．已知与中，，，，连接与相交于点F，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）先证明得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （3）由（1）得，，从而得出，利用平行线的性质证明出，从而可得，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $