第05讲 13.3.2 三角形的外角 暑假预习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第05讲13.3.2三角形的外角暑假预习讲义同步训练新人教版八年级数学上册 一、选择题 1.若等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为() A.70° B.55 C.35°或70° D.55°或70° 2.如图，AB川CD,己知∠D=23°，∠B=65°，则∠E的度数为() B D E A.42° B.88° C.92° D.48° 3.如图，己知LBAD=30°，∠BCD=75°，DE平分∠ADC,且DE∥BC, ∠BC写ABC,则∠DEB的度数为(） A.15° B.22.5 C.30° D.45° 4.工地手推车主要用于短程运输砖头、沙土、砂浆、混凝土等建筑材料，是建筑工地常用 的一种搬运设备，又叫斗车.如图，这是一款工地手推车的平面示意图，其中AB川CD, ∠1=36°，∠2=86°，则∠3的度数为() B D A.104° B.128° C.130° D.156° 5.一天，妈妈带着淇淇去超市，在停车场时看到如图1所示的地锁，图2为其示意图.若 试卷第1页，共3页 ∠3=105°，则∠2-∠1的值为() 专用R车位 图1 图2 A.55° B.65° C.75° D.85° 6.如图，在四边形ABCD中，∠D+∠A=180°，己知∠BFA=85°，∠AEC=130°，则 ∠DCE+∠ABF的度数为() B A.45 B.50° C.55 D.60° 7.如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上， FH垂直于BE,交BD于点G,交BC于点H.下列结论： ①∠DBE=∠F; ②2LBEF=LBAF+LC: ③∠FEB=∠ABE+LC: ④2∠F=∠BAC-∠C.其中正确的有() H E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如果三角形的一个外角等于与它相邻内角的2倍，且等于与它不相邻的某个内角的4倍， 那么这个三角形一定是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形 试卷第2页，共3页 二、填空题 9.折叠△ABC纸片，使点B,C均与点A重合，折痕交直线BC于点D,E.若 ∠DAE=30°，则∠BAC=°. 10.如图，射线BD,AE分别是△ABC的外角∠ABF,∠CAG的角平分线，射线BD与直 线AC交于点D,射线AE与直线BC交于点E,若∠BAC=∠ABC+I10°，∠D=4LE,则 ∠ACB的度数为. D B 11.在五角星形ABCDE中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数=_ 12.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 三、解答题 13.如图，已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E. A C (1)若∠B=35°，∠E=25°，求LACD的度数： (2)求证：∠BAC=∠B+2∠E 试卷第3页，共3页 14.定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大30°，那么这样 的三角形我们称为“思梅三角形”，其中称为“思梅角”.例如：一个三角形三个内角 的度数分别是38°，74°，68°，那么这个三角形就是“思梅三角形”，其中68°为“思梅 角”. B 图① 图② (1)一个“思梅三角形”的一个内角为96°，若“思梅角”为锐角，则这个“思梅角”的度 数为一 (2)如图①，在△ABC中，∠A=72°，∠B=58°，D为线段AB上一点（点D不与点A、点 B重合)，若△BCD是“思梅三角形”，求∠BDC的度数： (3)如图②，在△ABC中，点D在边AB上，DE平分∠ADC交AC于点E,过点E作 EF I AB.CDF∠DEF=∠B #△BCDn△ACD 交于点”，且 若 和 都是“思梅三角形”且“思梅 角”都为锐角，直接写出∠A的度数. 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD交AB于点D,且∠I=∠B. D (I)判断CD与AB的位置关系，说明理由； (2)若AE平分∠CAB,且分别交CD,BC于点F,E.求证：∠CEA=∠CFE. 试卷第4页，共3页 16.如图，直线ABIICD,直线MN与AB,CD分别交于点M,N,ME,NE分别是 ∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F,过点N作NG⊥EN交AB于点G. GB H (I)若∠AMN=70°，则∠MNG=一： (2)求证：EM ING, (3)连接EG,在GN上取一点H,使∠HEG=∠HGE,作∠FEH的平分线EP交AB于点P, 求∠PEG的度数. 17.解决下列问题： 图1 图2 (I)如图1，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点E,求 ∠E的度数； (2)如图2，己知四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=230°，∠BCD的平分线CF与四边形 ABCD的外角∠ABE的平分线BF相交于点F,求∠F的度数. 试卷第5页，共3页 18.【问题背景】 如图1，∠MON=90°，点A,B分别在OM,ON上运动（点A,B不与点O重合），BC是 ∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D. W D B D a〉 M A M 图1 图2 图3 (1)【问题发现】如图1，若∠BA0=56°，则∠D的度数为一：随着点A,B的运动， ∠D的大小 (填“变”或“不变”). 问题探究】如图2，MON=9O,若∠ABC=3∠ABN,∠BAD=∠BAO,求 3 度数、 (3)【问题拓展】如图3，直线AM与直线NO相交于点O,夹角为，点B在射线NO上运 动（点B不与点N,O重合），点C在直线NO的右侧，CG平分∠MBV,MD平分∠AMB, 交直线CG于点D.当a=60°时，请直接写出∠BDM的度数. 试卷第6页，共3页 参考答案 1.D 2.A 3.A 4.C 5.c 6.A 7.D 8.B 9.75或15或105 10.38138度 11.180°/180度 12.1809 13.【详解】1)解：：CE平分∠ACD, &4CE=∠DCE=4CD, :∠B=35°，∠E=25°， .∠DCE=∠B+∠E=60°， .∠ACD=120°： (2)证明：：CE平分∠ACD, :∠ACE=∠DCE=)∠ACD】 :.2∠DCE=∠ACD .∠DCE=∠B+∠E,∠ACD=∠B+∠BAC, 2LB+2LE=∠B+∠BAC, 即∠BAC=∠B+2∠E 14.【详解】(1)解：设“思梅角”的度数为x,则另一内角为 x-30) 当x-30=96,解得x=126, “思梅角”为锐角， ∴此种情况不合题意，舍去， 试卷第7页，共3页 可得x+x-30+96=180,解得x=57, 故这个“思梅角”的度数为57°。 (2)解：在△ABC中，∠A=72°，∠B=58°， ∴.∠C=50°， 当∠B为“思梅角”： 若∠BDC=58°-30=28」 可得∠BCD=180°-58°-28°=94°>50°，不合题意，舍去； 若∠BCD=58°-30=28°. 可得∠BDC=180°-58°-28°=94°： 当∠BDC为“思梅角”： 若∠BCD=∠BDC-30°. 可得∠BDC+∠BDC-30°+58°=180°， 解得∠BDC=76°，∠BCD=46°： 若∠B=∠BDC-30°， 可得∠BDC-30°=58°， 解得∠BDC=88°，∠BCD=34°： 当∠BCD为“思梅角”： 若∠BDC=∠BCD-30°， 可得∠BCD+∠BCD-30°+58°=180° 解得∠BCD=76°>50°，不符合题意，舍去； 若∠B=∠BCD-30°， 可得∠BCD=88°>50°，不符合题意，舍去， 综上，∠BDC的度数为94°，76°，88°. (3)解：EF‖AB ∴.∠ADE=∠DEF, ∠DEF=∠B, ∴.∠ADE=∠B, DE平分∠ADC, .∠ADC=2∠ADE=2∠B 试卷第8页，共3页 ∠ADC=∠B+∠BCD, 2∠B=∠B+∠BCD, ∴.∠B=∠BCD. 设∠B=∠BCD=x, 已知△BCD是“思梅三角形”，当∠BDC=x+30°， 可得x+x+x+30°=180°」 解得x=50°，即∠B=∠BCD=50°，∠BDC=80°，∠ADC=100°， 己知△ACD是“思梅三角形”，且“思梅角”都为锐角， 则此时∠ADC不会为“思梅角”， 当∠A是“思梅角”： 若∠ADC=∠A-30°，可得∠A=130°，不符合题意，舍去； 若∠ACD=∠A-30°，可得∠A+∠A-30°+100°=180°，解得∠A=55°： 当∠ACD是“思梅角”： 若∠A=∠ACD-30°，可得∠ACD+∠ACD-30°+100°=180°，解得∠ACD=55°，则 ∠A=25°； 若∠ADC=∠ACD-30°，可得∠ACD=130°，不符合题意，舍去： 当∠BDC=x-30° 可得x+x+x-30°=180°。 解得x=70°，此时∠ADC=140°， 当∠A是“思梅角”： 若∠ADC=∠A-30°，可得∠A=170°，不符合题意，舍去： 若∠ACD=∠A-30°，可得∠A+∠A-30°+140°=180°，解得∠A=35°； 当∠ACD是“思梅角”： 若∠A=∠ACD-30°，可得∠ACD+∠ACD-30°+140°=180°，解得∠ACD=35°，则 ∠A=5°： 若∠ADC=∠ACD-30°，可得∠ACD=170°，不符合题意，舍去： 综上，∠A=25°或55°或35°或5° 15.(1)解：CD1AB, 理由：：∠ACB=90°」 .∠1+∠DCB=90°， 试卷第9页，共3页 ,∠1=∠B .∠B+∠DCB=90°， :∠B+∠BCD+∠CDB=180° ∠CDB=180°-∠B-∠DCB=180°-（∠B+∠DCB)=90° CD⊥AB: (2)证明：，AE平分∠CAB, .∠CAE=∠BAE, ∠I=∠B,∠CEA=∠B+∠BAE,∠CFE=∠1+∠CAE, .∠B+∠BAE=∠I+∠CAE」 ∴∠CEA=LCFE, 16【详解】(1)解：：AB‖CD,∠AMN=70°， .∠CNM=180°-∠AMN=110°， .NE是∠CNM的平分线， :∠MNE=)∠CNM=5S」 2 又：NG⊥EN, ∴.∠GNE=90°， ,∠MNG=∠GNE-∠MNE=90°-55°=35°： (2)证明：：ME是∠AMN的平分线， &2ME-, .AB II CD .∠CNM=180°-∠AMN. 又，NE是∠CM的平分线， &∠AE=<CNM=90-gaww, .NG⊥EN, .∠GNE=90°， 试卷第10页，共3页 G=NE-∠NE=0-o-W-aw ∴.∠WME=∠MNG, EM II NG (3)解：设∠HEG=x, :∠HEG=∠HGE, .∠HGE=∠HEG=x, 、∠EHN=∠HEG+LHGE=2x, :.∠NEH=90°-2x, ,EP平分∠FEH, ∠FEH=2∠PEH=2(∠PEG+x) 又：∠FEH+∠HEN=180°， :2(∠PBG+)+90°-2x=180 .∠PEG=45o 17.【详解】(1)解：∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点E, 485=∠cBE-ABc,∠4cE=∠DcE-4cD， ∠A=60° ·∠ACD=∠A+∠ABC=60°+2∠CBE.∠DCE=∠E+∠CBE, A∠E+∠CBE=(60°+2∠CBE)=30°+∠CBB. ∠E=30°： (2)解：，四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=230°， ∠ABC+∠BCD=360°-（∠BAD+∠ADC)=130°， .∠ABC=130°-∠BCD, :∠4BE=180-∠4ABC=180°-(130°-∠BCD)=50+∠BCD :四边形ABCD的内角∠BCD的平分线与外角∠ABE的平分线相交于点F, 试卷第11页，共3页 ÷∠FBF-ABE=25+2BCD,∠BCF-∠BCD, .∠EBF=∠F+∠BCF, .∠F=25° 18.【详解】(1)解：：∠BAO=56°，∠AOB=90°， :∠ABN=∠BA0+∠A0B=90°+56°=146°， :BC平分∠ABN, :∠ABC=)∠ABN=X146°=73， 2 21 :AD平分∠BAO, :∠B4D-B10-x56=28. .∠D=∠ABC-∠BAD=73°-28°=45° 随着点A,B的运动，∠D的大小不变，理由如下： 设∠BA0=&,则∠ABN=LBA0+∠AOB=90°+a, :BC平分∠ABN, 4c=4BN-0o0+a)=4s+0. :AD平分∠BAO, :∠BAD=)∠BAO=a 2 2 DMc-D ∴.∠D的大小不变，都为45° (2)解：：乙ABC=∠ABN,∠B1D=∠BA0, 3 3 :∠D=∠ABC-∠BAD=∠ABN-∠BAO=(∠ABN-∠BAO)=3∠MON 31 31 :∠MON=90°. .∠D=30° (3)解：分以下两种情况讨论. 试卷第12页，共3页 ①如图1，当点B在AM的上方时， N C B D G a入 A O M 图1 a=60°， .∠B0M=120°」 .∠NBM=∠BOM+∠AMB=120°+∠AMB. :BC平分∠MBN, ZCBM=ZNBM=120+ZAMB)=60+ZAMB 2 ,MD平分∠AMB, 1 ∠BMD= ∠AMB A∠BDM=∠CBM-∠BMD=60°+)∠AMB-∠AMB=60P 2 2 ②如图2，当点B在AM下方时，则∠M0B=a=60°. N C M B G 图2 ∠OBM+∠OMB=180°-∠MOB=120° MD ∠AMB,CG∠MBN, 平分 平分 ·∠DMB=∠AMB,∠DBM=∠NBM. 2 ∠DBM+∠DMB∠NBM+ANMB-(2NBM+∠AW)=60, 2 试卷第13页，共3页 .∠BDM=180°-（∠DBM+∠DMB)=180°-60°=120° 综上所述，∠BDM的度数为60°或120°. 试卷第14页，共3页