1.1 探索勾股定理（第1课时 认识勾股定理 ）（教学课件）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的认识、探索与应用，课堂导入通过电线杆拉钢索的实际问题引发兴趣，知识回顾先复习三角形和直角三角形的基本性质，再以“边的关系？”设问，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡到定理探索。 其亮点在于注重数学眼光、思维与语言的培养，通过测量直角三角形边长平方关系、割补法验证面积关系等活动发展几何直观和推理意识，用几何语言规范表达定理及公式变形，结合梯子靠墙等实例强化应用。小结从知识、方法、思想三方面系统总结，助力学生提升探究能力，也为教师提供清晰教学流程和多样化题型。

【新教材】北师版·八年级上册 第一章 勾股定理 1.1探索勾股定理 1.1.1认识勾股定理（第1课时） 学 习 目 标 1 2 3 知道什么是勾股定理。 掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题，培养运算能力和数学的语言表达能力，欣赏数学语言的优美与简洁. 勾股定理的探索与推理. 知识回顾 三角形 定义 角 边 直角 三角形 定义 角 边 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的平面图形. 三角形的内角和是 180°. 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 有一个角是 90°的三角形是直角三角形. 直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余的三角形是直角三角形. ？ 新知探究 如图，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6 m，那么需要多长的钢索？ 我们带着这个问题开始探究吧！ 勾股定理小史 新知探究 (1) 在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流。 a2 b2 c2 可能的关系 a b c 新知探究 A C B 如图，直角三角形三边的平分分别是多少，他们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴进行交流 A B C 新知探究 A C B A B C 左图 A 的面积 B 的面积 C 的面积 面积关系 边的关系 9 9 18 9+9=18 a2+b2=c2 你能找出右图中的数量关系吗？ 新知探究 对于下图中的直角三角形，是否还满足这样的关系？你又是如何计算的呢？ 方法一：割 将正方形 C 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 方法二：补 将正方形 C 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 该怎样求 C 的面积呢？ 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 新知探究 (3) 如果直角三角形的两直角边分别为 1.6 个单位长度和 2.4 个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由. 勾 股 弦 1 0 2 1 1.6 2.4 成立. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 因此，我国称上面的结论为勾股定理. 新知探究 几何语言描述： 在Rt△ABC 中，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2 a b c 公式变形： （a、b、c 为正数） 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2. A B C 新知探究 古希腊数学家毕达哥拉斯，在公元前5世纪给出了这个定理的证明，所以在国外这个定理也称为毕达哥拉斯定理，相传他证出这个定理后非常高兴，宰了一百头牛进行庆祝，于是也有人把它称为“百牛定理”. 新知探究 尝试思考 如图，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6 m，那么需要多长的钢索？ 解：由勾股定理可得 AB2 = AC2 + BC2 = 62+82 = 100， 即AB=10. 答：需要 10 m 的钢索. A C B 利用勾股定理求边长 题型一 题型探究 例1.求下列直角三角形中未知边的长: 8 x 17 12 5 x 解：由勾股定理可得： 82+ x2=172 即:x2=172-82 x=15 解:由勾股定理可得： 52+ 122= x2 即：x2=52+122 x=13 小亮 方法技巧 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用． 利用勾股定理进行计算 题型二 题型探究 小亮 例2.已知∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求 CD 的长. 解：由勾股定理可得 AB2 = AC2 + BC2 = 25， 即 AB = 5. 根据三角形面积公式， 得 AC·BC = AB·CD. ∴ CD = . A D B C 3 4 例3.如图，长 13 m 的梯子 AC 靠在墙上，梯子的底部 C 离墙角 B 的距离 BC 为 5 m (AB⊥BC)，求梯子的顶端A离地面BC的距离AB．​ A B C 5m 13m 解：在Rt△ABC 中， 由勾股定理得，AB2 + BC2 = AC2， 所以 AB2 + 52 = 132， 解得 AB = 12（m）． 答：梯子的顶端 A 离地面 BC 的距离AB 为 12 m. 利用勾股定理解决问题 题型三 题型探究 课堂小结 变式训练 1.如图，已知Rt△ABC的三边分别为a，b，c，∠C＝90°. (1)若a＝8，b＝6，则c＝ ； (2)若c＝13，b＝5，则a＝ . 10　 12　 变式训练 2.如图，有一张直角三角形纸片，其中∠ACB=90°，AB=5，AC = 3。现将△ABC 折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 D 处，折痕为 AE，则 CE 的长为（ ） A. 1 B. 2 C.1.5 D. 2.5 C 变式训练 3.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm. (1)求BC的长； (2)[方程思想]求AD的长。 解：(1)在Rt△BDC中， BC2＝BD2＋CD2＝32＋42＝25， ∴BC＝5cm. 解：(2)设AD＝xcm， 则AB＝AC＝(x＋3)cm. ∵CD⊥AB， 在Rt△ACD中，根据勾股定理得x2＋42＝(x＋3)2， 解得x＝ ， 即AD的长为 cm. ∴∠CDA＝90°. 【新教材】北师版·八年级上册 感谢聆听! Lavf58.20.100 $