1.2 一定是直角三角形吗（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理逆定理及勾股数，通过让学生画出3,4,5等满足a²+b²=c²的三角形并测量角度，从具体操作归纳出逆定理，搭建勾股定理与判定方法的知识支架。 其亮点在于以数学眼光引导几何直观，通过作图测量发现规律；以数学思维培养推理意识，如判断15,8,17是否为直角三角形；以数学语言强化应用意识，如零件直角验证、港口轮船航行问题。学生能提升探究能力，教师可高效落实教学目标。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 1.2 一定是直角三角形吗 第一章 勾股定理 北师大版八年级上册1.2 一定是直角三角形吗 练习题 ### 核心知识点回顾 本节重点学习勾股定理的逆定理，也是判定直角三角形的重要方法。如果三角形的三边长$$a、b、c$$满足关系式$$a^2+b^2=c^2$$，那么这个三角形是直角三角形，且最长边$$c$$所对的角为直角。同时，满足该关系的正整数组$$(a,b,c)$$叫做勾股数，常见勾股数有3、4、5；5、12、13；6、8、10等，勾股数的正整数倍依然是勾股数。解题关键是先确定三角形最长边，再验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（） A. 2、3、4 B. 3、4、6 C. 5、12、13 D. 4、6、7 2. 下列各组数中，不属于勾股数的是（） A. 6、8、10 B. 7、24、25 C. 9、12、15 D. 10、12、14 3. 一个三角形三边长为9、12、15，则该三角形最大内角的度数为（） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 4. 若三角形三边长之比为5:12:13，则这个三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 已知三角形三边长为$$\sqrt{3}$$、2、$$\sqrt{7}$$，该三角形的形状是（） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 勾股定理的逆定理：若三角形三边长$$a、b、c$$满足________，则这个三角形为直角三角形。 2. 写出一组大于10的常见勾股数：________。 3. 三角形三边长为8、15、17，该三角形的面积为________。 4. 若一个三角形的三边长为1.5、2、2.5，这个三角形________（填“是”或“不是”）直角三角形。 5. 已知三角形两边长为6、8，第三边长为________时，该三角形为直角三角形。 ### 三、解答题（共60分） 1.（20分）判断下列三组线段能否构成直角三角形，并说明理由：（1）7、24、25；（2）8、15、16；（3）9、40、41。 2.（20分）已知一个三角形的三边长分别为12、16、20，求证该三角形为直角三角形，并求出三角形的周长和面积。 3.（20分）如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，∠B=90°，连接AC，求证△ACD是直角三角形。 ### 参考答案与简要解析 选择题：1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 填空题：1.$$a^2+b^2=c^2$$ 2.15、8、17（答案不唯一） 3.60 4.是 5.10或$$2\sqrt{7}$$ 解答题：1.（1）$$7^2+24^2=25^2$$，是直角三角形；（2）$$8^2+15^2≠16^2$$，不是直角三角形；（3）$$9^2+40^2=41^2$$，是直角三角形。 2. 最长边为20，$$12^2+16^2=20^2$$，满足逆定理，为直角三角形；周长=12+16+20=48，面积=$$\frac{1}{2}×12×16=96$$。 3. 在Rt△ABC中，$$AC^2=AB^2+BC^2=25$$，AC=5；在△ACD中，$$5^2+12^2=13^2$$，满足勾股逆定理，故△ACD为直角三角形。 ### 易错总结 利用逆定理判定直角三角形时，必须先找准最长边，避免用长边平方加短边平方验证；已知两边求第三边判定直角三角形时，需分第三边为斜边或直角边两种情况，防止漏解；小数、分数边长也可判定直角三角形，勾股数仅限正整数。 通过学习勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念，能根据所给定三角形三边的条件判断三角形是不是直角三角形 通过经历勾股定理的逆向思维所推出的勾股定理逆定理的理解过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力． 通过体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系 下面每组数分别是一个三角形的三边长a，b，c，而且都满足a2+b2=c2： 3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25. 分别以每组数为三边长画出三角形(可借助尺规作图)，它们都是直角三角形吗? 知识点1 直角三角形的判定条件 13 12 5 4 3 5 17 8 15 25 24 7 3 ① 3，4，5满足a2+b2=c2，量得较长边c所对的角的度数为90°； ② 5，12，13满足a2+b2=c2，量得较长边c所对的角的度数为90°； ③ 7，24，25满足a2+b2=c2，量得较长边c所对的角的度数为90°； ④ 8，15，17满足a2+b2=c2 ，量得较长边c所对的角的度数为90°. 知识点1 直角三角形的判定条件 13 12 5 4 3 5 17 8 15 25 24 7 所以以上四种情况都可以构成直角三角形. 4 如果三角形三条边的长度 a，b，c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. 知识点1 直角三角形的判定条件 符号语言： 在△ABC中，因为a2 +b2 =c2 . 所以△ABC是直角三角形，且∠C=90°. C B A a b c 5 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 知识点1 直角三角形的判定条件 AC2 +BC2 =AB2 勾股定理 勾股定理的逆定理 直角三角形的性质 直角三角形的判定 数 形 C B A 6 例1 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？ 解：在△ ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， 所以△ ABD是直角三角形，∠A是直角. 在△ BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2， 所以△ BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 知识点1 直角三角形的判定条件 4 3 5 13 12 A B C D 7 跟踪训练 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1) a=15， b=8，c=17； 解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172， 由勾股定理的逆定理可知，这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角. 知识点1 直角三角形的判定条件 8 跟踪训练 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (2) a=13，b=14，c=15. 解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152， 由勾股定理的逆定理可知，这个三角形不是直角三角形. 知识点1 直角三角形的判定条件 9 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；6，8，10； 7，24，25；8，15，17等. 知识点2 勾股数 注意：勾股数应具备两个条件： (1)这三个数均为正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方. 10 关于勾股数的重要结论：若a，b，c是一组勾股数，则 ①na，nb，nc(n为正整数)也是一组勾股数，因此勾股数有无数组； ②以na，nb，nc(n为正数)为边长的三角形一定是直角三角形. 知识点2 勾股数 11 跟踪训练 下列几组数中是勾股数的是 .(填序号) ① ，，；② 0.3，0.4，0.5；③ 32，42，52； ④ 3，4，5； ⑤ 6，7，8； ⑥ 5，12，13. 知识点2 勾股数 ④ ⑥ 12 回顾勾股定理的学习过程，你积累了哪些研究问题的经验和方法? 知识点2 勾股数 13 知识点1 直角三角形的判定 1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是(　　) A.a∶b∶c＝5∶12∶13 B.∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5 C.a＝9k，b＝40k，c＝41k(k＞0) D.a＝2，b＝3，c＝4 返回 D 基础提优题 2.如图，在由小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是(　　) A.点A　　 B.点B　　 C.点C　　 D.点D 返回 (第2题) D 基础提优题 3. 已知△ABC中，AB＝k，AC＝k＋1，BC＝3，当k＝　　　　时，∠B＝90°. 返回 4 基础提优题 4.如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 　　　　. 返回 (第4题) 基础提优题 知识点2 勾股数 5.下列各组数中，是勾股数的是(　　) A.4，5，6　　 B.1，2，3 C.1.5，2，2.5　　 D.9，40，41 返回 D 基础提优题 6.［2025扬州］清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；….根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　　　　　　. 返回 11，60，61 综合应用题 知识点3 直角三角形判定的应用 7.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于A，B处，且相距20海里，已知甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船的航行方向是(　　) A.北偏东50° B.北偏东45° C.南偏东50° D.南偏东60° 返回 A 基础提优题 8.［2026徐州期中］如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米，其中∠ACB＝90°. (1)判断△ACD的形状，并说明理由； 返回 基础提优题 【解】△ACD是直角三角形. 理由：因为∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米， 所以由勾股定理得AC＝5米.又因为CD＝3米，AD＝4米，所以AD2＋CD2＝25＝AC2，所以△ACD是直角三角形，∠ADC＝90°. 返回 基础提优题 (2)求图中阴影部分土地的面积. 返回 【解】图中阴影部分土地的面积＝AC×BC－AD×CD＝×5×12－×4×3＝24(平方米). 基础提优题 9.［华师一附中自主招生］已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4＋2b4＋c4＝2a2c2＋2b2c2，则△ABC是(　　) A.等腰三角形　　 B.等腰直角三角形 C.直角三角形　　 D.等腰三角形或直角三角形 返回 B 综合应用题 勾股定理的逆定理 判断三角形的形状、解决简单的实际问题 如果三角形三条边的长度a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 测量两边的平方和等于第三边的平方的三角形的内角 内容 应用 探索、验证方法 课堂小结 $