专题1.4 相似三角形的判定（举一反三讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦相似三角形的判定核心知识点，从定义出发对比全等三角形明确异同，系统梳理预备定理及三大判定定理，结合平行线型等常见图形，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料亮点在于题型分层设计，9类题型含例题与变式，如“存在相似三角形”结合矩形运动问题，培养推理能力与应用意识。常见图形分类助于几何直观，课中辅助教学，课后通过变式练习帮助学生查漏补缺。

专题1.4 相似三角形的判定（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 由平行判定相似】 2 【题型2 由两角相等判定相似】 5 【题型3 由两边对应成比例及夹角相等判定相似】 7 【题型4 由三边对应成比例判定相似】 9 【题型5 】 12 【题型6 裁剪使两三角形相似】 14 【题型7 尺规作图使两个三角形相似】 20 【题型8 相似三角形的对数】 23 【题型9 存在相似三角形】 26 考点1 相似三角形的判定 知识点1 相似三角形 1. 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．和相似，记作． 2. 全等三角形与相似三角形的比较 全等三角形 相似三角形 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 特征 形状相同且大小相等 形状相同但大小不一定相等 图形表示 对应边 相等 成比例 对应角 相等 相等 相似比 1 可以是1，也可以是其他正实数 知识点2 三角形相似的判定 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似． 1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似． 已知和和和，若，，则． 2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 已知和和，若，，则． 3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似． 已知和和，若，则． 直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 4. 有关三角形相似的常见图形 图形特征 所需条件 证明方法 平行线型 已知 DE // BC，所以同位角、内错角相等 两角分别相等的两个三角形相似． 斜交型 有公共角或对顶角， 两角分别相等的两个三角形似． 公共角的两边对应成比例， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 母子型 两角分别相等的两个三角形相似． 旋转型 有一组角对应相等， 公共角（对应角）的两边对应成比例，， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 【题型1 由平行判定相似】 【例1】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 【变式1-1】（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由即可得出结论 【详解】证明：， ． 【变式1-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且 ， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 【变式1-3】如图所示、点E是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点F，连接，请问图共有多少对相似三角形：___________． 【答案】3 【分析】根据四边形是平行四边形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴有3对相似三角形． 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【题型2 由两角相等判定相似】 【例2】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据两组角对应相等的两个三角形相似可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴． 【变式2-1】（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，关键是熟练应用知识点解题；根据两角对应相等的两个三角形相似即可得出结论． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， 同理：，， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 【答案】（或） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．等腰三角形的性质，由于两个三角板全等且为等腰直角三角形，图中存在多个角和角，通过角度关系可判断，． 【详解】解：和是两个全等的等腰直角三角板， ， ， ， 同理可得， 故答案为：（或） 【变式2-3】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，结合（1）中的结论，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由（1）可知：， ∴． 【题型3 由两边对应成比例及夹角相等判定相似】 【例3】（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ， ， ． 【变式3-1】（24-25八年级下·山东淄博·阶段检测）如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三角形的一个角为判断即可．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：由题意，，， ， 选项A中的三角形是有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意． 故选：A． 【变式3-2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 由题意可知， ，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】∵，，，， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点在内，点在外，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据两边对应成比例及其夹角相等判定，再利用相似三角形的性质即可证明； （2）由得到，则有，再根据两边对应成比例及其夹角相等即可证明． 【详解】（1）证明：∵且， ∴， ∴， ∴， 即； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【题型4 由三边对应成比例判定相似】 【例4】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据三边成比例的两三角形相似，得证，即可作答． 【详解】证明：，，，，，， 则， ， ． 【变式4-1】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，，，∴两三角形相似； B． ∵，，，∴两三角形不相似； C．∵，，，∴两三角形不相似； D．∵，，，∴两三角形不相似； 故选：A． 【变式4-2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，， A、在中，，，， ，，， ， ，故A选项不符合题意； B、在中，，，， ，，， ， 和不相似，故B选项符合题意； C、在中，，，， ，，， ， ，故C选项不符合题意； D、在中，，，， ，，， ， ，故D选项不符合题意； 故选：B ． 【变式4-3】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 【题型5 】 【例5】（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定规则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵选项A中，，符合两角分别相等的判定规则，∴A可以判定 ； ∵选项B中，符合三边成比例的判定规则，∴B可以判定； ∵选项C中，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，∴C可以判定； ∵选项D中，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，∴D不能判定． 【变式5-1】（2026·广东中山·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 【变式5-2】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当___________或___________或___________时，与相似． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定， 根据“两角分别相等的两个三角形相似”，“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出答案. 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴. 故答案为：，，. 【变式5-3】（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 【题型6 裁剪使两三角形相似】 【例6】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； 选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意， 故选：C． 【变式6-1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在三角形纸片中，．剪下的涂色部分的三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题需依据相似三角形的判定定理，对每个选项中涂色三角形与的边、角关系逐一分析，判断是否满足相似条件． 【详解】选项A中， 则． 涂色三角形与： ，； ，． 边的比例：，， 即． 又 是与的公共角， 可得， 即选项A中涂色三角形与相似． 选项B中，，则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 但与并非对应夹角，不满足相似判定条件， 故选项B不相似． 选项C中，， 则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 边的比例不相等，且无对应相等的角， 故选项C不相似． 选项D中，， 则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 边的比例不相等，且无对应相等的角， 故选项D不相似． 故选A 【点睛】本题核心是运用相似三角形的判定定理（重点为“两边对应成比例且夹角相等”），通过分析各选项中涂色三角形与的边比例、角的关系，确定相似性．解题关键在于准确识别对应边、对应角，并验证比例与角度条件． 【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解． 【详解】解：A、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项A不符合题意； B、由两组对边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项B不符合题意； C、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项C不符合题意； D、无法证明图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键． 【变式6-3】如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故A不符合题意； 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B不符合题意； 如图3， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故C不符合题意； 如图4， ∵， ∴，， ∴， 假设， ∵， ∴，与已知条件不符， ∴与不相似， 故D符合题意， 故选：D． 【题型7 尺规作图使两个三角形相似】 【例7】已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点． 【详解】如图，点E即为所求作的点．故选A． 【点睛】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于∠B或∠C，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键． 【变式7-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰中，，，请用尺规在上求作一点，使得 ．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定、线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 作的垂直平分线，交于点，连接，由此即可得． 【详解】解：如图，点即为所求．    理由：由线段垂直平分线的性质得：， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【变式7-2】如图，在四边形中，为对角线，，请用尺规在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】过点D作交于E，点E即为所求作． 【详解】解：如图，点E即为所求作． 由作图知，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图-相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式7-3】如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，∠ADC＝∠DBC＝90°，点E为AD边上一点，请用尺规在BD边上求作一点P，使△DEP∽△CDB．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】过点E作PE⊥BD交BD于P，△PDE即为所求作． 【详解】解：如图，点P即为所求作． 由作图知，∠EPD＝90°， ∵∠ADC＝∠DBC＝90°， ∴∠EDP+∠BDC＝∠C+∠BDC＝90°， ∴∠EDP＝∠C， ∴Rt△DEP∽Rt△CDB． 【点睛】本题考查作图-相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型8 相似三角形的对数】 【例8】如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G  ， AF⊥BE于F  ， 图中相似三角形的对数是（　　）    A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【详解】试题解析：∵矩形ABCD ∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE= ∴△EDG∽△ECB∽△BAG ∵AF⊥BE ∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE= ∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA ∴△GAF∽△GBA∽△ABF ∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA ∴共有10对 故选D． 【变式8-1】（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有____个． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理与网格．欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【详解】解：则，，． 连接， ，，． ， ． 同理可找到，，，，和相似，共6个． 故答案为：6． 【变式8-2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，则图中相似而不全等的三角形的对数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据三角形相似的判定定理，结合等腰直角三角形的性质解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和是两个全等的等腰直角三角形，， ， ， ， ， 又， ， ， 故有3对， 故选：B． 【变式8-3】如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据两角对应相等，两三角形相似得出相似三角形的对数，注意做到不重不漏． 【详解】解：∵、分别是的边、上的高， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：图中相似三角形的对数为6； 故选D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 【题型9 存在相似三角形】 【例9】如图，矩形ABCD中，点M从A点出发在线段AB上作匀速运动（不与A、B重合），同时点N从B点出发在线段BC上作匀速运动． (1)如图1，若M为AB中点，且DM⊥MN．请在图中找出两对相似三角形： ①_____∽______，②_____∽_____，选择其中一对加以证明； (2)①如图2，若AB=5，BC=3点M的速度为1个单位长度/秒，点N的速度为个单位长度/秒，运动的时间为t秒．当t为何值时，△DAM与△MBN相似？请说明理由； ②如果把点N的速度改为a个单位长度/秒，其它条件不变，是否存在a的值，使得△DAM与△MBN和△DCN这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)△DAM，△MBN，△DAM，△DMN； (2)①当时，；当时，；②当时，． 【分析】（1）首先可得有，，三对相似；然后选择其中的一对证明即可，注意应用矩形的性质，特别是同角或等角的余角相等的性质的应用； （2）①如图2可得AM=t，MB=5t，BN=t（0＜t＜5），然后分两种情况：（Ⅰ）当∠1=∠3时，△DAM∽△MBN；（Ⅱ）当∠2=∠3时，△DAM∽△NBM去分析根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解方程即可求得答案；②分四种情况去分析：（Ⅰ）当∠1=∠3=∠6时，∠DMN=90°，△DAM∽△MBN∽△DCN，（Ⅱ）当∠1=∠3=∠5时，（Ⅲ）当∠2=∠3=∠6时，（Ⅳ）当∠2=∠3=∠5时，△DAM∽△NBM∽△DCN，根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可求得答案． 【详解】（1）解：有△DAM∽△MBN，△DAM∽△DMN，△DMN∽△MBN三对相似； 选△DAM∽△MBN， 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴∠ADM=∠BMD， ∴△DAM∽△MBN； 选△DAM∽△DMN， 证明：延长NM交DA的延长线于E点，如图1． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠B=90°， ∴∠EAM=∠B=90°． 又∵∠AME=∠BMN，AM=BM， ∴△AME≌△BMN（AAS）， ∴EM=MN． 又∵DM⊥MN， ∴DE=DN， ∴∠ADM=∠NDM． 又∵∠DAM=∠DMN=90°， ∴△DAM∽△DMN； 选△DAM∽△MBN， 证明：延长MN交DA的延长线于E点，如图1． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠B=90°， ∴∠EAM=∠B=90°． 又∵∠AME=∠BMN，AM=BM， ∴△AME≌△BMN（AAS）， ∴EM=MN，∠E=∠MNB． 又∵DM⊥MN， ∴DE=DN， ∴∠E=∠DNM， ∴∠DNM=∠MNB． 又∵∠DMN=∠B=90°， ∴△DMN∽△MBN（AAS）； （2）解：①如图2，AM=t，，BN=t（0＜t＜5），分两种情况： （Ⅰ）当∠1=∠3时，△DAM∽△MBN， ∴， 解得：t=． （Ⅱ）当∠2=∠3时，△DAM∽△NBM， ∴， ∴， ∴，解得： ， （不合题意舍去）． ∴当t=时，△DAM∽△MBN；当时，△DAM∽△NBM． ②分四种情况：（Ⅰ）当∠1=∠3=∠6时，∠DMN=90°，△DAM∽△MBN∽△DCN，由，得：BN=， ∴CN=，由，得：CN•MB=DC•BN， ∴ ， 化简得：， 解得：，（不合题意舍去），a=； （Ⅱ）当∠1=∠3=∠5时． ∵∠5+∠6=90°， ∴∠1+∠6=90°，（与已知条件矛盾）， 所以此时不存在． （Ⅲ）当∠2=∠3=∠6时， 方法一：∵∠1+∠2=90°， ∴∠1+∠6=90°，（与已知条件矛盾）所以此时不存在． 方法二：由，得：BN=， ∴CN=，由，得：， ∴ ，解得：t=5（不合题意舍去）， 所以此时不存在． （Ⅳ）当∠2=∠3=∠5时，△DAM∽△NBM∽△DCN，由（Ⅲ）得BN=， ∴CN=，由，得：CN•NB=DC•BM， ∴ =5（5t），化简得：方程没有实数根， 所以此时不存在． 综上所述：当a=时，△DAM∽△MBN∽△DCN． 　 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，一元二次方程的解法，以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用． 【变式9-1】新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】取的中点，再取网格点M、N，连接格点，结合中位线的性质可证明，，，再根据，，，，可得，结合，有，即可获得答案． 【详解】解：如图，取的中点，再取网格点M、N，连接格点，    则，且， ∴，， ∴． 同理可证：，． ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， 综上，满足条件的三角形有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中位线的性质、相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答本题的关键． 【变式9-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在 中，，，，点 以每秒 个单位长度的速度从点 向点 方向运动，同时点 以每秒 个单位长度的速度从点 向点 方向运动，点 到达点 后，点 也停止运动，设点 ， 运动的时间为 ． (1)求点 停止运动时， 的长． (2)在 ， 两点运动过程中， 是点 关于直线 的对称点，是否存在某一时刻，使四边形 为菱形？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由． (3)在 ， 两点运动过程中，求使 与 相似的 的值． 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【分析】 本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、菱形的性质以及相似三角形的性质． （1）利用勾股定理求斜边长度，再根据运动时间求线段长度，进而用勾股定理求的长； （2）根据菱形性质得到相关线段关系 ，再利用相似三角形的性质列方程求解； （3）分两种情况，根据相似三角形的对应边成比例列方程求解． 【详解】（1） 解 ：，，， ， 点从点运动到点所需时间为， 点停止运动时，， ， ． （2） 存在，连接，交于点， 点与点关于直线对称， ，， 当时，四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即解得，解得， 故存在某一时刻，使四边形为菱形，此时的值为． （3） 与相似时，分以下两种情况： ①若，则，即，解得； ②若，则，即，解得． 综上所述，使与相似的的值为或 【变式9-3】（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒． (1)______；______；（用含的代数式表示） (2)用含的代数式表示点的坐标． (3)是否存在的值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或见解析 【分析】（1）由点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，得，，得到 ，，解答即可． （2）延长交于点G，利用矩形的判定和性质，结合三角函数得，根据点的坐标的意义，描述即可． （3）分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动， ∴，，， ∴， 故答案为：，． （2）解：延长交于点G， ∵矩形，， ∴， ∴矩形，矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点． （3）解：存在，理由如下： 根据问2证明，得，， ∴， 当时，得， ∴， 解得； 当时，得， ∴， 解得； 综上所述，当或时，结论成立． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角函数，三角形相似是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 相似三角形的判定（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 由平行判定相似】 2 【题型2 由两角相等判定相似】 3 【题型3 由两边对应成比例及夹角相等判定相似】 4 【题型4 由三边对应成比例判定相似】 5 【题型5 】 6 【题型6 裁剪使两三角形相似】 7 【题型7 尺规作图使两个三角形相似】 9 【题型8 相似三角形的对数】 10 【题型9 存在相似三角形】 11 考点1 相似三角形的判定 知识点1 相似三角形 1. 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．和相似，记作． 2. 全等三角形与相似三角形的比较 全等三角形 相似三角形 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 特征 形状相同且大小相等 形状相同但大小不一定相等 图形表示 对应边 相等 成比例 对应角 相等 相等 相似比 1 可以是1，也可以是其他正实数 知识点2 三角形相似的判定 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似． 1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似． 已知和和和，若，，则． 2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 已知和和，若，，则． 3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似． 已知和和，若，则． 直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 4. 有关三角形相似的常见图形 图形特征 所需条件 证明方法 平行线型 已知 DE // BC，所以同位角、内错角相等 两角分别相等的两个三角形相似． 斜交型 有公共角或对顶角， 两角分别相等的两个三角形似． 公共角的两边对应成比例， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 母子型 两角分别相等的两个三角形相似． 旋转型 有一组角对应相等， 公共角（对应角）的两边对应成比例，， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 【题型1 由平行判定相似】 【例1】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【变式1-1】（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【变式1-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且 ， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【变式1-3】如图所示、点E是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点F，连接，请问图共有多少对相似三角形：___________． 【题型2 由两角相等判定相似】 【例2】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 【变式2-1】（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________． 【变式2-2】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 【变式2-3】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 【题型3 由两边对应成比例及夹角相等判定相似】 【例3】（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-1】（24-25八年级下·山东淄博·阶段检测）如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与相似的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点在内，点在外，且．求证： (1)； (2)． 【题型4 由三边对应成比例判定相似】 【例4】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 【变式4-1】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 【变式4-2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【题型5 】 【例5】（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【变式5-1】（2026·广东中山·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当___________或___________或___________时，与相似． 【变式5-3】（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【题型6 裁剪使两三角形相似】 【例6】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在三角形纸片中，．剪下的涂色部分的三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【变式6-3】如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A．   B．   C．   D．   【题型7 尺规作图使两个三角形相似】 【例7】已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰中，，，请用尺规在上求作一点，使得 ．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式7-2】如图，在四边形中，为对角线，，请用尺规在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式7-3】如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，∠ADC＝∠DBC＝90°，点E为AD边上一点，请用尺规在BD边上求作一点P，使△DEP∽△CDB．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型8 相似三角形的对数】 【例8】如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G  ， AF⊥BE于F  ， 图中相似三角形的对数是（　　）    A．5 B．7 C．8 D．10 【变式8-1】（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有____个． 【变式8-2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，则图中相似而不全等的三角形的对数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式8-3】如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【题型9 存在相似三角形】 【例9】如图，矩形ABCD中，点M从A点出发在线段AB上作匀速运动（不与A、B重合），同时点N从B点出发在线段BC上作匀速运动． (1)如图1，若M为AB中点，且DM⊥MN．请在图中找出两对相似三角形： ①_____∽______，②_____∽_____，选择其中一对加以证明； (2)①如图2，若AB=5，BC=3点M的速度为1个单位长度/秒，点N的速度为个单位长度/秒，运动的时间为t秒．当t为何值时，△DAM与△MBN相似？请说明理由； ②如果把点N的速度改为a个单位长度/秒，其它条件不变，是否存在a的值，使得△DAM与△MBN和△DCN这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【变式9-1】新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在 中，，，，点 以每秒 个单位长度的速度从点 向点 方向运动，同时点 以每秒 个单位长度的速度从点 向点 方向运动，点 到达点 后，点 也停止运动，设点 ， 运动的时间为 ． (1)求点 停止运动时， 的长． (2)在 ， 两点运动过程中， 是点 关于直线 的对称点，是否存在某一时刻，使四边形 为菱形？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由． (3)在 ， 两点运动过程中，求使 与 相似的 的值． 【变式9-3】（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒． (1)______；______；（用含的代数式表示） (2)用含的代数式表示点的坐标． (3)是否存在的值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $