第1章 1.1 线段的比-1.1.2 成比例的线段-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“图形的相似”第一章，核心涵盖线段的比、成比例的线段及黄金分割知识点。通过正方形对角线、等边三角形高等实例导入，从基础线段比到成比例线段再到黄金分割，构建递进式学习支架，衔接前后知识逻辑。 其亮点在于融入跨学科实例（如鹦鹉螺螺线、乐器弦黄金分割点）和实际应用（A系列纸长宽比、黄金矩形设计），以分层训练（刷基础、提升、素养）培养数学眼光与推理能力。详细解析与归纳总结助力学生用数学语言表达，既夯实基础又提升思维，为教师提供丰富教学资源与分层教学支持。

数 学 九年级上册 XJ 1 2 3 第1章 图形的相似 4 1.1 线段的比 1.1.2 成比例的线段 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 两条线段的比 1.【2026湖南长沙质检】正方形的对角线与它的边长之比是( ) D A. B. C. D. 【解析】设正方形的边长为，则其对角线长为 ，所以正方形的对角线与它的 边长之比为 ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 2.【2026广东深圳质检】等边三角形的高与它的边长的比值是_ __. 【解析】设等边三角形的边长是2.根据等边三角形三线合一的性质，得底边上的 高也是底边上的中线.因为底边的一半是1，所以根据勾股定理，得底边上的高是 ，所以等边三角形的高与它的边长的比值是，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 知识点2 成比例线段 3.给出下列各组线段，其中是成比例线段的是( ) D A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 【解析】A选项，，故此选项错误；B选项， ， ，故此选项错误；C选项， ， ， ，故此选项错误；D选项， ，故此选项正确.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.已知四条线段，，，成比例，若，，，则线段 的长是___. 1 【解析】 四条线段,,,成比例，.又 ， .， ．故答案为1． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 思路分析 四条线段成比例，可根据前两条线段的长，确定其比例，进而求出 的值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 知识点3 黄金分割 5. 跨学科综合 【2026湖南湘潭期中】鹦 鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比 是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律.如 图，已知点是线段的黄金分割点 ， 若的长为8，则 的长为( ) D A. B. C. D. 【解析】因为点是线段的黄金分割点，所以.因为 的长 为8，所以 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 6.如图，乐器上的一根弦，两个端点,固定在乐器面板上，支撑点 是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点, 之间 的距离为______________ .（结果保留根号） 【解析】 点是靠近点的黄金分割点， ， . 点是靠近点 的黄金分割点， ， ， ， 支撑点， 之间的距离为，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 7.【2026浙江金华质检】已知线段，，满足 ，且 . （1）求，， 的值； 【解】由题可设,,,则 ，解得 ，则，， . （2）若线段是线段，的比例中项，求 的值； 【解】 线段是线段,的比例中项，， ， （负值已舍去），的值为 . （3）将线段 按黄金分割比分为两条线段，求分完后的较长线段的长度. 【解】 将线段按黄金分割比分为两条线段， 分完后的较长线段的长度为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 技巧点拨 利用“设法”用含的式子表示出，， ，可以使计算更加简便. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 8.【2026江苏无锡质检】 （1）我们把邻边之比为 的矩形叫作黄金矩形.如图，已知正方形 ，请用无刻度直尺和圆规作出黄金矩形，使得点， 分 别在线段， 上.（保留作图痕迹，不写作法） 图（1） 【解】如图（1），先画出边的中点，连接，再以 为圆心， 长为半径作圆弧与交于点，最后以点为圆心， 长为半径作 圆弧与交于点，在上截取，矩形 即为所求作的 矩形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 （2）在（1）的基础上，若以为边作正方形，使得点， 分别在线段 ，上，则矩形 是黄金矩形吗？为什么？ 图（2） 【解】矩形是黄金矩形.理由：如图（2），因为矩形 是黄 金矩形，所以.因为四边形 是正方形，所以 ，所以，则点是线段 的黄金分割点，所 以，所以，故矩形 是黄金矩形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 提升 1. 【2026河南周口期中，中】按照国际标准， A系列纸为长方形，将 纸沿长边对折、裁开，便 得到纸；将纸沿长边对折、裁开，便得到 纸；将纸沿长边对折、裁开，便得到 纸；将 纸沿长边对折、裁开，便得到 纸……将一张 B A.长是宽的2倍 B.长是宽的倍 C.宽是长的 D.宽是长的 纸按如图所示的方式折叠，据此可以发现，A系列纸的长与宽的关系为( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 【解析】由题意可知第一次折叠，形成一个正方形，即四边形 为正方形， ;第二次折叠，得出 ，,即A系列纸的长是宽的 倍.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 2.［中］长为2，8，4，的四条线段组成成比例的线段，则 的值为__________． 1或4或16 【解析】分情况讨论：①若，则；②若，则 ； ③若，则.综上， 的值为1或4或16． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 归纳总结 利用成比例的线段的概念求线段长度的方法：根据成比例的线段的概念写出比例式， 并把它看成方程，解方程即可.若成比例的线段的顺序不确定，则需要分类讨论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 3.［中］欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的 方法.如图所示，以线段为边作正方形，取的中点 ，连 接，延长至，使得，以为边作正方形 ，则 点即是线段的黄金分割点.若，记正方形 的面积为 ，矩形的面积为，则与 的和为______________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 【解析】，点是线段的中点， ， ， ， ， ， 点是线段的黄金分割点， ， ，，与 的和为 .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 4.【2026贵州铜仁期中，中】如图，有3个已知边长的矩形，分别记为图甲、图乙、 图丙. （1）填写两个长与宽成比例的矩形：图____和图____.（填“甲”或“乙”或 “丙”） 甲 乙 【解析】 图甲和图乙中，，图乙和图丙中， ，图甲和图丙中， ， 图甲和图乙的长与宽成比例.故答案为甲，乙. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 （2）改变图丙的一边长，使之与图甲的长与宽成比例，请给出一种更改方案，并 说明理由. 【解】（答案不唯一）方案：图丙的长减少7时，与图甲的长与宽成比例.理由如 下：当图丙的长减少7时，新图丙的长为4，宽为3，则 ,符合题意. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 刷素养 走向重高 5.核心素养 推理能力 【2026黑龙江哈尔滨期末，难】人们把宽与长的比值是 或长与宽的比值为 的矩形叫作黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称 的美感.世界上许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设 计，如希腊的帕提农神庙（如图（1））等.下面给出两种得到黄金矩形的方案. 图（1） 图（2） 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 （1）方案一：如图（2），在矩形中，，连接对角线，以 为 圆心，长为半径画弧交延长线于点，过作交延长线于 ，则图 中得到的黄金矩形是_______； 【解】设，则 四边形是矩形， ， 由题意知 ， ，. ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形.故答案为矩形 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 （2）方案二：如图（3），已知正方形，以为边向外作矩形， 为 中点，连接.过作交延长线于点，当 时，可猜想矩 形 是黄金矩形，请你证明这个猜想. 【证明】 四边形是正方形，， ， .设 为的中点，.在 中， ， ，， 四边形 为平行四边形.， 四边形为菱形， ， ，， 矩形 为黄金矩形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 $