第20讲 直线与抛物线的位置关系（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第20讲 直线与抛物线的位置关系（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 直线与抛物线的位置关系 上一节学习了抛物线的方程和抛物线的几何性质，研究了抛物线的几何特征.下面继续研究直线与抛物线有什么样的位置关系? 【知识点1 直线与抛物线的位置关系】 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 【例1】（25-26高二·全国·课后作业）直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【解题思路】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论． 【解答过程】直线过定点， ∵， ∴点在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交， 故选：A． 【变式1-1】（25-26高一下·辽宁大连·期末）对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【答案】D 【解题思路】联立直线和抛物线的方程，消元后利用的符号判断交点个数. 【解答过程】联立， 消去得：， 所以， 因为， 所以，故直线与抛物线无公共点， 故选：D. 【变式1-2】（2026高二·全国·专题练习）抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】B 【解题思路】求出直线AF的中垂线方程，代入，可得，即可得出结论． 【解答过程】设，，则的中点坐标为，， 所以中垂线的斜率为， 所以直线的中垂线方程为，代入，可得， ∴， ∴线段FA的中垂线与抛物线相切. 故选：B. 【变式1-3】（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解题思路】分斜率不存在，斜率为0及斜率其他情况分类讨论，结合联立方程组应用判别式计算判断即可. 【解答过程】由抛物线的方程为知． 当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与地物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 由得关于的方程， 令，解得，此时满足条件的直线有1条． 综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条， 故选：C． 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数】 【例2】（2026·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【解答过程】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 【变式2-1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围. 【解答过程】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高二上·河北·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【解题思路】充分性分析：当时，将代入抛物线的方程，利用判别式说明充分性成立；必要性分析：将直线代入抛物线，得到，分和两种情况讨论，说明必要性不成立，从而得到结论. 【解答过程】分析充分性： 当时，将代入抛物线的方程， 整理得，此时， 即直线与抛物线恰有一个公共点，因此充分性成立； 分析必要性： 将直线代入抛物线，整理得， 当时，令 解得. 当时，此时直线方程为，此时直线与抛物线恰有一个公共点. 综上可知，当直线与抛物线恰有一个公共点时，或， 故“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-3】（25-26高二上·全国·课后作业）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 【答案】答案见解析 【解题思路】联立方程组消元，分二次系数是否为0讨论，结合判别式即可求解. 【解答过程】由，得. 当时，方程化为一次方程， 该方程只有一解，原方程组只有一组解， ∴直线与抛物线只有一个公共点； 当时，二次方程的判别式， 当时，得，， ∴当或时，直线与抛物线有两个公共点； 由得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点； 由得或，此时直线与抛物线无公共点． 综上，当或时，直线与抛物线仅有一个公共点； 当或时，直线与抛物线有两个公共点； 当或时，直线与抛物线无公共点． 模块三 抛物线的弦长与焦点弦问题 【知识点2 抛物线的弦长与焦点弦问题】 1．弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则|AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 2．抛物线的焦点弦问题 抛物线y2=2px(p>0)上一点A与焦点的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=x1+x2+p(x1,x2分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【题型3 抛物线的弦长问题】 【例3】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知直线与抛物线交于两点，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】联立直线与抛物线方程，根据弦长公式可求出结果. 【解答过程】联立，消去并整理得， 设，， 则，， 所以 . 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·陕西西安·期末）设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线与抛物线的位置关系以及韦达定理、弦长公式求解即可. 【解答过程】因为经过点的直线与抛物线相交于，两点， 所以该直线的斜率不等于0，所以可假设直线方程为， 设， 联立，整理得， 所以 所以， 因为线段中点的横坐标为， 所以，所以， 所以， 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·河南安阳·期中）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设为的中点，为坐标原点.若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为并于抛物线联立，利用中点坐标公式以及可得，再由弦长公式可得答案. 【解答过程】易知抛物线的焦点， 由题意可知直线斜率显然不为0，可设直线的方程为，， 联立，整理可得， 所以显然成立， 又为的中点，可得，即; 所以，整理可得， 解得或（舍）； 因此. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高二上·全国·课后作业）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】D 【解题思路】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解. 【解答过程】由题得直线，设，联立得， 令，则，所以， 由， 则，解得．故D正确. 故选：D. 【题型4 抛物线的焦点弦问题】 【例4】（25-26高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】B 【解题思路】根据题意依次求得与直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与抛物线的焦点弦公式即可得解. 【解答过程】因为为抛物线：的焦点，则，， 又直线过且斜率为1，交抛物线于，两点，所以直线的方程为， 联立，消去，得， 显然，所以， 则. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·广东广州·期末）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用直线过抛物线焦点以及斜率为，表示出直线方程，然后联立抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦性质，即可求出线段长度. 【解答过程】由题知，抛物线方程为， 所以抛物线焦点为， 所以该直线方程为， 即， 联立，得， 设，则， 所以. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出直线方程，联立曲线方程后借助焦点弦公式计算即可得. 【解答过程】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以，解得， 所以直线l的斜率为.    故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·河南南阳·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【解题思路】根据抛物线焦半径公式先确定点坐标，从而可得直线的方程，与抛物线方程联立求弦长. 【解答过程】易知的斜率存在，设， 则，得， 因为点在上，所以， 又点在第一象限，故，所以， 又，所以， 所以直线的方程为，即． 联立，得，则， 由抛物线的定义，得． 故选：A. 模块四 抛物线的切线 【知识点3 抛物线的切线】 1．抛物线的切线 过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 【题型5 抛物线的切线问题】 【例5】（2026高三·全国·专题练习）抛物线过点的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出切线方程，与抛物线联立，结合判别式，即得解 【解答过程】由于不为的切线，故切线斜率存在； 不妨设切线的斜率为，故切线的方程为 ，即 故，解得 故切线方程为： 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】设切线方程为，联立方程组，，可解. 【解答过程】根据题意，抛物线在点处的切线的斜率存在， 设切线方程为， 联立方程组，得， 则，解得. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知抛物线，过点作抛物线的切线，则切线方程为___________. 【答案】或 【解题思路】设切线方程，再联立令求解即可． 【解答过程】由题知切线斜率存在，设， 联立，得到， ，解得或， 则切线方程为或． 故答案为：或. 【变式5-3】（25-26高二·全国·课后作业）抛物线在处的切线方程为___________． 【答案】 【解题思路】设出切线，联立抛物线与切线，消去x得一元二次方程，由解出参数即可得切线方程. 【解答过程】设切线为， 联立抛物线与切线，消去x得， 由，解得， 故切线为. 故答案为：. 【题型6 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 【例6】（25-26高二上·全国·课后作业）设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出的直线，再与抛物线方程联立后化简得，再结合韦达定理可求得，从而可得，即可求解. 【解答过程】易知过点的直线为：，设，， 由得，则， 因为， 则．故D正确. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当时，的面积为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设直线的方程为：，，进而联立方程，并结合韦达定理，得，再计算，原点到直线的距离即可计算面积. 【解答过程】设直线的方程为：，两点的坐标分别为 联立消得：， 由，得， ，则（舍）， 直线的方程为：， 原点到直线的距离， . 故选：C. 【变式6-2】（2026·河南鹤壁·二模）已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】求出交点坐标，设直线，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，求出弦长和三角形面积，得到方程，求出答案. 【解答过程】由题意得，设直线， 联立得， ， 由韦达定理得， 故， 圆心O到直线的距离为， 所以，解得， 所以或 故选：C. 【变式6-3】（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，过点及点F的直线与C交于M，N两点（M在第一象限），与C的准线交于点P，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题可知焦点，过点N作准线的垂线，垂足为点，可得，进而可得直线FA的斜率为，然后可得，联立直线方程与抛物线方程组，可得，，利用三角形面积公式即可求解. 【解答过程】 由抛物线C：方程可知：焦点，准线方程. 过点N作准线的垂线，垂足为点，如图所示，则由抛物线的定义可知. 又，所以，所以，所以，所以直线FA的斜率为. 由直线的点斜式方程可知：直线FA的方程为，即. 令，得，则，所以抛物线C方程为. 联立方程组，消去化简整理得， 即，解得或， 所以，，则. 故选：A. 【题型7 抛物线中的参数范围及最值问题】 【例7】（2026·吉林延边·三模）已知P是抛物线C：上的动点，若点P到直线距离的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．10 【答案】B 【解题思路】设直线的平行线为且与抛物线相切，联立直线与抛物线方程，结合可得，结合平行线之间的距离公式列方程求解即可. 【解答过程】由题意，设直线的平行线为且与抛物线相切， 联立，整理得， 则，即， 因为点P到直线距离的最小值为， 所以，解得（舍去）或，则. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）设抛物线，直线与抛物线交于、两点且，则的中点到轴的最短距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解题思路】设直线的方程并联立抛物线方程，可得根与系数关系，结合化简可得的关系式，表示出的中点到轴的距离的表达式，换元后利用函数的单调性即可求得答案. 【解答过程】由题意知直线l的斜率存在，设直线的方程为， 与抛物线方程联立得，，需满足， 设，，则， 则由弦长公式得， 两边平方得，， 因为， 代入得，， 令，，则，而根据对勾函数性质知在单调递增， 因此当时，， 即的中点到轴的最短距离为， 故选：A. 【变式7-2】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）抛物线上一动点到直线的最短距离为_________ . 【答案】 【解题思路】设点，则过点的切线斜率为，设过点的切线方程为，联立方程组，结合条件可求，结合点到直线距离公式求结论. 【解答过程】设抛物线上动点， 由题意可得，当点到直线的距离最小时， 点为抛物线的一条切线的切点，且该切线平行于直线， 设直线与抛物线相切，则的， 解得，则有，，即 ， 所以点到直线的最小距离 . 故答案为：. 【变式7-3】（25-26高二上·江西·阶段检测）已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点，在上，且，则的最小值为___________. 【答案】11 【解题思路】由题意作图，根据已知点求得抛物线方程，设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，利用斜率表示所求代数式，可得答案. 【解答过程】    因为点是抛物线上的一点，所以，解得，所以. 显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 由，得，所以，解得， 所以，同理可得， 所以， 所以的最小值是11，此时，解得. 故答案为：. 【题型8 抛物线中的定点、定值、定直线问题】 【例8】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4 (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与抛物线交于点两点，若，且，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题意结合抛物线定义可得答案； （2）设，，将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理结合·＝0，可得，据此可得答案. 【解答过程】（1）抛物线的焦点F，准线方程为x＝－， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，∴抛物线的方程为. （2）证明：设， 联立，消去x，整理得，， 得，又，可知且 由韦达定理可知，＝· 由·＝0，即，. 即，直线，故直线l过定点. 【变式8-1】（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，6. 【解题思路】（1）求得抛物线的焦点坐标，设直线的方程代入抛物线的方程，设，运用韦达定理，弦长公式，解方程可得，进而得到所求方程； （2）运用中点坐标公式，求得，由两点的距离公式，可得，进而得到的定值. 【解答过程】（1）由题意知，设直线的方程为， 由 得：，所以， 所以，所以， 故抛物线的方程为 （2）由（1）抛物线的方程为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0，故可设的方程为 消去得：，设， 则， 所以， ，即 ， 所以 . 所以：为定值，该定值为6. 【变式8-2】（25-26高二上·云南丽江·阶段检测）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【答案】(1)过定点，理由见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【解答过程】（1）抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. （2）直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 【变式8-3】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程． (2)求证：为定值． (3)求证：直线过定点，并求出该定点． 【答案】(1)标准方程为，准线方程为； (2)证明见解析； (3)证明见解析，. 【解题思路】（1）根据焦点坐标求解即可； （2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）直线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，代入计算即可得证． 【解答过程】（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且， ∴，抛物线的标准方程为，准线方程为； （2）设点P的坐标为，， 由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为，则切线的方程为， 联立方程组，消去，得， ∴得（*）， 又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； （3）由题知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，整理得，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 代入有， ∴， ∴且， ∴，故直线过定点． 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二·全国·课后作业）过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【解题思路】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，写出直线的方程，将该直线方程与抛物线方程联立，根据直线与抛物线有且只有一个公共点求出参数的值，即可得出结论. 【解答过程】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为，联立，解得， 此时直线与抛物线有两个公共点，不符合题意； 若直线的斜率为，则该直线的方程为，联立，解得， 此时直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意； 若直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为， 联立可得， 由，整理可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，满足条件的直线共条. 故选：B. 2．（25-26高二下·天津南开·阶段检测）求曲线过点的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】设切线方程为，与抛物线方程联立方程组，消元，然后由判别式等于0求得，得切线方程. 【解答过程】设切线方程为， 由得， 所以，解得或， 所以切线方程为或，即或. 故选：B. 3．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与倾斜角为150°的直线交于A，B两点，且的中点横坐标为，则p为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【解题思路】根据直线倾斜角设出直线方程并与抛物线联立，由韦达定理以及中点横坐标可得. 【解答过程】由题意知直线的斜率， 设直线的方程为,， 联立直线和抛物线方程可得，整理得， 由韦达定理，又的中点横坐标为,即， 所以，解得. 故选：D. 4．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】画出图分析，由解得点的横坐标代入抛物线解得的坐标，从而得到直线的方程，联立抛物线的方程得到点的坐标，然后由两点间的距离公式求解即可. 【解答过程】过点的直线与抛物线交于两点， 如图，不妨设在第一象限， 因为，所以，，因为，所以点的横坐标为， 代入抛物线得：，所以，所以直线的斜率为：，过点， 故直线的方程为：， 联立方程组得：，解得或， 故，所以. 故选：C. 5．（25-26高三上·江西南昌·期末）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则＝（   ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】设直线l的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理求解. 【解答过程】当直线l与轴垂直时，其方程为，代入抛物线方程，,解得, ，则. 当直线l不垂直于轴时，设直线l的方程为，， 由，得，则 故， 故选：A. 6．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由题可得，利用向量的坐标运算、抛物线的定义及韦达定理即可求解. 【解答过程】由题可得， 设直线的方程为，， ，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， ， . 故选：B. 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据抛物线定义，将点到的距离转化为点到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形三边关系，可以得出的最小值即为点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式即可求解. 【解答过程】由题意，抛物线的焦点，准线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以. 联立方程组得：，则， 所以直线与抛物线无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为， 即的最小值为.    故选：A. 8．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于两点，，抛物线的准线与轴交于点，则的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【解题思路】利用抛物线的定义求出和直线的斜率，再结合韦达定理求出两点间的距离，使用三角形面积公式计算即可. 【解答过程】如图所示， 已知可得焦点，准线，可得，则, 设直线倾斜角为，过作准线的垂线，垂足分别为， 由抛物线定义可得：, 设，则,， 过作于点，则 , 在中，,故直线倾斜角， 直线的斜率，故直线的方程为：, 联立，消去得：, 设，则 ， . 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·山西太原·期末）已知直线，抛物线，则下列结论正确的有（   ） A．当时，直线与抛物线没有公共点 B．若直线与抛物线有唯一公共点，则 C．当时，直线与抛物线有两个公共点 D．若直线经过抛物线的焦点，则 【答案】ACD 【解题思路】联立直线的方程和抛物线的方程，对进行分类讨论，结合判别式求得正确答案；利用斜率公式判断D. 【解答过程】联立消去， 得（*）， 当时，（*）式只有一个解， 此时直线与只有一个公共点，此时直线平行于轴， 当时，（*）式是一个一元二次方程， ， ①当，即，且时， 直线与有两个公共点，此时直线与相交，C正确； ②当，即时，直线与有一个公共点，此时直线与相切； ③当，即时，直线与没有公共点，此时直线与相离． 综上所述，当或时，直线与有一个公共点； 当，且时，直线与有两个公共点； 当时，直线与没有公共点． 综上所述，B错误，AC正确； 又抛物线的焦点，直线过点， 则，故D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．抛物线的方程为 C．直线的方程为 D． 【答案】ACD 【解题思路】根据条件得到抛物线方程为，利用“点差法”求出直线的斜率，得到直线的方程为，和抛物线方程联立求出，即可得到答案． 【解答过程】解：由焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确； 故抛物线方程为，焦点，故B错误； 则，， 若是线段AB的中点，则， 所以，即， 又直线经过焦点，所以直线的方程为，故C正确； 由，得，则， 所以，故D正确． 故选：ACD. 11．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点点在第一象限，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】由抛物线的方程求得其焦点坐标及准线方程，联立直线与抛物线的方程，求得，两点的坐标，求出，判断A；求出，判断B；计算的斜率乘积，判断C；求出ΔAOB的面积，判断D. 【解答过程】因为抛物线：，所以，即，准线方程为， 焦点为，设，，直线：， ，可得，所以，， ，， ，所以A正确； ，，可得，所以B正确； ，所以C不正确； 的面积，所以D正确. 故选：ABD．    三、填空题 12．（25-26高二上·山西长治·期末）为抛物线的的焦点，直线过与交于、两点，且，则__________. 【答案】 【解题思路】由抛物线的焦点弦长公式可求得的值. 【解答过程】对于抛物线，，则， 因为直线过与交于、两点， 由抛物线的焦点弦长公式可得，解得. 故答案为：. 13．（25-26高二上·江西九江·期末）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与相交于，两点．若，则________． 【答案】 【解题思路】根据抛物线的焦点弦公式可得,进而联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理即可求解. 【解答过程】设，，, ，，，． 设的方程为，联立，消去整理得，， ，． 又，解得，． 故答案为：2. 14．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为__________. 【答案】 【解题思路】根据题意，求得抛物线的焦点，直线的方程，联立方程组，得到，结合，利用面积公式，即可求解. 【解答过程】由抛物线，可得其焦点为， 因为直线过焦点，且倾斜角为，可得斜率为， 所以直线的方程为，可得，即， 联立方程组，整理得， 设，可得， 则， 因为，所以异号，则， 所以的面积为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知抛物线C的顶点在原点，焦点为，斜率为的直线l与抛物线C相交于两点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若，求l的方程． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）根据抛物线的焦点即可求解方程， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，根据抛物线的焦半径即可求解. 【解答过程】（1）由焦点，可得，得， 因此抛物线C的标准方程为． （2）设， 联立方程组，得， 韦达定理知， ， ， 则l的方程． 16．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知抛物线与直线相切，切点为. (1)求的值； (2)过点且与直线垂直的直线与抛物线交于另一点，求. 【答案】(1)2 (2) 【解题思路】（1）联立方程，相切问题转化为解的个数问题，即求为0时的参数值； （2）由点坐标求出直线的解析式，进而联立求出点坐标，再由两点之间距离公式，即得所求. 【解答过程】（1）由，得①. 因为抛物线与直线相切，所以， 解得（舍去），即的值为2． （2）方程①即，解得，，所以． 直线AB的方程为，即． 由，得， 解得（舍去），．由，得，即． . 17．（25-26高二上·山东滨州·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为2，到轴的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)若不过原点的直线与抛物线交于两点，且，求实数的值. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）由焦半径公式得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）联立直线与，得到两根之和，两根之积，根据垂直关系得到，求出或0，时，不合要求，满足要求，得到答案. 【解答过程】（1）点的横坐标为， 由抛物线焦半径公式可得，解得， 故抛物线方程为； （2）联立与可得， 所以，解得， 设，则， 所以， ，故， 即，解得或0， 当时，经过原点，不合要求； 当时，不经过原点，满足要求，故. 18．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上的一点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，若直线经过点，且与抛物线交于，两点，的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【解题思路】（1）结合抛物线定义建立关于的方程并求解即可； （2）设直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式和面积建立关于的方程并求解. 【解答过程】（1）对于抛物线，准线方程为，根据抛物线的定义： 点到焦点的距离为，则， 故抛物线的方程为：. （2）求直线的方程 设直线的方程为，设, 联立直线与抛物线方程：，整理得：， 由韦达定理得：， 的面积：，其中， 因此：， 由弦长公式：， 的面积为，因此：， 整理得直线的方程为：或. 19．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知抛物线 的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当直线的斜率为时，． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②40 【解题思路】（1）由抛物线的方程表示焦点为的坐标，由直线方程的点斜式表示直线的方程，再将直线方程与抛物线方程联立表示出过焦点的弦长，计算即可. （2）①设出直线的方程，与抛物线联立，用韦达定理找出坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点. ②利用三角形面积公式结合二次函数的基本性质，即可求得与面积和的最小值． 【解答过程】（1）抛物线 ,抛物线的焦点坐标为， 当直线的斜率为1时，直线的方程为， 联立，得：， 由，解得：， 抛物线的方程为． （2）①证明：由题意，可设直线的方程为， 联立，得， 所以，， 设，，则直线的方程为：， 如图所示， 联立，得：，， 同理： ，. 当直线的斜率存在时，， 直线的方程为：， 化简，得，即 令，则，直线过定点． 当直线的斜率不存在时，易知， 代入，得：， 直线的方程为：，直线过定点． 综上，直线过定点． ②由①知， ， ， 当且仅当时等号成立， 与面积和的最小值为40． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 直线与抛物线的位置关系（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 直线与抛物线的位置关系 上一节学习了抛物线的方程和抛物线的几何性质，研究了抛物线的几何特征.下面继续研究直线与抛物线有什么样的位置关系? 【知识点1 直线与抛物线的位置关系】 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 【例1】（25-26高二·全国·课后作业）直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式1-1】（25-26高一下·辽宁大连·期末）对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【变式1-2】（2026高二·全国·专题练习）抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【变式1-3】（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数】 【例2】（2026·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·河北·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【变式2-3】（25-26高二上·全国·课后作业）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 模块三 抛物线的弦长与焦点弦问题 【知识点2 抛物线的弦长与焦点弦问题】 1．弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则|AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 2．抛物线的焦点弦问题 抛物线y2=2px(p>0)上一点A与焦点的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=x1+x2+p(x1,x2分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【题型3 抛物线的弦长问题】 【例3】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知直线与抛物线交于两点，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·陕西西安·期末）设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·河南安阳·期中）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设为的中点，为坐标原点.若，则（  ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·全国·课后作业）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【题型4 抛物线的焦点弦问题】 【例4】（25-26高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【变式4-1】（25-26高二上·广东广州·期末）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·河南南阳·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 模块四 抛物线的切线 【知识点3 抛物线的切线】 1．抛物线的切线 过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 【题型5 抛物线的切线问题】 【例5】（2026高三·全国·专题练习）抛物线过点的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【变式5-2】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知抛物线，过点作抛物线的切线，则切线方程为___________. 【变式5-3】（25-26高二·全国·课后作业）抛物线在处的切线方程为___________． 【题型6 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 【例6】（25-26高二上·全国·课后作业）设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当时，的面积为（    ） A．16 B． C． D． 【变式6-2】（2026·河南鹤壁·二模）已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式6-3】（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，过点及点F的直线与C交于M，N两点（M在第一象限），与C的准线交于点P，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 抛物线中的参数范围及最值问题】 【例7】（2026·吉林延边·三模）已知P是抛物线C：上的动点，若点P到直线距离的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．10 【变式7-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）设抛物线，直线与抛物线交于、两点且，则的中点到轴的最短距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式7-2】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）抛物线上一动点到直线的最短距离为_________ . 【变式7-3】（25-26高二上·江西·阶段检测）已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点，在上，且，则的最小值为___________. 【题型8 抛物线中的定点、定值、定直线问题】 【例8】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4 (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与抛物线交于点两点，若，且，证明：直线过定点. 【变式8-1】（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 【变式8-2】（25-26高二上·云南丽江·阶段检测）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【变式8-3】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程． (2)求证：为定值． (3)求证：直线过定点，并求出该定点． 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二·全国·课后作业）过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 2．（25-26高二下·天津南开·阶段检测）求曲线过点的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与倾斜角为150°的直线交于A，B两点，且的中点横坐标为，则p为（   ） A．1 B． C． D．3 4．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江西南昌·期末）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则＝（   ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 6．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于两点，，抛物线的准线与轴交于点，则的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 二、多选题 9．（25-26高二上·山西太原·期末）已知直线，抛物线，则下列结论正确的有（   ） A．当时，直线与抛物线没有公共点 B．若直线与抛物线有唯一公共点，则 C．当时，直线与抛物线有两个公共点 D．若直线经过抛物线的焦点，则 10．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．抛物线的方程为 C．直线的方程为 D． 11．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点点在第一象限，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·山西长治·期末）为抛物线的的焦点，直线过与交于、两点，且，则__________. 13．（25-26高二上·江西九江·期末）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与相交于，两点．若，则________． 14．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为__________. 四、解答题 15．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知抛物线C的顶点在原点，焦点为，斜率为的直线l与抛物线C相交于两点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若，求l的方程． 16．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知抛物线与直线相切，切点为. (1)求的值； (2)过点且与直线垂直的直线与抛物线交于另一点，求. 17．（25-26高二上·山东滨州·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为2，到轴的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)若不过原点的直线与抛物线交于两点，且，求实数的值. 18．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上的一点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，若直线经过点，且与抛物线交于，两点，的面积为，求直线的方程． 19．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知抛物线 的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当直线的斜率为时，． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $