素养拓展07 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题（3知识点+8大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

素养拓展07 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 知识点01：定点问题 定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 【一般策略】 ①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等. ②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程. ③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程 知识点02：定值问题 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用． 【一般策略】 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值 【常用结论】 结论1 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）. 结论2 过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点. 结论3  过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点. 结论4 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值. 结论5  设点A，B是椭圆（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=- 知识点03：定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法. 【一般策略】 ①联立方程消去参； ②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标； ③将横纵坐标分别用参数表示，再消参； ④设点，对方程变形解得定直线. 解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点在某定直线． 目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况： （1），即动点恒过直线． （2），即动点恒过直线． （3），即动点恒过直线． 【题型01：直线过定点问题】 一、解答题 1．（2025·云南昭通·模拟预测）过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16． (1)求抛物线的方程； (2)当时，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意设，因为，不妨设．表示出的坐标，由三角形的面积求解即可； （2）设，，，由，则，求出的方程为，联立求得，从而证得直线所过的定点即可. 【详解】（1）已知当时，，，关于轴对称且． 设，因为，不妨设． 由斜率公式，即，解得，所以，． 面积，解得，抛物线方程为． （2）    证明：设，，， 则，． 因为，则，所以， 则，， 所以直线的方程为，整理得． 把代入直线方程，得， 所以直线过定点． 2．（2025·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线经过定点，定点坐标为 【分析】（1）由焦点坐标以及短轴长的概念，结合椭圆的标准方程，可得答案； （2）利用分类讨论，分直线斜率存在与否，设出直线方程以及交点坐标，写出中点坐标，联立方程，写出韦达定理，可得答案. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点，所以， 又短轴长为，所以，由可得， 故椭圆的方程为. （2） 当直线和斜率存在时，设直线方程为：， 设，，则有中点， 联立方程，消去得：， 由韦达定理得：，所以的坐标为， 将上式中的换成，同理可得的坐标为， 若，即，， 此时直线斜率不存在，直线过定点； 当时，即直线斜率存在， 则， 直线为， 令，得， 此时直线过定点， 显然当直线或斜率不存在时，直线就是轴，也会过， 综上所述：直线经过定点，定点坐标为. 3．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与的公共点个数为1，求的值； (3)已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆焦点的定义，得双曲线的焦点，根据双曲线焦点，求出双曲线标准方程即可. （2）分类讨论双曲线与直线只有一个交点的情况，分别计算直线斜率的值. （3）根据直线与圆锥曲线的位置关系和韦达定理，根据已知条件列出参数的方程，证明直线过定点问题. 【详解】（1）椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点也为，即. 因为，所以，所以， 故双曲线的方程为. （2）联立，得，即. ①当，即时，直线与的渐近线平行，只有1个交点； ②当，即时， 直线与相切，只有1个交点. 综上，当直线与的公共点个数为1时，或； （3）    易知，如图，设， 显然直线不与轴垂直，则设的方程为，且. 联立，消去得， 显然， 所以， 因为， 所以， 化简得，即， 又，化简得，所以直线过定点. 4．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知抛物线（）的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.求点的坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求，由此可得抛物线方程. （2）设的方程为，联立方程组并化简，设，应用韦达定理得，写出直线方程，求出它与轴的交点坐标即得. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为. （2）依题意，直线的斜率不为0，且过点，设的直线的方程为， 由消去得，， 设，则，不妨设，则， 直线AD的方程为：，即， 即，令，得， 因此，解得， 所以. 5．（24-25高二下·重庆·期中）已知双曲线的图象经过点，其中一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作垂直于轴的直线，过点作直线与双曲线右支交于、两点，过点作的垂线，垂足为点.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，由对称性知直线过轴上的定点，由结合韦达定理可求出的值，即可得出定点的坐标. 【详解】（1）由题意可得，解得，因此，双曲线的标准方程为. （2）若直线与轴重合，则该直线与双曲线交于两个顶点，不合乎题意. 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得， 由韦达定理可得，， 易知点，由对称性知直线过轴上的定点， ，， 由题意可知，即， 可得，解得， 因此，直线过定点，且定点坐标为. 【题型02：定点中的探究性问题】 一、解答题 1．（24-25高二下·上海·期中）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）将点代入抛物线方程计算可得，即可求出结果； （2）设点，，根据中点坐标公式进行代换可得点的轨迹方程； （3）联立直线方程并利用垂直关系的向量表示，结合向量数量积的坐标运算即可求得结果. 【详解】（1）已知点在抛物线上 代入得 所以抛物线方程为 （2）易知抛物线焦点为， 设动点，中点的坐标为 显然； 且， ； 即点的轨迹方程为； （3）设点在抛物线上，则 直线的方程为，如下图： 联立，解得，； 所以， 因此 依题意可得 可得 整理可得，即， 解得或或或； 显然当或时，与重合，不合题意； 所以存在，满足题意. 2．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求的方程； (2)若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程； (3)在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由已知条件列出方程组解出即可求解； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立消元，设，，，由四边形为平行四边形得，由韦达定理得点的坐标，又点在椭圆上，代入椭圆方程即可求解； （3）由，得，即化简整理有，由韦达定理即可求解. 【详解】（1）由椭圆的离心率为得：，即有， 由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：， 联立解得，，所以的方程是. （2）设直线的方程为，联立，消去得， ， 则恒成立， 设，，，由四边形为平行四边形， ， ， 点P在椭圆上，，解得，即， 当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的方程为. （3）由，则，即， 则，则， 由（2），， 所以， 化简得，又，故. 3．（24-25高二下·广东广州·期末）已知椭圆：（）的离心率为，且过点．设点处的切线为． (1)求的方程； (2)求直线的方程； (3)直线过点，且，点，在上，且，问：直线与的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标;若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直线与的交点是为定点，定点坐标为 【分析】（1）由待定系数法及离心率公式即可求得结果； （2）设出直线方程，运用直线与椭圆相切时，联立直线方程与椭圆方程消元后令即可； （3）分两大类进行讨论：①当直线的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，消去，写出韦达定理，结合可得或，分别找出两种情形下直线所过的定点，确定与直线的交点坐标；②当直线的斜率不存在时，设其方程为，求解直线方程得交点坐标即可得结论． 【详解】（1）由题意，得，则， 故椭圆． （2）由题意可得，直线的切线斜率一定存在． 令直线，联立， 整理得， 所以， 即，所以， 故直线，即直线． （3）因为直线过点，且，所以直线， ①当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立，得， 由，知， 设，，则，， 由于，所以， 即， 所以， 化简整理得，， 所以或， 当时，，过定点，不符合题意，舍去； 当时，，过定点，点在直线上， 即直线与的交点是为定点； ②当直线的斜率不存在时，设其方程为，，，且， 因为，所以， 解得或2（舍2），则直线：与直线的交点坐标为； 综上所述，直线与的交点是为定点，定点坐标为． 4．（24-25高二下·江西·月考）已知双曲线（，）与直线相切于点，过点R与垂直的直线交x轴于点. (1)求C的方程； (2)过C的右焦点F的直线l与C的右支交于A，B两点. （Ⅰ）求直线l的倾斜角的取值范围； （Ⅱ）在x轴上是否存在异于F的点P，使得点F到直线，的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)双曲线C的方程为 (2)（Ⅰ）直线l的倾斜角的取值范围为； （Ⅱ）存在点满足题意 【分析】（1）由题意易求得切线的方程，与双曲线方程联立可得，结合点在双曲线上，可得，求解即可得双曲线的方程； （2）（Ⅰ）分斜率是否存在两种情况讨论，当存在时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，结合条件可求得或，可求倾斜角的取值范围；（Ⅱ）假设在x轴上存在，使得点F到直线，的距离始终相等，可得，进而可得恒成立，计算可求得定点. 【详解】（1）由题意可得的斜率为， 又直线与直线互相垂直，可得的斜率，所以直线的方程为， 又因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为， 又点在双曲线是，所以①， 联立，消去可得， 整理得， 因为直线与双曲线相切，所以， 化简得②， 由①②解得，所以双曲线C的方程为； （2）（Ⅰ）由题意可得右焦点为， 当直线的斜率不存在时，显然直线与双曲线右支有两个不同的交点， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 联立，消去，可得， 因所双曲线与右支交于不同的两点， 则，解得或， 所以直线l的倾斜角的取值范围为； （Ⅱ）假设在x轴上存在，使得点F到直线，的距离始终相等， 则是的角平分线，则， 则，所以， 所以， 整理得， 所以， 所以， 整理得，解得，所以 当直线斜率不存在时，根据双曲线的对称性，可得也满足题意， 综上所述：存在点满足题意. 【题型03：斜率的和、差、积、商为定值】 一、解答题 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点、. (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围； (3)若直线不过点，直线、的斜率分别为、，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，由可求得实数的取值范围； （3）设点、，利用斜率公式和韦达定理可求出的值. 【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为. （2）将直线的方程与椭圆方程联立，可得， 由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）设点、，由韦达定理可得，， 因为直线不过点，则，解得， ，同理可得， 所以 . 即. 2．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左，右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不同于左，右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的定义列出关于的方程求解即可， （2）设直线的方程为联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，将用韦达定理代入，同时将得到的式子转化成关于的韦达定理进行约分化简得到最后的结果. 【详解】（1）设椭圆的方程，由题意可知 ，解之得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意知直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 联立方程组，得 ①②得，，所以， 所以为定值. 3．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于C，D两点（在A，D之间），若，求的值； (3)已知点，过点作直线与轨迹交于M，N两点，记直线TM，TN的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，定值为 【分析】（1）根据双曲线的定义求出，即可求出双曲线的方程； （2）利用点斜式方程得直线的方程为，与双曲线方程联立求出点C，D坐标，最后利用向量的坐标运算求出即可； （3）法一：设直线方程，与双曲线方程联立，韦达定理，代入两点斜率公式化简求解即可； 法二：按照直线的斜率不存在和存在分类讨论，斜率存在时，与双曲线方程联立，韦达定理，代入两点斜率公式化简求解即可. 【详解】（1）因为， 所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由解得， 即轨迹的方程为：； （2）因为直线经过点，倾斜角为， 所以直线的方程为，联立， 解得或，故得点和点， 则， 由得，解得； （3）如图， 法一：由题意得直线不可能与轴重合， 设为：， 联立得到， 而， 由韦达定理得， ， 故是为定值，且该定值为； 法二：①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 可得，此时， ②当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，得到， 而， 由韦达定理得， 所以 ， 故是为定值，且该定值为， 综上所述，为定值. 4．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知圆的圆心在轴上，且过，两点，抛物线与圆有且只有一个交点. (1)求圆的标准方程； (2)求的最小值； (3)当取最小值时，过抛物线上的点作圆的两条切线，它们分别交于点，（，均异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)1 (3)为定值4，证明见解析. 【分析】（1）设，由题意建立关于a的等量关系求出a即可得解； （2）联立圆与抛物线方程，求出交点横坐标，由抛物线与圆有且只有一个交点得关于a的不等式即可求解； （3）设和过点M的圆E的切线方程为，由圆心到切线距离为半径1结合点到直线距离公式整理得方程，进而得两切线斜率满足，接着设，分别由两切线与抛物线联立依次求出和，再由计算即可得证. 【详解】（1）由题可设，则，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）联立或， 因为抛物线与圆有且只有一个交点， 所以， 所以的最小值为1. （3）证明：由（2）得，由题可设， 设过点M的圆E的切线方程为，即， 由圆心到切线距离为半径1得，整理得， 两边平方得，展开化简得， 进一步整理得， 设两切线斜率分别为，则是上述方程的两根，故， 设，由消去x得， 则，即；同理得. 所以， ， 又， 所以. 所以是一个定值. 【点睛】关键点睛：解决本题第（3）问的关键1是理解两切线斜率是方程的两根，进而得，关键2是设，分别由两切线与抛物线联立依次求出和. 【题型04：线段定值】 一、解答题 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的动弦过椭圆C的右焦点F，当垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M． (1)求点M的坐标． (2)若直线的斜率为，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为，直线与椭圆C交于P，Q两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用即可求点坐标； （2）先设出点坐标，再求的斜率，判断直线与的关系，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系求弦长，即可证明. 【详解】（1）， 解得，所以椭圆方程为， 又，所以右焦点， 当垂直x轴时，不妨设，根据对称性可知点在轴上， 且直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立， 消去得：， 则， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 令，解得，故点的坐标为. （2）如图， 由题意可得直线的方程为，即， 设，由题可知， 所以，故直线与垂直， 联立，消去得：， 则，， 所以， 同理，， 所以， 故为定值. 2．（24-25高二上·福建三明·期末）已知中心在原点的双曲线与椭圆有相同的焦点，，且的长半轴长是的实半轴长的3倍． (1)求双曲线的方程； (2)若P为两条曲线的交点，求的面积； (3)若过点的直线交双曲线的左支于A，B两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由椭圆方程确定焦点坐标，再结合长半轴长是的实半轴长的3倍求解即可； （2）由椭圆、双曲线的定义求得，，再结合余弦定理及面积公式即可求解； （3）法一：设直线方程为，联立抛物线方程，由弦长公式求得，再由，求得，进而解决问题；法二：通过讨论斜率是否存在求，再由，求得，进而解决问题；法三：通过讨论斜率是否存在求，再由两点间的距离公式求得，进而解决问题. 【详解】（1）依题意设双曲线的标准方程为， 因为双曲线与椭圆有相同的焦点、， 即、， 所以． 又因为椭圆的长半轴长为3，且为双曲线实半轴长的3倍， 所以，． 得． 故双曲线的标准方程为． （2）不妨设P是两曲线在第一象限的交点， 设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得， 在中，由余弦定理得， 所以， 故． （3）法一：依题意可知，直线的斜率不为0， 设直线方程为，，， 联立，消去x得， 依题意知且， 由韦达定理得，， 于是 ， 因为A、、B三点共线，所以， 又因为 ， 即， 所以， 综上，为定值，且定值为． 法二：依题意可知，当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时，， 则，，， 当直线的斜率存在时，设直线方程为，，， 联立，消去y得， 依题意知且， 由韦达定理得，， 于是， 因为A、、B三点共线，所以， 又因为， 即， 所以， 综上，为定值，且定值为． 法三：依题意可知，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，， 则，，， 当直线的斜率存在时，设直线方程为，，， 联立，消去y得， 依题意知且， 由韦达定理得，， ， ， 于是 ， ， 同理可得， 即， 所以， 综上，为定值，且定值为． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的焦点为，在抛物线上任取一点，的最小值为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)已知点是轴上一点，求的最小值； (3)已知，动直线与抛物线相交于两点，，且，过点作，垂足为，求出定点的坐标，使得为定值，并求出定值. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用两点间距离公式，结合定义域和二次函数的最值，即可求解； （2）利用两点间距离，转化为关于的二次函数，结合函数的定义域，讨论得到取值范围，求函数的最值； （3）首先设直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，可判断直线过定点，再结合几何关系，即可求解. 【详解】（1）设，，，. .∴时，，∴， ∴ （2），， 当即时，； 当即时，.综上， （3）当不存在时，设，不能和抛物线有2个交点，故舍去， 当存在时，设，设， ，∴，∴，∴， ， ∴ ∵，∴，∴ ∴，∴，∴，即直线过定点 ∵，∴点为中点时，为定值，此时，. 【点睛】关键点点睛：本题第3问的关键一是判断直线过定点，关键2是利用直角三角形的性质，解决定值问题. 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点． (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆离心率及焦点三角形面积列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合斜率坐标公式计算得证. （3）直线的斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算可得直线过定点，再探讨直线的斜率不存在时的情况即可推理得证. 【详解】（1）设曲线的半焦距为c，由离心率为，得， 由的最大值为，得，而，解得，，， 所以曲线的方程为. （2）由（1）得，依题意，直线不垂直于轴，设，， 由消去得，则，， 则 ， 所以为定值； （3）    设，由（2）知，则， ①当直线斜率存在时，设其方程为，由直线不过点，得， 由消去得， ，且，，， 则， 整理得， 于是， 化简得，即，而，则，符合题意， 直线：，过定点； ②当直线斜率不存在时，由对称性，不妨令点在第二象限，直线的斜率为， 方程为，与方程联立可得，同理得，此时直线也过点， 因此直线过定点，设该点为， 由，得在为直径的圆上，圆的方程为，半径为， 所以存在点使得为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 【题型05：角度定值】 一、解答题 1．（24-25高二下·四川巴中·月考）已知抛物线C：经过点． (1)求的值和抛物线C的准线方程； (2)经过点的直线l与抛物线C交于M，N两点，O为坐标原点．求证：为直角． 【答案】(1)；； (2)证明见详解. 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程求解即可； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程消去，利用韦达定理代入计算即可得证. 【详解】（1）将点坐标代入得，即， 所以抛物线C的准线方程为. （2）由题知，直线的斜率不为0，设其方程为，， 则， 联立消去得， 因为，所以， 又， 所以，即， 所以，即为直角. 2．（2025·山东济宁·二模）已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，直线的倾斜角为定值 【分析】（1）由题意即可得即，又点在双曲线上，即可解出； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，得韦达定理，又的平分线与轴垂直，得，即得，代入韦达定理即可得证. 【详解】（1）由题意有，又点在双曲线上，所以， 解得，所以双曲线的方程为； （2）由已知得直线的斜率存在，设其方程为，设 所以， 所以， 由韦达定理有：， 又因为的平分线与轴垂直，所以， 即，所以，即， 所以， 即，所以或， 当时，直线的方程为，即直线过点，不符合题意， 所以，设倾斜角为，即，， 即直线的倾斜角为定值.    3．（24-25高二上·广东惠州·月考）已知点在抛物线的准线上，且抛物线的焦点为F． (1)求的面积； (2)设过点的直线l与抛物线C相交于两点，O为坐标原点． ①证明：为定值； ②在x轴上是否存在点H，使得x轴平分?若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在点使得轴平分，证明见解析. 【分析】（1）先根据抛物线准线方程求出的值，进而得到焦点坐标，再根据三角形面积公式求解的面积. （2）①设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出的值. ②假设存在点，根据角平分线的性质得到等式，再结合韦达定理求出点的坐标. 【详解】（1）因为抛物线的准线方程为， 已知点在准线上，所以，解得. 则抛物线方程为，焦点的坐标为. 那么中，，点到轴的距离为， 根据三角形面积公式所以. （2）①显然直线不垂直y轴，则设直线的方程为，，. 将直线方程代入抛物线方程得， 即. 显然， 根据韦达定理，，. 又，，则. 把代入得，所以为定值.   ②存在点使得轴平分，下面证明. 假设存在点使得轴平分，根据抛物线对称性知道，. 因为，，所以. 即. 把，代入上式得. 整理得. 由，， 代入得，即. 解得. 故存在点使得轴平分. 【点睛】思路点睛：本题第二问是考查圆锥曲线中的定值问题.第二问都需要直曲联立，借助韦达定理计算，最后一问将定点问题转化为斜率之和问题，运用角平分线的斜率性质，借助韦达定理计算即可. 4．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，的面积为，直线与的斜率之积为. (1)求的方程； (2)已知点. （ⅰ）若直线过点且与交于、两点，求的最大值； （ⅱ）若直线过点且与交于，两点，求证：. 【答案】(1) (2)（ⅰ），（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的性质，结合面积公式以及斜率公式联立方程求解即可， （2）对讨论，联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据模长公式代入求解（ⅰ），根据韦达定理以及两点斜率公式，代入化简即可求解（ⅱ）. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆方程为 （2）（ⅰ）当直线与轴重合时，点则， 所以， 当直线与轴不重合时，设， 联立，则， 由得， 设，则 所以 由于，故同号，因此， 故 ， 此时， 综上可得的最大值为 （ⅱ）由于,设， 当直线与轴重合时，，符合题意， 当直线与轴不重合时，设 联立，则， 则 而 ， 即，故， 综上可得, 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 5．（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，圆的方程为，点的坐标为，点为圆上的动点，线段的中垂线与直线相交于点. (1)求交点的轨迹的方程； (2)若过点的直线与轨迹相交于、两点，求的取值范围； (3)若，点为轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据中垂线与圆的性质，结合双曲线的定义以及标准方程，可得答案； （2）由题意设出直线方程并联立双曲线方程，求得斜率范围以及韦达定理，根据向量点乘的坐标表示，可得答案； （3）利用分类讨论思想分直线斜率存在与不存在两个情况，利用等腰直角三角形以及正切函数的二倍角公式，可得答案. 【详解】（1） 依题可得：， 而，因此动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线， 从而，，进而，于是得到轨迹的方程：. （2） 由题意易知直线斜率存在，设，，， 联立方程，消元得：， 因为有两个交点，需 于是得到：，，由韦达定理，得：，， ， 令，，， 于是， 因此. （3） 存在且. 证明如下：设，， 当时，，此时，且， 易知为等腰直角三角形，，，. 于是猜想：. 当时，直线，的斜率分别为：，， ， 因此，得证. 【题型06：面积定值】 一、解答题 1．（24-25高二下·河南周口·期末）已知椭圆过点，且离心率，过点的直线与交于，两点，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程. (2)记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. (3)是否存在实数，使得（表示面积）恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据过点，且离心率，由，且求解. （2）易知直线的斜率存在，设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，由求解；           （3）分别由，求得点P，Q的坐标，结合（2）得到点，到直线的距离相等证明即可. 【详解】（1）因为过点，且离心率， 所以，且，           即解得，，           所以的方程为. （2） 如图，， 显然直线的斜率存在，设直线.           联立得，消去并整理，得，           所以，得. 设，，则，.（*）           因为，且时，，所以直线与相切， 由椭圆的对称性可知，，. ，       ，     将（*）代入，得为定值. （3）设存在实数，使得恒成立. 由，得，由得.           由（2）可知，           所以点，到直线的距离相等， 所以，即. 2．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，过点且垂直于轴的直线交所得的弦长为6，的周长为20． (1)求的方程； (2)设的上、下顶点分别为，过点且斜率不为0的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，试问的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）根据通径以及焦点三角形的周长即可联立求解， （2）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理得，直线与直线的方程得出，然后根据面积公式求解即可 【详解】（1）因为的周长为20，， 所以， 所以， 得， 即， 所以，解得． 设双曲线的半焦距为． 联立方程解得或 所以，则，即， 所以，所以， 故的方程为． （2）的面积是定值． 依题意可设直线的方程为， 如图，设． 联立得整理得， ， 则， 所以 则． 直线的方程为，直线的方程为， 因为是直线与直线的交点， 所以 整理得 ， 所以，解得． 故点在定直线上． 设中边上的高为， 则． 3．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为） (1)求证：点E恒在一条定直线L上； (2)若两直线与L交于点N，，求的值； (3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)0 (3)存在 【分析】（1）设，由题意可证得点A，B都在直线上，直线l过点，可得，即可证明点E恒在定直线上． （2）法一：设，由可得，将其带入双曲线方程可得，同理可得，由根与系数的关系可得． 法二：由题意知，设l的方程：，联立直线与双曲线的方程，设，由可得，同理，将韦达定理代入即可得出答案. （3）设，与联立，设，表示出，将韦达定理代入化简即可得出答案. 【详解】（1）证明：设， 由题意得：切线EA的方程为：，将点E带入得：， 同理可得：，易知点A，B都在直线上， 所以直线l的方程为：， 因为直线l过点，所以，                           所以点E恒在定直线上． （2）法一：设，因为，所以 整理得 因为点在双曲线上，所以， 整理得， 同理可得， 所以，是关于x的方程的两个实根， 所以． 法二：由题意知，l的斜率存在，设l的方程：， 联立得：， 所以， 设，因为，所以，所以， 同理， 所以 . （3）设，与联立得： ， ， 因为直线L的方程为，所以， 所以， 同理， 所以， 故存在，使得． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 4．（23-24高二上·湖南岳阳·月考）已知抛物线：（）经过点. (1)求的方程及其准线方程； (2)过外一点作三条直线，，，其中，与分别相切于，两点，与相交于，两点，同时与直线相交于点，记，，，的面积分别为，，，，证明：当点运动时，为定值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，即可得到结果； （2）根据题意，分别表示出直线与直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）将代入抛物线方程得，可得， 故的方程为，其准线方程为. （2） 设，，，对求导得， 所以的方程为，即， 同理可得，直线的方程为. 因为点在直线，上，所以，， 所以直线的方程为. 由条件知直线的斜率存在，设其方程为，则， 联立方程消去，得. 设，，则，， 联立方程消去，得. 因为，的高相等，，的高相等， 所以. 由于点在抛物线的外部，点在抛物线的内部， 所以 ， 即为定值. 【题型07：与向量有关的定值】 一、解答题 1．（22-23高二·全国·课后作业）如图所示，中心为原点的双曲线的一条渐近线为y＝x，焦点在x轴上，焦距为． (1)求此双曲线方程及其离心率； (2)过P(2,0)的直线l交双曲线于点M、N．Q(b,0)，若对于任意直线l，数量积是定值，求b的值． 【答案】(1)，离心率 (2) 【分析】（1）根据渐近线及双曲线参数关系求参数，即可得方程； （2）讨论直线斜率是否为0，设直线方程并联立双曲线，应用韦达定理及且为常数，利用恒等关系求参数b、C，即可确定结果. 【详解】（1）设双曲线方程为，又一条渐近线为y＝x，故， 由，故，结合，则， 所以双曲线方程为，离心率. （2）当直线斜率不为0，设，联立双曲线并整理得， 所以，，，则，， ，且为常数， 所以，则， 整理得，则，解得. 当直线斜率为0，则，此时，则上述结果也满足， 综上，. 2．（23-24高二上·贵州贵阳·月考）已知椭圆：的离心率为，上焦点到上顶点的距离为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，与定直线：交于点，设，，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）按直线的斜率存在与否探讨，利用韦达定理，结合平面向量的坐标运算计算推理即得. 【详解】（1）令椭圆：半焦距为c，则，解得 所以椭圆的标准方程是. （2）由（1）知，， 当直线的斜率不存在时，直线：，不妨令，而， 则，，此时； 当直线的斜率存在时，设直线：， 由消去y得：， 易知，设，，， 则，，， ， 由，得，则， 同理由，得， 则， 所以为定值0.    【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值； （2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 3．（23-24高二下·上海·月考）已知椭圆：的左右焦点为，，是椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点所得两直线交正半轴于，两点（点在的上方或重合）. (1)当面积最大时，求椭圆的方程； (2)当时，若是线段的中点，求直线的方程； (3)当时，在轴上是否存在点使得为定值，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据椭圆的性质及三角形的面积公式，结合基本不等式即可求解； （2）根据已知条件及两点的斜率公式，利用直线的点斜式及中点坐标公式即可求解； （3）利用（2）的结论及向量的数量积的坐标表示，结合点在椭圆上即可求解. 【详解】（1）由题意得，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，此时面积最大， 故椭圆方程为. （2）由题意椭圆方程为，设，椭圆的左顶点为， 因而,直线的方程为, 所以, 同理, 由,解得 所以直线的方程为,即. （3）设，由（2）得 将代入上式，得 若定值，则必有. 把代入得， 所以存在点使得为定值. 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知曲线C上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等.，直线过点且与C有两个不同的交点，，直线，分别交y轴于点M，N. (1)求C的方程； (2)若直线，的斜率分别是，，且，求的值及的斜率； (3)设为原点，若，判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)-4；-1 (3)是，2 【分析】（1）根据题意，结合抛物线的定义，得到，进而求得的方程； （2）由直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理求得和，得到，结合斜率公式，即可求解； （3）设直线，联立方程组，由，得到，且，，求得的方程，得到，同理得，根据题意，得到和，进而求得的值. 【详解】（1）解：因为曲线上任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等， 所以曲线是以为焦点，以为准线的抛物线，且，可得 所以的方程为. （2）解：由题意得，直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 由韦达定理得，所以，同理可得， ，所以， 直线的斜率. （3）解：根据题意，设且， 联立方程组，整理得， 由，解得，且，， 直线，令，可得， 所以，同理得， 因为，故， 可得，所以，同理得， 所以. 【题型08：定直线问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，将点的坐标代入得，即可求解. （2）由（1）得，进而得直线的方程为，设，联立双曲线方程，利用韦达定理即可求解. （3）利用点差法即可证明. 【详解】（1）根据题意可得，则， 将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线的方程为； （2）由（1）得，则， 则直线的方程为，设， 由，得， ，， 所以； （3）设， 则，两式相减得， 设，则，所以， 即，所以，即， 所以在直线上. 2．（24-25高二上·云南丽江·月考）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【答案】(1)过定点，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【详解】（1）抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. （2）直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 3．（23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，且定直线方程为 【分析】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面积公式可求出的值，进而可得出、的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出这两条直线交点的横坐标，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则，， 因此，双曲线的方程为. （2）证明：若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 4．（24-25高二下·广西桂林·期末）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，且． (1)求的方程； (2)设过点的直线与交于，两点（不与，两点重合）． （i）若的面积为，求的方程； （ii）若直线与直线交于点，证明：在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据可求出的值，即可得出椭圆方程； （2）（i）根据题意设直线，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理计算的面积可解得的值，即可得直线方程； （ii）分别写出直线与直线的方程，联立方程组，利用韦达定理化简可得，由此可证明交点在定直线上. 【详解】（1）由题意，，即，解得，则， 所以，椭圆的方程为. （2） 由题意，直线不与轴重合，且过点，设直线， 联立，可得， 则， 设，则. （i）因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 解得或（舍去），所以，， 所以直线的方程为,即或. （ii）由题意，， 所以直线，直线， 联立两直线方程，消去可得，即， 整理得，即， ， 即，解得， 所以，直线与直线的交点在定直线上. 一、解答题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若经过定点的直线与曲线交于，两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】（1）利用直接法，设出点坐标根据相切关系找到等量关系即可求动圆圆心P的轨迹T的方程； （2）由题意设直线l的方程为，联立抛物线方程，利用，从而由向量的数量积的坐标运算于韦达定理可得，即可求出直线方程． 【详解】（1）设，由题可知动圆圆心不能在轴左侧，故， 因为动圆与直线相切且与圆外切， 所以， 所以， 化简得， 所以动圆圆心的轨迹的方程为； （2）设，， 由题意，设直线的方程为， 联立 消去得， 所以，①， 所以，②， 假设存在使得， 则由题意可得③， 因为在抛物线上，所以，即④， 又，，， 所以， 将①②③④代入此式并化简，可得， 所以，即， 所以存在直线，使得，且直线的方程为或． 2．（24-25高二上·河北沧州·月考）已知粗圆的左、右焦点分别为，点是的上顶点，，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)已知，若直线与椭圆相交于两点（异于点），求证：直线的斜率之和为0． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据的几何意义，结合锐角三角函数，三角形的面积公式列方程，解得的值，即可得椭圆的方程； （2）联立直线和椭圆的方程，消去后得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出，再结合斜率公式表示出斜率之和，将代入上式，通过计算可得. 【详解】（1）    由题意，得，，，其中， 因为，的面积为，所以，且， 解得，所以， 因此，椭圆的方程为. （2）    设，由，得， 所以，解得， 由韦达定理得，； 因为两点异于点，所以，所以， 又， 所以 ， 将，代入上式， 得， 因此，直线的斜率之和为0. 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）现有一双曲线和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)M是的右顶点，过的直线交双曲线左支于两点， （i）求直线与直线的斜率之积； （ii）判断是否是定值，并给出理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是，理由见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义结合三角形三边关系，可构造函数以及其定义域，利用反比例函数单调性可求的最值，结合题意，建立方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定理，利用斜率公式以及弦长公式，整理可得答案. 【详解】（1）设，那么，， 根据，可得． 因为在上单调递减， 所以时，取最大值3，所以，解得． 所以． 因此根据题意可得的标准方程为． （2） （i）设，直线为， 联立直线方程和双曲线方程可得，化简得， 根的判别式， 所以根据韦达定理可得， ， ， . （ii）是定值，理由如下，设， 直线为，联立直线方程和双曲线方程可得 化简得， 根的判别式， 所以根据韦达定理可得， 所以， 所以 ． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 4．（24-25高二上·陕西西安·月考）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，且定值为 【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解， （2）由题意，设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出即可． 【详解】（1）设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： （2）由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值．    5．（24-25高二下·云南保山·期末）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程； （2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可. 【详解】（1）由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． （2） 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 6．（24-25高二上·河南·月考）已知双曲线. (1)若直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. (2)若为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，判断轴负半轴上是否存在一定点，使得.若存在，请求出；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用点差法可求出直线斜率，再求直线方程即可； （2）利用正切二倍角公式结合点在双曲线上化简可得； 【详解】（1）设， 则，作差可得， 因为线段的中点坐标为， 所以， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）设存在，    焦点， 因为，所以， 即，化简可得， 又点在双曲线上，所以，代入上式可得，整理可得 ， 因为对于恒成立，所以且，解得. 当时，代入双曲线方程可得， 显然，此时为等腰直角三角形，也成立， 综上，. 7．（2025·河南·一模）已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 【答案】(1)的方程为，的方程为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，，由焦距为4即可求出； （2）设点，，由直线的斜率之积为1以及点在双曲线上即可求证； （3）由题意，设点，，， 得，点在双曲线上，代入方程即可求解. 【详解】（1）设，， 因此，所以， 的方程分别为，； （2）设点，， 因此，，且，， 所以， 因此，，， 所以； （3）由题意，设点，，， 因此， 又，从而， 整理得， 由（2）可知，因此为定值． 8．（24-25高二下·云南·期末）已知两条平行直线，分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于，两点，交的两条渐近线于，两点，点，都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)证明：四边形的面积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的渐近线求出双曲线方程； （2）根据题意，计算出与轴垂直时，四边形面积为；与轴不垂直时，设直线的方程为，联立曲线方程得出新方程，得出，的关系；根据，的平行关系确定四边形为平行四边形，数形结合得出平行四边形和三角形间的面积关系，联立双曲线渐近线方程和直线的方程得出交点坐标表达式，根据面积公式算出四边形面积为，从而证明四边形的面积为定值. 【详解】（1）当且仅当与轴垂直时，，此时， 即， 则双曲线的方程为． （2）（2）证明： 当直线与轴垂直时，，四边形是矩形，面积为； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， 联立消去可得： ， 此时，并且， 故； 设与轴交于点， 由及双曲线的对称性，可知四边形ADEB是平行四边形， 面积， 双曲线两条渐近线方程为， 联立， 同理可得， 则． 所以，四边形的面积为定值． 9．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知双曲线经过点，右焦点为，且成等差数列. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，试问是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，定值为 【分析】（1）根据题意和可得，然后根据点在双曲线上即可求解； （2）依题意可设PQ：，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到，利用韦达定理和已知条件求出的表达式，然后求出的表达式，化简即可求证. 【详解】（1）因为，，成等差数列，所以， 又，所以. 将点的坐标代入C的方程得，解得， 所以，所以C的方程为. （2）依题意可设PQ：， 由，得,    设，，，则. ，， 则， 而， 所以， 所以是定值，定值为. 【点睛】关键点点睛： （1）本题的关键是根据题目条件得到等式，解方程组； （2）本题的关键是把目标转化成两根之和以及两根之积的形式，然后代入韦达定理化简. 10．（24-25高二下·重庆·月考）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与C交于不同两点，且满足为坐标原点，则： ①的面积是否为定值？ ②椭圆C上是否存在点M（异于点），满足，如果存在，请判断的形状；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①答案见解析；②不存在，理由见解析 【分析】（1）根据点在椭圆上及椭圆的离心率即可得椭圆方程； （2）直线的斜率存在时，设直线的方程为：，且，联立直线与椭圆得交点坐标关系，根据关系；①确定原点到直线的距离，根据面积公式求解即可判断是否为定值；②若，则为的重心，且，由重心坐标公式判断即可. 【详解】（1）由题可得，解得， 所以椭圆C的方程为； （2）① 当直线的斜率不存在时，则，，由于 所以，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，且， 联立，得， 由得，则， 则， 整理得，则或； 当直线的斜率不存在时，， 当直线的斜率存在时，点到直线的距离为， 则的面积 ， 若，则不是定值； 若，为定值. ②设，则， 由于， 则点到三边的距离等于对应边上的高长的， 故为的重心，则， 由（2）已得：， 则， ， ，代入，可得， 又，联立后无解， 故椭圆C上不存在点M，满足. 11．（24-25高二上·河南新乡·期末）已知和为椭圆上两点. (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，、是椭圆的两焦点，且，求的面积； (3)过点的直线与椭圆交于、两点，证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）利用余弦定理结合椭圆的定义求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （3）当直线的斜率为零时，直接计算出的值；当直线不与轴重合时，设直线的方程为，、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为. （2）由题可知，. 在中，由勾股定理得， 则，即， 所以，故的面积是. （3）当的斜率为时，； 当不与轴重合时，设直线的方程为，、， 联立得， 所以，， 由韦达定理可得，. ， 故为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 12．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）由题意可得，求出即可求解； （2）①设直线的方程和，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程，解之即可求解； ②联立直线可得，由①知，化简计算即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，所以． 又， 所以椭圆的方程为； （2）①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则． 又因为点到直线的距离． 令，解得， 所以直线的方程为． ②由①知， 则直线，直线， 由，整理得． 由①知，得， 所以， 即，解得， 所以点在直线上．    13．（24-25高二下·广东·期末）已知两点的坐标分别是，，直线相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线.两个不同点在上运动，满足直线与直线的斜率之比是. (1)求曲线的方程； (2)直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由； (3)证明：三角形是钝角三角形. 【答案】(1)（或） (2)是，定点 (3)证明见解析 【分析】（1）设，直接根据它们的斜率之积是，列出等式化简即可； （2）分为斜率不存在和存在两种情形，设，根据结合韦达定理得出和的关系即可得结果； （3）通过即可得结果. 【详解】（1）设，由题意得且， ，整理得 因此曲线的方程为：（或） （2）由题意得，又， 设， 若直线的斜率不存在，则 解得，此时直线过， 若直线的斜率存在，设， 与双曲线联立得， 依题意且 由韦达定理得，. 整理得， 此时恒成立，过 综上所述，直线过定点. （3）由（2）知， ①当时，，均在的右支， 如图2，此时 故为钝角. ②当时，，在的两支， 如图1，不妨设在的右支 记，此时 故为锐角，因此为钝角 综上所述，三角形为钝角三角形 图1                        图2 14．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据离心率得，再根据双曲线所过的点求出基本量后可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，由已知距离得，联立直线方程和双曲线方程结合韦达定理可求，故可求； （3）法1：设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程后消元，再结合韦达定理化简斜率之和得直线参数关系，从而可求定点；法2：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点，设平移后的直线的方程为：，齐次化后结合斜率为1可得参数关系，从而可求出原直线所过的定点. 【详解】（1）由，得， 则双曲线的方程为，将点代入的方程中，得． 解得，故，所以双曲线的方程为． （2）设直线的方程为，因为点到直线的距离为1， 作出简图如下所示， 所以，即． 设，，由于直线与交于点，所以， 联立整理得． 则，， 且， 故， 所以， 则．故． （3）法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 法二：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点， 可得双曲线方程：，化简得． 设平移后的直线的方程为：，，， 所以， 整理得， 即， 所以， 即，对比可得平移后的直线过定点． 所以直线过定点． 15．（2024·山西·三模）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点． (1)求E的方程； (2)已知点，若E上存在一点P，使得，求t的取值范围； (3)过的直线交E于A，B两点，过的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）根据题意可知焦点F到准线的距离为，即可得方程； （2）设，利用平面向量数量积可得，结合基本不等式运算求解； （3）设，求直线的方程，结合题意可得，结合夹角公式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：焦点F到准线的距离为， 所以抛物线E的方程为. （2）设，可知，则， 可得， 显然不满足上式， 则，可得， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 所以t的取值范围为. （3）设， 则直线的斜率， 可得直线的方程，整理得， 同理可得：直线的方程， 由题意可得：，整理得， 又因为直线的斜率分别为， 显然为锐角，则， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 16．（24-25高二下·江西·月考）已知椭圆过点，离心率为． (1)求椭圆的方程． (2)过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点． （i）若，求的方程； （ii）已知分别是的左、右顶点，直线，分别交直线于，两点，证明：与的面积之比为定值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）见解析 【分析】（1）将点的坐标代入，结合椭圆方程中的关系求解即可； （2）联立直线和椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解（i）；利用两点的坐标，写出，两点的坐标，然后利用三角形面积公式表示出面积比，然后结合和求解即可. 【详解】（1）椭圆过点，故， 且离心率，解方程组，得：， 故椭圆方程为: . （2）（i）过点的直线（与轴不重合）,故设直线， 设，联立 ，整理得：， 故， 故， 即，解得， 故的方程为：. （ii）分别是的左、右顶点，故 故直线的方程为：， 当时，，故， 同理可得：直线的方程为：，， 且，故, 故， 因为，故， 所以， 故与的面积之比为定值7. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意根的判别式的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为与韦达定理相关的形式； （5）代入韦达定理求解. 17．（24-25高二下·陕西汉中·期末）已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点. （i）若的中点为，求的方程； （ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，或 【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）（i）设、，则，，利用点差法可求得直线的方程； （ii）设，由题可知直线的斜率不为，可设直线，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，可求出点、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可化简得出的表达式，根据为定值可求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）由题可知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）设、，， 若的中点为，则，. 又，两式相减可得， 即， 所以，所以，故的斜率为. 因为点在上，所以的方程为，即； （ii）设，由题可知直线的斜率不为，可设直线， 由得， 即， 则，得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，, 令可得，即点， 同理可得点，， 则，， 所以 ， 当，即时，， 当，即（舍去）时，， 故当或时，为定值. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养拓展07 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 知识点01：定点问题 定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 【一般策略】 ①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等. ②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程. ③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程 知识点02：定值问题 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用． 【一般策略】 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值 【常用结论】 结论1 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）. 结论2 过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点. 结论3  过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点. 结论4 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值. 结论5  设点A，B是椭圆（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=- 知识点03：定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法. 【一般策略】 ①联立方程消去参； ②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标； ③将横纵坐标分别用参数表示，再消参； ④设点，对方程变形解得定直线. 解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点在某定直线． 目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况： （1），即动点恒过直线． （2），即动点恒过直线． （3），即动点恒过直线． 【题型01：直线过定点问题】 一、解答题 1．（2025·云南昭通·模拟预测）过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16． (1)求抛物线的方程； (2)当时，证明：直线过定点． 2．（2025·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由． 3．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与的公共点个数为1，求的值； (3)已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. 4．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知抛物线（）的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.求点的坐标. 5．（24-25高二下·重庆·期中）已知双曲线的图象经过点，其中一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作垂直于轴的直线，过点作直线与双曲线右支交于、两点，过点作的垂线，垂足为点.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【题型02：定点中的探究性问题】 一、解答题 1．（24-25高二下·上海·期中）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 2．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求的方程； (2)若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程； (3)在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 3．（24-25高二下·广东广州·期末）已知椭圆：（）的离心率为，且过点．设点处的切线为． (1)求的方程； (2)求直线的方程； (3)直线过点，且，点，在上，且，问：直线与的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标;若不是，说明理由． 4．（24-25高二下·江西·月考）已知双曲线（，）与直线相切于点，过点R与垂直的直线交x轴于点. (1)求C的方程； (2)过C的右焦点F的直线l与C的右支交于A，B两点. （Ⅰ）求直线l的倾斜角的取值范围； （Ⅱ）在x轴上是否存在异于F的点P，使得点F到直线，的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【题型03：斜率的和、差、积、商为定值】 一、解答题 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点、. (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围； (3)若直线不过点，直线、的斜率分别为、，求的值. 2．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左，右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不同于左，右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 3．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于C，D两点（在A，D之间），若，求的值； (3)已知点，过点作直线与轨迹交于M，N两点，记直线TM，TN的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 4．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知圆的圆心在轴上，且过，两点，抛物线与圆有且只有一个交点. (1)求圆的标准方程； (2)求的最小值； (3)当取最小值时，过抛物线上的点作圆的两条切线，它们分别交于点，（，均异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【题型04：线段定值】 一、解答题 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的动弦过椭圆C的右焦点F，当垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M． (1)求点M的坐标． (2)若直线的斜率为，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为，直线与椭圆C交于P，Q两点，证明：为定值． 2．（24-25高二上·福建三明·期末）已知中心在原点的双曲线与椭圆有相同的焦点，，且的长半轴长是的实半轴长的3倍． (1)求双曲线的方程； (2)若P为两条曲线的交点，求的面积； (3)若过点的直线交双曲线的左支于A，B两点，证明：为定值． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的焦点为，在抛物线上任取一点，的最小值为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)已知点是轴上一点，求的最小值； (3)已知，动直线与抛物线相交于两点，，且，过点作，垂足为，求出定点的坐标，使得为定值，并求出定值. 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点． (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值． 【题型05：角度定值】 一、解答题 1．（24-25高二下·四川巴中·月考）已知抛物线C：经过点． (1)求的值和抛物线C的准线方程； (2)经过点的直线l与抛物线C交于M，N两点，O为坐标原点．求证：为直角． 2．（2025·山东济宁·二模）已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值. 3．（24-25高二上·广东惠州·月考）已知点在抛物线的准线上，且抛物线的焦点为F． (1)求的面积； (2)设过点的直线l与抛物线C相交于两点，O为坐标原点． ①证明：为定值； ②在x轴上是否存在点H，使得x轴平分?若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，的面积为，直线与的斜率之积为. (1)求的方程； (2)已知点. （ⅰ）若直线过点且与交于、两点，求的最大值； （ⅱ）若直线过点且与交于，两点，求证：. 5．（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，圆的方程为，点的坐标为，点为圆上的动点，线段的中垂线与直线相交于点. (1)求交点的轨迹的方程； (2)若过点的直线与轨迹相交于、两点，求的取值范围； (3)若，点为轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【题型06：面积定值】 一、解答题 1．（24-25高二下·河南周口·期末）已知椭圆过点，且离心率，过点的直线与交于，两点，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程. (2)记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. (3)是否存在实数，使得（表示面积）恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 2．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，过点且垂直于轴的直线交所得的弦长为6，的周长为20． (1)求的方程； (2)设的上、下顶点分别为，过点且斜率不为0的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，试问的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 3．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为） (1)求证：点E恒在一条定直线L上； (2)若两直线与L交于点N，，求的值； (3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 4．（23-24高二上·湖南岳阳·月考）已知抛物线：（）经过点. (1)求的方程及其准线方程； (2)过外一点作三条直线，，，其中，与分别相切于，两点，与相交于，两点，同时与直线相交于点，记，，，的面积分别为，，，，证明：当点运动时，为定值. 【题型07：与向量有关的定值】 一、解答题 1．（22-23高二·全国·课后作业）如图所示，中心为原点的双曲线的一条渐近线为y＝x，焦点在x轴上，焦距为． (1)求此双曲线方程及其离心率； (2)过P(2,0)的直线l交双曲线于点M、N．Q(b,0)，若对于任意直线l，数量积是定值，求b的值． 2．（23-24高二上·贵州贵阳·月考）已知椭圆：的离心率为，上焦点到上顶点的距离为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，与定直线：交于点，设，，证明：为定值. 3．（23-24高二下·上海·月考）已知椭圆：的左右焦点为，，是椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点所得两直线交正半轴于，两点（点在的上方或重合）. (1)当面积最大时，求椭圆的方程； (2)当时，若是线段的中点，求直线的方程； (3)当时，在轴上是否存在点使得为定值，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知曲线C上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等.，直线过点且与C有两个不同的交点，，直线，分别交y轴于点M，N. (1)求C的方程； (2)若直线，的斜率分别是，，且，求的值及的斜率； (3)设为原点，若，判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【题型08：定直线问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 2．（24-25高二上·云南丽江·月考）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 3．（23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 4．（24-25高二下·广西桂林·期末）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，且． (1)求的方程； (2)设过点的直线与交于，两点（不与，两点重合）． （i）若的面积为，求的方程； （ii）若直线与直线交于点，证明：在一条定直线上． 一、解答题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若经过定点的直线与曲线交于，两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程． 2．（24-25高二上·河北沧州·月考）已知粗圆的左、右焦点分别为，点是的上顶点，，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)已知，若直线与椭圆相交于两点（异于点），求证：直线的斜率之和为0． 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）现有一双曲线和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)M是的右顶点，过的直线交双曲线左支于两点， （i）求直线与直线的斜率之积； （ii）判断是否是定值，并给出理由． 4．（24-25高二上·陕西西安·月考）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 5．（24-25高二下·云南保山·期末）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 6．（24-25高二上·河南·月考）已知双曲线. (1)若直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. (2)若为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，判断轴负半轴上是否存在一定点，使得.若存在，请求出；若不存在，请说明理由. 7．（2025·河南·一模）已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 8．（24-25高二下·云南·期末）已知两条平行直线，分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于，两点，交的两条渐近线于，两点，点，都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)证明：四边形的面积为定值． 9．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知双曲线经过点，右焦点为，且成等差数列. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，试问是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 10．（24-25高二下·重庆·月考）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与C交于不同两点，且满足为坐标原点，则： ①的面积是否为定值？ ②椭圆C上是否存在点M（异于点），满足，如果存在，请判断的形状；如果不存在，请说明理由． 11．（24-25高二上·河南新乡·期末）已知和为椭圆上两点. (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，、是椭圆的两焦点，且，求的面积； (3)过点的直线与椭圆交于、两点，证明：为定值. 12．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 13．（24-25高二下·广东·期末）已知两点的坐标分别是，，直线相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线.两个不同点在上运动，满足直线与直线的斜率之比是. (1)求曲线的方程； (2)直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由； (3)证明：三角形是钝角三角形. 14．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 15．（2024·山西·三模）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点． (1)求E的方程； (2)已知点，若E上存在一点P，使得，求t的取值范围； (3)过的直线交E于A，B两点，过的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：为定值. 16．（24-25高二下·江西·月考）已知椭圆过点，离心率为． (1)求椭圆的方程． (2)过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点． （i）若，求的方程； （ii）已知分别是的左、右顶点，直线，分别交直线于，两点，证明：与的面积之比为定值． 17．（24-25高二下·陕西汉中·期末）已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点. （i）若的中点为，求的方程； （ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$