第19讲 抛物线（九大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第19讲 抛物线（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 抛物线及其标准方程 通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k，当0<k<1时，点M的轨迹为椭圆；当k>1时，点M的轨迹为双曲线.一个自然的问题是：当k=1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状?下面我们就来研究这个问题. 【知识点1 抛物线及其标准方程】 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 3．抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 4．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【题型1 抛物线的定义及辨析】 【例1】（25-26高二上·河北张家口·期末）点在抛物线上，若点到点的距离为5，则点到轴的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】根据题意结合抛物线的定义运算求解即可. 【解答过程】由题意可知：抛物线的焦点为，准线方程为， 因为点到焦点的距离为5，则点到准线的距离为5， 且点在轴上方，所以点到轴的距离为. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解题思路】根据抛物线的概念，等于点到抛物线准线的距离求解. 【解答过程】因为抛物线：，所以 . 所以抛物线的焦点，准线：. 如图：    过作准线的垂线，垂足为， 根据抛物线的定义，. 故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）若抛物线：上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出抛物线的焦点和准线，再利用抛物线的定义求解． 【解答过程】 抛物线， 焦点为，准线为， 设点，由抛物线的定义可得， ， ，解得，故B正确． 故选：B． 【变式1-3】（25-26高二上·北京西城·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上.若到直线的距离为7，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【解题思路】由抛物线准线方程结合抛物线定义即可求解. 【解答过程】由题可得抛物线开口向左，准线方程为， 因为抛物线上的点到直线的距离为7，所以到直线的距离为5， 所以. 故选：C. 【题型2 求抛物线的轨迹方程】 【例2】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解. 【解答过程】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】可利用求轨迹方程的坐标法来求解，也可以用抛物线的几何定义来得到方程. 【解答过程】    方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 【变式2-2】（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 【答案】C 【解题思路】由题意得出，分、两种情况讨论，化简轨迹方程，可得结论. 【解答过程】由题意可得， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为抛物线， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为射线， 故点的轨迹为抛物线或射线. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程. 【解答过程】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则, 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 【例3】（25-26高二上·湖南怀化·期末）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的标准方程求其焦点坐标. 【解答过程】由焦点坐标可得的焦点坐标为. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二上·全国·期末）抛物线方程为，则此抛物线的准线为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把抛物线的方程化成标准形式，结合准线方程进行判断即可. 【解答过程】由抛物线方程为，变形为， 所以，得， 抛物线的准线为. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·重庆江北·阶段检测）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将抛物线的一般形式化为标准形式，即可确定焦点坐标. 【解答过程】抛物线整理为标准形式，故焦点在轴上， 又 的焦点坐标为， 由得，，所以此抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 【变式3-3】（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出椭圆焦点坐标与抛物线焦点坐标可得，即可得准线方程. 【解答过程】，则椭圆的焦点坐标为， 又抛物线的焦点坐标为， 则，解得，则该抛物线的准线方程为. 故选：C. 【题型4 求抛物线的标准方程】 【例4】（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据焦半径公式求得的值，则抛物线方程可知. 【解答过程】由焦半径公式可知，解得， 所以抛物线方程为， 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二上·四川资阳·期末）已知顶点在坐标原点、准线方程为的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据抛物线标准方程及准线方程的定义可得. 【解答过程】因为抛物线准线方程为， 所以可设抛物线的标准方程为，其准线方程为， 则，即， 所以抛物线的标准方程为. 故选：B. 【变式4-2】（2026·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【解答过程】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 【变式4-3】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【解答过程】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 【题型5 根据抛物线的方程求参数】 【例5】（25-26高二上·全国·单元测试）抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（    ） A． B． C．-8 D．-4 【答案】A 【解题思路】根据抛物线方程，先求得准线方程.结合抛物线定义即可求得点到准线的距离. 【解答过程】因为，所以，其准线方程为 ， 根据抛物线定义，得，解得． 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据焦半径公式求得，再将点的坐标代入求解即可. 【解答过程】，得， ∴抛物线的方程为， 再将点的坐标代入，得． 故选：A． 【变式5-2】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将点坐标代入抛物线的方程，从而求得的值. 【解答过程】点坐标代入抛物线的方程得，解得. 故选：A. 【变式5-3】（25-26高二上·广东·期末）已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【解题思路】确定抛物线的准线方程，根据抛物线的焦半径公式，即可求得答案. 【解答过程】由题意知抛物线的准线为， 因为点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，即A点纵坐标为4， 所以,解得. 故选：D. 【题型6 求抛物线上的点到定点的距离最值】 【例6】（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，由两点间距离公式表示出，再由二次函数的最值，即可得到结果. 【解答过程】依题意，是抛物线上的点，设， 则， 对于函数，当时，， 所以的最小值是， 即的最小值为. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【解答过程】如图，作出符合题意的图形，设， 则，， 当且仅当时取等号，此时， ，. 故选：B． 【变式6-2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A．8 B． C．9 D．3 【答案】B 【解题思路】把点代入抛物线中求出，再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可. 【解答过程】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，设， 则， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式6-3】（2026高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【解题思路】将问题转化为求的最小值，根据两点之间的距离公式，求得的最小值再减去半径即可. 【解答过程】如图，抛物线上点到圆心的距离为，    因此，当最小时，最小， 而， 当时，，因此的最小值是． 故选：A. 【题型7 抛物线上距离的和、差最值问题】 【例7】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知抛物线上有一动点，为其焦点，其所在平面内还有一点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】根据抛物线的定义，等于到准线的距离，进而转化为求的最小值，再根据三点共线即可求得答案. 【解答过程】将抛物线方程化为标准形式，得焦点，准线方程.过点作,垂足为, 根据抛物线定义，等于到准线的距离. 所以，.当且仅当三点共线时等号成立， 此时垂直于准线时，最小，为点到准线的距离. 所以 故的最小值为. 故选: C. 【变式7-1】（25-26高二上·湖南·期中）已知是抛物线上的动点，点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为（   ） A．2029 B．2030 C．2031 D．2032 【答案】B 【解题思路】利用抛物线的定义将点到直线的距离转化为点到焦点的距离即可求出. 【解答过程】由已知得的焦点为，准线为， 设为点到的距离，设为点到的距离， 则，即， 由抛物线的定义得，故所求距离之和为， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， ， ， 当点为线段与的交点时取等号． 故选：. 【变式7-2】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解题思路】利用抛物线的定义将转化为点到准线的距离，结合几何意义，求得的最小值为点到抛物线准线的距离. 【解答过程】抛物线的准线方程为． 设到准线的距离为到准线的距离为， 则 ， 则的最小值为6． 故选：C. 【变式7-3】（25-26高三上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为，为上的动点，为圆上的动点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义得，设圆的圆心为，半径为，当三点共线时，最小，即，进而得当三点共线时，最小，即可求解. 【解答过程】由题意有：抛物线的焦点为，准线方程为：， 过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 所以， 设圆的圆心为，半径为，则， 当三点共线时，最小，此时， 所以， 所以当三点共线时，最小，所以， 所以. 故选：B.    模块三 抛物线的简单几何性质 【知识点2 抛物线的简单几何性质】 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异有以下几个方面： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是 e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 【题型8 抛物线的对称性的应用】 【例8】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知等边三角形的一个顶点是抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】假设等边三角形的边长，然后利用抛物线的定义进行计算即可. 【解答过程】由题可知：抛物线的焦点为，准线方程为， 假设等边三角形的边长为，如图： 由于，根据抛物线关于轴对称可知：与也关于轴对称，且满足垂直于轴. 设，所以，即， 又或， 得：或， 解得：或. 故选：A. 【变式8-1】（2026·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解. 【解答过程】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 则，即， 又因为，解得. 故选：D. 【变式8-2】（2026·北京房山·二模）若三个点中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为___________. 【答案】 【解题思路】根据抛物线的对称性即可知在上，代入求p，写出抛物线方程即可. 【解答过程】由抛物线的对称性知：在上， ∴，可得，即抛物线的方程为. 故答案为：. 【变式8-3】（25-26高二·全国·课后作业）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个三角形的边长是___________． 【答案】 【解题思路】根据正三角形和抛物线的对称性求得正三角形的边长. 【解答过程】设正三角形的顶点，边长为， 由于正三角形的两个顶点在抛物线上， 根据正三角形和抛物线的对称性可设， 将点坐标代入抛物线得. 所以正三角形的边长为. 故答案为：. 【题型9 抛物线的实际应用问题】 【例9】（25-26高二上·山东青岛·期末）一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处被信号接收器接收，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为2m，则信号接收器与抛物线顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先建系求出抛物线的标准方程，再写出抛物线的焦点坐标，再求出信号接收器与抛物线顶点的距离. 【解答过程】以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 接收天线的口径为，深度为，则抛物线上有一点的坐标为，代入抛物线方程中，解得，. 所以信号接收器与抛物线顶点的距离为. 故选：D. 【变式9-1】（25-26高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【答案】B 【解题思路】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入抛物线方程解出，再将代入即可求解. 【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系，则点, 设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以, 当时， ，所以水面宽度为． 故选：B. 【变式9-2】（25-26高二上·天津滨海新区·期末）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据在可得，即可求解. 【解答过程】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意可知在抛物线上，故， 因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为， 故选：D. 【变式9-3】（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）一桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，通过待定系数法确定抛物线方程，并求出货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离，即可求出能使该货车能顺利通过桥洞的限高. 【解答过程】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，， 设抛物线方程为， 将代入方程可得，解得， 所以抛物线方程为， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离为， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为， 所以货车能顺利通过桥洞的限高为. 故选：B. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·四川泸州·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用抛物线的标准方程可得焦点在轴正半轴上，从而可求得准线方程. 【解答过程】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为. 故选：D. 2．（25-26高二上·广东广州·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意设该抛物线的标准方程为，求出的值，即可得出该抛物线的标准方程. 【解答过程】因为抛物线的准线方程为，故该抛物线开口向下， 设该抛物线的标准方程为， 则，解得，故该抛物线的标准方程为. 故选：D. 3．（25-26高二上·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【解题思路】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标. 【解答过程】由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 4．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为5，那么点到轴的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】利用抛物线的定义，由点到焦点的距离等于到准线的距离，先求出点的横坐标，进而得到它到轴的距离. 【解答过程】由抛物线的方程，可得，焦点的坐标为，准线方程为， 又由抛物线的定义可知点到的距离为，根据定义，点到准线的距离也为， 设点的横坐标为，则点到准线的距离为， 则点到轴的距离等于其横坐标的绝对值，即. 故选：C. 5．（25-26高二上·湖北·期末）已知点是抛物线上一点，为抛物线的焦点，为线段的中点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【解题思路】由中点横坐标推出点横坐标，再由抛物线定义求得的值. 【解答过程】已知，设，因为为线段的中点，所以， 又由题知，所以. 故选：C. 6．（25-26高二上·四川达州·期末）从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设垂线段的中点为，由题意得到点在抛物线上，将该点代入抛物线即可求解. 【解答过程】设垂线段的中点为， 则由题意可得点在抛物线上，所以，即， 所以垂线段的中点的轨迹方程是. 故选：D. 7．（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定信息，设出抛物线方程，并用给定点求出该方程即可. 【解答过程】设该抛物线的方程为，点的坐标为，则，解得， 因此该抛物线的方程为，其焦点，所以. 故选：A. 8．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（    ） A． B．12 C．11 D．10 【答案】B 【解题思路】先求出抛物线焦点 和准线方程，延长交准线于，连接，由抛物线定义得到即可数形结合得解. 【解答过程】抛物线方程的标准形式为， 所以焦点 ，准线方程为，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当三点共线时， ，      的最小值为. 故选：B． 二、多选题 9．（25-26高二上·内蒙古·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】AD 【解题思路】先应用点在抛物线上得出，再应用焦半径公式计算求解即可. 【解答过程】由点在抛物线上，可得点的横坐标， 因为，由抛物线的定义，得， 解得或． 故选:AD. 10．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上的一动点，则（    ） A．焦点的坐标为 B．抛物线的准线方程为 C．若，则 D． 【答案】ACD 【解题思路】根据抛物线的方程直接求解焦点与准线方程判断AB；根据焦半径公式判断CD. 【解答过程】由抛物线方程得焦准距，，准线方程为，故A正确，B错误； 对于C，点在抛物线，时，代入抛物线方程得， 故，C选项正确； 对于D，根据焦半径公式，，由于， 故，当且仅当在原点时取得等号，故D选项正确. 故选：ACD. 11．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为点，点在抛物线上，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的最小值为2 D．当时， 【答案】ABD 【解题思路】对于A，由抛物线方程可直接判断A；对于B，将代入得，根据抛物线的定义可得；对于C，由抛物线定义得，从而判断C；对于D，由列方程解得． 【解答过程】对于A，由抛物线方程为知，焦点为，准线方程为，故A正确； 对于B，将代入，得，则，故B正确； 对于C，由抛物线定义得，当时，取等号，即的最小值为1，故C错误； 对于D，因为点、点，所以，， 因为，所以，即， 将代入得，解得（负值舍去），故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）抛物线的焦点到准线的距离等于__________． 【答案】 【解题思路】求出焦参数即可得. 【解答过程】由抛物线的方程得，， 所以焦点到准线的距离为， 故答案为：. 13．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且过点，则此抛物线的方程为__________. 【答案】 【解题思路】根据题意可设抛物线方程为，代入点坐标求解. 【解答过程】因为抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且过点， 所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，可设方程为， 代入点得，，解得， 所以抛物线的方程为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为__________. 【答案】6 【解题思路】设等边三角形边长为a，根据抛物线的对称性以及等边三角形的对称性，表示出顶点A的坐标，代入抛物线方程，即可求得答案. 【解答过程】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 则另两个顶点关于x轴对称，不妨设如图示： 设等边三角形边长为a，则A点横坐标为， 则，代入得， 解得（舍）， 故等边三角形的边长为6， 故答案为：6. 四、解答题 15．（25-26高二·全国·随堂练习）在同一坐标系中画出下列抛物线： （1）；             （2）；             （3）． 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系． 【答案】答案见解析 【解题思路】在同一坐标系下画出抛物线，和图象，结合图象，即可求解. 【解答过程】如图所示，在同一坐标系下画出抛物线，和图象， 由图象可得，当方程中的系数越大，抛物线的开口就越大.    16．（25-26高二上·全国·单元测试）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (3)对称轴是轴，经过点． 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】根据题意结合抛物线的标准方程分析求解即可. 【解答过程】（1）因为抛物线的准线方程为， 所以可设抛物线的标准方程为，则，可得， 所以抛物线的标准方程是． （2）因为对称轴是轴，所以可设抛物线的标准方程为 或． 因为顶点到焦点的距离等于2，所以，即， 所以抛物线的标准方程是或． （3）因为对称轴是轴，经过点，所以设抛物线方程为， 因为抛物线经过点，所以，解得 ， 所以抛物线的标准方程是． 17．（2026高二上·山西长治·专题练习）（1）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程； （2）平面内一个动点到点的距离比它到直线 的距离小个单位，求动点的轨迹方程． 【答案】（1） 或 ； （2）． 【解题思路】（1）根据题意分类讨论抛物线的对称轴为轴和轴时，分别设出抛物线方程，将点 的坐标代入，求出待定系数的值，即可得出答案； （2）根据题意分析出动点到点的距离等于它到直线的距离，由抛物线定义得出动点的轨迹是抛物线，再求出抛物线的方程即得解. 【解答过程】（1）由于点 在第四象限，所求抛物线以原点为顶点，且以坐标轴为对称轴， 当抛物线的对称轴为轴时，设抛物线方程为 ， 将点 的坐标代入，可得，解得 ，所以抛物线方程为 ； 当抛物线的对称轴为轴时，设抛物线方程为 ， 将点 的坐标代入，可得，解得，所以抛物线方程为 综上，所求的抛物线方程为 或 （2）由题意知，点 不可能在 轴左侧．设直线 ， 则轴右侧的点到直线的距离比它到直线的距离小个单位， 等价于动点到点的距离等于它到直线的距离， 根据抛物线的定义，动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程为． 18．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 【答案】(1)，准线方程为. (2)3 【解题思路】（1）根据抛物线方程求得焦点坐标以及准线方程. （2）根据抛物线的定义求得正确答案. 【解答过程】（1）将抛物线：化为标准方程得，， 其焦点坐标为，准线方程为. （2）由抛物线的定义知，点P到焦点的距离即为点P到准线的距离， 为点P到定点的距离与点P到准线的距离之和， 要使得最小， 则点P，A在一条垂直于准线的直线上， 故最小值即为点到准线的距离为3， 所以，的最小值为3. 19．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线 及一个矩形的三边组成，尺寸如图，单位：m. (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线 所在抛物线的方程； (2)为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3米的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至米） 【答案】(1) (2)车辆的限制高度为3.8米． 【解题思路】（1）设出抛物线的方程，确定其上的一个点坐标，代入求得p，即可得答案； （2）由题意在抛物线上取点，代入，解得，设出车辆的高，列出相应不等式，即可求得答案. 【解答过程】（1）设抛物线方程为，由图知抛物线经过点， 代入方程可得，解得， 故抛物线所在抛物线的方程为． （2）依题意，在抛物线上取点，代入，解得， 设车辆限高为，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使， 即 所以车辆的限制高度为3.8米． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 抛物线（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 抛物线及其标准方程 通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k，当0<k<1时，点M的轨迹为椭圆；当k>1时，点M的轨迹为双曲线.一个自然的问题是：当k=1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状?下面我们就来研究这个问题. 【知识点1 抛物线及其标准方程】 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 3．抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 4．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【题型1 抛物线的定义及辨析】 【例1】（25-26高二上·河北张家口·期末）点在抛物线上，若点到点的距离为5，则点到轴的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）若抛物线：上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·北京西城·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上.若到直线的距离为7，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【题型2 求抛物线的轨迹方程】 【例2】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 【变式2-3】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 【例3】（25-26高二上·湖南怀化·期末）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·全国·期末）抛物线方程为，则此抛物线的准线为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·重庆江北·阶段检测）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【题型4 求抛物线的标准方程】 【例4】（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·四川资阳·期末）已知顶点在坐标原点、准线方程为的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4-3】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5 根据抛物线的方程求参数】 【例5】（25-26高二上·全国·单元测试）抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（    ） A． B． C．-8 D．-4 【变式5-1】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线上一点，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·广东·期末）已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【题型6 求抛物线上的点到定点的距离最值】 【例6】（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式6-2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A．8 B． C．9 D．3 【变式6-3】（2026高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 【题型7 抛物线上距离的和、差最值问题】 【例7】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知抛物线上有一动点，为其焦点，其所在平面内还有一点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式7-1】（25-26高二上·湖南·期中）已知是抛物线上的动点，点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为（   ） A．2029 B．2030 C．2031 D．2032 【变式7-2】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式7-3】（25-26高三上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为，为上的动点，为圆上的动点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 模块三 抛物线的简单几何性质 【知识点2 抛物线的简单几何性质】 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异有以下几个方面： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是 e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 【题型8 抛物线的对称性的应用】 【例8】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知等边三角形的一个顶点是抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式8-1】（2026·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-2】（2026·北京房山·二模）若三个点中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为___________. 【变式8-3】（25-26高二·全国·课后作业）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个三角形的边长是___________． 【题型9 抛物线的实际应用问题】 【例9】（25-26高二上·山东青岛·期末）一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处被信号接收器接收，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为2m，则信号接收器与抛物线顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【变式9-2】（25-26高二上·天津滨海新区·期末）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）一桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为（   ）    A． B． C． D． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·四川泸州·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东广州·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 4．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为5，那么点到轴的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26高二上·湖北·期末）已知点是抛物线上一点，为抛物线的焦点，为线段的中点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 6．（25-26高二上·四川达州·期末）从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 8．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（    ） A． B．12 C．11 D．10 二、多选题 9．（25-26高二上·内蒙古·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上的一动点，则（    ） A．焦点的坐标为 B．抛物线的准线方程为 C．若，则 D． 11．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为点，点在抛物线上，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的最小值为2 D．当时， 三、填空题 12．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）抛物线的焦点到准线的距离等于__________． 13．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且过点，则此抛物线的方程为__________. 14．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为__________. 四、解答题 15．（25-26高二·全国·随堂练习）在同一坐标系中画出下列抛物线： （1）；             （2）；             （3）． 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系． 16．（25-26高二上·全国·单元测试）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (3)对称轴是轴，经过点． 17．（2026高二上·山西长治·专题练习）（1）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程； （2）平面内一个动点到点的距离比它到直线 的距离小个单位，求动点的轨迹方程． 18．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 19．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线 及一个矩形的三边组成，尺寸如图，单位：m. (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线 所在抛物线的方程； (2)为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3米的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至米） 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $