第17讲 对数函数（九大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第17讲 对数函数 【人教A版2019】 模块一 对数函数的概念 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 【题型1 对数函数的判定】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【解题思路】利用对数函数的定义求解． 【解答过程】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用对数函数概念可判断. 【解答过程】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 【变式1.2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用对数函数定义，逐项判断作答. 【解答过程】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，是对数函数的有 ① ；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题思路】根据对数函数的概念分析可得答案. 【解答过程】①在且的条件下才是对数函数，故①不是对数函数； ②和③符合对数函数的定义，是对数函数； ④中，底数不是常数，不是对数函数； ⑤中系数不是，不是对数函数. 故选：B. 【题型2 求对数函数的函数值或解析式】 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设对数函数解析式求参即可. 【解答过程】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高一·全国·课后作业）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【解题思路】设函数为，再根据图象过点可得，即可解出，得到该对数函数的解析式． 【解答过程】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为． 故选：A． 【变式2.2】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【解题思路】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可. 【解答过程】∵函数是对数函数， ∴，且， 解得或，∴， 故选：C． 【变式2.3】（24-25高一·全国·课后作业）已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】将代入求得，进而可得的值. 【解答过程】因为函数的 图象过点， 所以， 则， 所以，， 故选：B. 模块二 对数函数的图象与性质 1．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】 【例3】（24-25高一上·江苏南京·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由对数有意义列出不等式，求解得函数的定义域. 【解答过程】函数有意义，则，即，解得， 所以所求的定义域为. 故选：D. 【变式3.1】（2025·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二次函数与对数函数的性质即可得解. 【解答过程】对于，有，解得， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以当时，，即， 又在其定义域内单调递增， 所以，则， 则的值域为. 故选：D. 【变式3.2】（24-25高一上·河南开封·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对数函数的定义域求解即可. 【解答过程】由，解得或. 故的定义域为， 故选：D. 【变式3.3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【解答过程】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：A. 【题型4 对数式的大小比较】 【例4】（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）设，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由对数函数的单调性和运算性质可得. 【解答过程】， 由对数函数图象的性质可得， 所以， 即. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高一上·北京怀柔·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【解题思路】根据已知条件，结合对数函数的单调性，即可求解． 【解答过程】， ， ， 综上所述，． 故选：D． 【变式4.2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数与对数函数的性质判断． 【解答过程】由已知，，， ∴， 故选：A． 【变式4.3】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）设，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对数函数和指数函数的单调性可判断大小 . 【解答过程】由题意得，，，， 综合比较 ， 故选：C. 【题型5 解对数不等式】 【例5】（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集. 【解答过程】的定义域为， 因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以， 所以不等式解集为， 故选：B. 【变式5.1】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知偶函数的定义域为R，若在上单调递减且，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用函数的单调性及对数函数单调性求解不等式. 【解答过程】依题意，不等式， 则或，解得或， 所以所求x的取值范围是. 故选：D. 【变式5.2】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数的图象过点． (1)求实数的值； (2)解不等式． 【解题思路】（1）根据在对数函数图象上即可列方程求解； （2）根据对数函数单调性列不等式即可求解. 【解答过程】（1）由题意，解得； （2）由（1）可得是增函数， 从而成立，当且仅当，解得， 所以不等式的解集是. 【变式5.3】（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数， (1)求函数的定义域； (2)求使得不等式成立的x的取值范围. 【解题思路】（1）根据对数的性质即可列不等式求解， （2）根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可求解. 【解答过程】（1）的定义域满足，解得， 故定义域为 （2）， 要使，则， 因此，解得， 故的范围为. 【题型6 对数函数的图象的识别及应用】 【例6】（24-25高一上·四川泸州·期末）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，的一个是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【解题思路】根据对数函数的图象和性质判断即可. 【解答过程】因为， 即当时, ， （3）是，（4）是， 又与关于轴对称， （1）是. 故选：B. 【变式6.1】（2025高三上·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解. 【解答过程】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以； 因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以. 故选：D. 【变式6.2】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由对数函数的性质以及复合函数单调性逐项判断即可； 【解答过程】对于B、D，因为在其定义域上为单调增函数， 由复合函数的单调性可得在和上单调递减，故B、D错误； 对于C，由对数函数的性质，当时，，故C错误； 故选：A. 【变式6.3】（24-25高三上·云南·阶段练习）函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（    ） A．①②③ B．③①② C．③②① D．①③② 【解题思路】利用特殊值确定正确答案. 【解答过程】令，解得； 令，解得； 令，解得， 即当时，对应的底数越大，图象越靠近x轴 故，，的图象所对应的编号依次为③②①. 故选：C. 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 【例7】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出函数的定义域，再根据同增异减可求递增区间. 【解答过程】， 由题设有，故或， 设或，，则在上为增函数， 而在上为减函数，在上为增函数， 故在上为减函数，在上为增函数， 故选：A. 【变式7.1】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数且在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由复合函数的单调性，函数在区间上严格递减，分 和两种情况结合列不等式组求出范围即得答案. 【解答过程】令，则， 函数在区间上严格递减， 当，由函数在区间上严格递增， 则在区间上严格递减，且， 对称轴为， 所以，所以； 当，由函数在区间上严格递减， 则在区间上严格递增，且， 对称轴为， 所以，所以无解； 则实数取值范围是. 故选：C. 【变式7.2】（24-25高一上·天津河东·阶段练习）已知函数单调递减区间是（      ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可得函数的单调减区间. 【解答过程】由得或，     ∴的定义域为. ∵对称轴为直线， ∴在上为减函数， ∵在为增函数， ∴根据复合函数单调性可得单调递减区间为. 故选：A. 【变式7.3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据内函数为减函数，根据其单调性知外函数也为减函数，则，再结合对数的真数大于0，则得到，解出即可. 【解答过程】为减函数， 又在区间内为增函数，则， 且当时，恒成立，所以，解得， 则， 故选：B. 【题型8 对数型复合函数的应用】 【例8】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）设函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由对数运算公式可知，可知为偶函数，又当时，，可知当时，的解析式，结合复合函数单调性及函数的奇偶性可值的单调性，根据奇偶性及单调性可解不等式. 【解答过程】由对数运算公式可知， 所以，即函数为偶函数. 又当时，，即， 所以当时，. 又函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以不等式等价于，即，解得. 故选：C. 【变式8.1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】探讨给定函数的性质，把恒成立的不等式转化为，再借助函数性质求出范围. 【解答过程】函数定义域为，其图象对称轴为， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又，对于，， 依题意，，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【变式8.2】（24-25高一上·北京西城·阶段练习）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，求的取值范围. 【解题思路】（1）首先求出函数的定义域，再计算，即可证明； （2）首先判断函数的单调性，根据单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可. 【解答过程】（1）为奇函数，证明如下： 由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 又， 所以函数是定义在上的奇函数. （2）因为， 又在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 不等式，即，即，即， 解得， 所以的取值范围为. 【变式8.3】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数为奇函数，且. (1)求实数，的值； (2)判断在定义域内的单调性，并说明理由（不需要证明）； (3)解不等式. 【解题思路】（1）根据奇函数的性质以及函数定义域可知，再结合，运算求解即可； （2）根据题意结合复合函数单调性分析判断. （3）根据奇函数可得，再结合单调性列式求解即可. 【解答过程】（1）由，奇函数定义域关于原点对称，故， 由，得，， 此时的定义域为，且，故为奇函数， 所以. （2）因为的定义域为， 设，则， 因为在单调递增，在单调递增， 故在单调递增. （3）因为为奇函数且在单调递增， 若，则， 可得，解得， 所以不等式的解集为. 【题型9 对数函数的实际应用】 【例9】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140.若喷气式飞机起飞时声音强度约为汽车穿梭在马路上声音强度的倍，则汽车穿梭在马路上声音的等级约为（    ） A．100 B．80 C．60 D．30 【解题思路】由函数的解析式，求出喷气式飞机起飞时声音强度, 根据喷气式飞机起飞时声音强度约为汽车穿梭在马路上声音强度的倍求出结果. 【解答过程】因为， 所以穿梭在马路上声音强度为， 所以汽车穿梭在马路上声音的等级约为. 故选：B. 【变式9.1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知公式，将信噪比看作整体，分别取求出相应的值，再利用对数运算性质与换底公式变形即可得解. 【解答过程】由题意，将信噪比从2000提升至10000， 则最大信息传递速率从增加至， 所以 . 故选：B. 【变式9.2】（24-25高一上·江苏连云港·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若甲地发生里氏4.5级地震，乙地发生里氏8.0级地震，则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的（    ） A．5.25倍 B．5.2倍 C．倍 D．倍 【解题思路】根据题设关系式求得甲地能量、乙地能量，再做商即可求结果. 【解答过程】由题设，甲地里氏4.5级地震的能量为，则，即， 乙地里氏8.0级地震的能量为，则，即， 所以， 即乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的倍. 故选：C. 【变式9.3】（24-25高一上·江苏南通·期中）火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（   ） （参考数据，） A．22.1 B．22.3 C．22.5 D．22.7 【解题思路】首先将条件中的数据代入速度公式求，再估算，即可判断选项. 【解答过程】由题意可得，，， 代入题目公式，可得：，， ，， 代入值可得：，， 需装载的推进剂的吨数约为. 故选：C. 一、单选题 1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【解题思路】首先代入点求函数的解析式，再求函数值. 【解答过程】由条件可知，，得， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对数函数的定义列式求解即可． 【解答过程】∵，则，解得，且， ∴实数a的取值范围是． 故选：C. 3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数且，若的图象过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据求出的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得出的值. 【解答过程】由题意可得，可得，解得，所以，， 因此，. 故选：B. 4．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且.则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的性质得到，解不等式，求出解集. 【解答过程】，故， 函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增， ，故，即或， 解得或， 故的解集为. 故选：D. 5．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案. 【解答过程】由，则，分解因式可得， 解得，所以函数的定义域为， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 且函数在上单调递减， 则函数的增区间为. 故选：D. 6．（23-24高一上·北京东城·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A．且 B． C． D． 【解题思路】先对参数范围分类讨论，再结合复合函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【解答过程】由对数函数性质得或，下面，我们对的范围进行分类讨论， 令，则是由和构成的复合函数， 当时，由对数函数性质得单调递增， 由一次函数性质得单调递减， 由复合函数性质得单调递减，不符合题意，故排除， 当时，由对数函数性质得单调递减， 若在区间上单调递增，故在区间上单调递减， 此时，解得，且恒成立， 由一次函数性质得的最小值为， 得到，解得， 综上，得到的取值范围为，故B正确. 故选：B. 7．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别根据、、的单调性，比较，，与0，1的大小，即可比较 【解答过程】在上是减函数，； 在上是增函数，； 在上是减函数，， 故. 故选：A. 8．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得. 【解答过程】由图可知，曲线与曲线关于y轴对称，且曲线是函数的图象， 所以曲线对应的函数解析式为， 由曲线与曲线关于直线对称， 所以曲线对应的函数解析式为， 由曲线与曲线关于x轴对称， 所以曲线对应的函数解析式为，即. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一·全国·课堂例题）下列函数中为对数函数的是（    ） A． B． C． D．（是常数） 【解题思路】由对数函数的定义判断， 【解答过程】对于A，真数是，故A不是对数函数； 对于B，，真数是，不是，故B不是对数函数； 对于C，的系数为1，真数是，故C是对数函数； 对于D，底数，真数是，故D是对数函数． 故选：CD. 10．（24-25高一上·四川宜宾·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．图象的对称轴为 C．在上单调递减 D．是偶函数 【解题思路】利用对数函数的真数大于零可得定义域，即可判断A错误，由对数运算法则以及二次函数图象性质可得B正确，根据复合函数单调性可判断C正确，利用函数奇偶性定义可判断D正确. 【解答过程】对于A，若函数有意义，则，解得， 所以的定义域为，即A错误； 对于B，易知，； 且函数关于对称，所以图象的对称轴为，即B正确； 对于C，易知在单调递减，对数函数为单调递增， 由复合函数单调性可得在上单调递减，即C正确； 对于D，易知，其定义域为， 且满足偶函数定义，即可得是偶函数，可得D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）函数，有下列结论正确命题的是（   ） A．的最小值是 B．在上是减函数，在上是增函数 C．没有最大值 D．解集为 【解题思路】分析函数的奇偶性、单调性，可判断ABC选项；利用对数函数的单调性解不等式，可判断D选项. 【解答过程】因为函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 当时，， 因为内层函数在上单调递减，在上单调递增， 外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 对于B选项，由于函数为偶函数， 所以，函数的增区间为、，减区间为、，B错； 对于A选项，由B选项可知，，A对； 对于C选项，由B选项可知，函数无最大值，C对； 对于D选项，由可得，即， 即，即，可得， 解得或， 因此，不等式的解集为，D对. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知对数函数的图象经过点，则函数的定义域为 . 【解题思路】设出对数函数表达式，求得参数的值，得出表达式，进而得出定义域. 【解答过程】由题意，， 在对数函数中，图象经过点， 设， ， 解得：， ∴， ∴，解得： 定义域为. 故答案为：. 13．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）函数（，且）的图象恒过定点 . 【解题思路】根据对数函数的定点坐标计算即可. 【解答过程】的定点坐标为， 所以的图象恒过定点. 故答案为：. 14．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【解题思路】令，则由题意可得在上是减函数，且在区间上恒成立，从而列不等式组可求得答案 【解答过程】令，因为在区间上是减函数，且在上是增函数， 所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）（2）（3）利用函数式有意义，结合对数的定义列出不等式求解即可. 【解答过程】（1）要使函数式有意义，需满足，解得， 所以函数的定义域是． （2）要使函数式有意义，需满足，解得且， 所以函数的定义域是． （3）要使函数式有意义，需满足，解得且， 所以函数的定义域是． 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数（，且）的图象过点． (1)求； (2)若函数，求的定义域． 【解题思路】（1）根据待定系数法求出解析式，再求值即可； （2）求出表达式，根据对数函数的性质得到真数为正，构造不等式组计算即可． 【解答过程】（1）由题意可得，可得，故，故； （2）， 其中，解得， 此时函数的定义域为． 17．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数（且）. (1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； (2)解关于的不等式. 【解题思路】（1）已知函数在区间上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可； （2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集. 【解答过程】（1）因为在上为单调函数， 且函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即或， 解得或. （2）因为函数是上的减函数， 所以，即， 当时，，原不等式解集为； 当时，，原不等式解集为. 综上可得：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 18．（24-25高一上·北京东城·期末）已知函数， (1)当时，求的定义域和单调区间； (2)若任意都有，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）当时，写出函数的解析式，由对数的真数大于零可求得函数的定义域，利用复合函数的单调性可求得函数的增区间和减区间； （2）分析可知，对任意的，，结合参变量分离法可得出，由可得出，解法一：由参变量分法可得出对任意的，所以恒成立，可求得的范围；解法二：令，其中，根据题意得出，可求得的范围；综合即可得解. 【解答过程】（1）当时，， 由可得，故函数的定义域为， 又二次函数图象的对称轴为， 该函数在单调递增，单调递减，且是单调递增函数， 由复合函数的单调性得，在单调递增，单调递减． 故的定义域为，单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由题意可知，对，，故，所以． 又任意，恒成立 即，， 因为，所以，所以， 解法一：故恒成立．因为，所以恒成立，所以． 解法二：令，其中， 要使得在恒成立，则，故． 综上，． 19．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，设． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求的范围． 【解题思路】（1）根据对数性质即可求解， （2）利用奇偶性的定义即可求解， （3）根据对数函数的单调性即可求解. 【解答过程】（1）根据题意，函数， 可得， 则有，解可得， 即函数的定义域为； （2）为奇函数． 理由如下： 由（1）知，函数， 其定义域为，关于原点对称， 又由， 即， 所以函数为定义域上的奇函数； （3）由，即，　 因为在上为增函数， 所以满足且， 解可得， 所以的取值范围为． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 对数函数 【人教A版2019】 模块一 对数函数的概念 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 【题型1 对数函数的判定】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，是对数函数的有 ① ；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 求对数函数的函数值或解析式】 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一·全国·课后作业）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【变式2.2】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【变式2.3】（24-25高一·全国·课后作业）已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 模块二 对数函数的图象与性质 1．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】 【例3】（24-25高一上·江苏南京·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2025·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一上·河南开封·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【题型4 对数式的大小比较】 【例4】（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）设，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·北京怀柔·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【变式4.2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）设，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型5 解对数不等式】 【例5】（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知偶函数的定义域为R，若在上单调递减且，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数的图象过点． (1)求实数的值； (2)解不等式． 【变式5.3】（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数， (1)求函数的定义域； (2)求使得不等式成立的x的取值范围. 【题型6 对数函数的图象的识别及应用】 【例6】（24-25高一上·四川泸州·期末）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，的一个是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【变式6.1】（2025高三上·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高三上·云南·阶段练习）函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（    ） A．①②③ B．③①② C．③②① D．①③② 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 【例7】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数且在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一上·天津河东·阶段练习）已知函数单调递减区间是（      ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型8 对数型复合函数的应用】 【例8】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）设函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高一上·北京西城·阶段练习）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，求的取值范围. 【变式8.3】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数为奇函数，且. (1)求实数，的值； (2)判断在定义域内的单调性，并说明理由（不需要证明）； (3)解不等式. 【题型9 对数函数的实际应用】 【例9】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140.若喷气式飞机起飞时声音强度约为汽车穿梭在马路上声音强度的倍，则汽车穿梭在马路上声音的等级约为（    ） A．100 B．80 C．60 D．30 【变式9.1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（    ） A． B． C． D． 【变式9.2】（24-25高一上·江苏连云港·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若甲地发生里氏4.5级地震，乙地发生里氏8.0级地震，则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的（    ） A．5.25倍 B．5.2倍 C．倍 D．倍 【变式9.3】（24-25高一上·江苏南通·期中）火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（   ） （参考数据，） A．22.1 B．22.3 C．22.5 D．22.7 一、单选题 1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数且，若的图象过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且.则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京东城·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A．且 B． C． D． 7．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一·全国·课堂例题）下列函数中为对数函数的是（    ） A． B． C． D．（是常数） 10．（24-25高一上·四川宜宾·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．图象的对称轴为 C．在上单调递减 D．是偶函数 11．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）函数，有下列结论正确命题的是（   ） A．的最小值是 B．在上是减函数，在上是增函数 C．没有最大值 D．解集为 三、填空题 12．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知对数函数的图象经过点，则函数的定义域为 . 13．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）函数（，且）的图象恒过定点 . 14．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数（，且）的图象过点． (1)求； (2)若函数，求的定义域． 17．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数（且）. (1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； (2)解关于的不等式. 18．（24-25高一上·北京东城·期末）已知函数， (1)当时，求的定义域和单调区间； (2)若任意都有，求实数的取值范围． 19．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，设． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求的范围． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$