2026年暑假预习 菱形的性质与判定1 专项练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，通过基础计算到综合证明的梯度设计，系统构建菱形知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|1-8题|围绕对角线、周长、面积等基础计算|从菱形定义出发，结合对角线垂直平分性质推导边长、面积公式| |判定应用|9-12题|平行四边形判定为菱形的条件补充|以平行四边形为基础，通过邻边相等、对角线垂直等条件实现判定转化| |综合计算证明|13-17题|结合坐标系、动态问题及推理证明|整合性质与判定，形成“概念-性质-判定-应用”完整逻辑链条，强化空间观念|

2026年暑假九年级数学预习 菱形的性质与判定1 第2天参考答案与试题解析 一．菱形的性质与判定1 1．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形的周长等于（　　） A．40 B． C．24 D．20 【分析】根据菱形的性质可求得BO、AO的长，AC⊥BD，根据勾股定理可求出AB，进而可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，BOBD6＝3，AOAC8＝4，AC⊥BD， 则在Rt△ABO中，根据勾股定理得：， ∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20． 故选：D． 2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝ODBD，BD⊥AC， ∴BD＝2OB＝12， ∵S菱形ABCDAC•BD＝54， ∴AC＝9， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴OEAC＝4.5， 故选：B． 3．如图，平面直角坐标系中，平行四边形AOBC的边OB在x轴上，A（3，4），C（9，4）．若将边BC向左平移，当四边形AOBC是菱形时，平移的距离是（　　） A．1 B．2 C．1或11 D．2或11 【分析】先求解AC＝9﹣3＝6，，可得菱形的边长为5，再进一步可得答案． 【解答】解：∵A（3，4），C（9，4）， ∴AC＝9﹣3＝6， 由勾股定理可得：， ∵四边形AOBC是菱形， ∴AO＝OB＝BC＝CA＝5， ∴边BC向左平移1个单位或11个单位， 故选：C． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别为10cm和24cm，则菱形ABCD的高为（　　） A．13cm B．cm C．26cm D．cm 【分析】先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长，再通过菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式，从而求出菱形的高． 【解答】解：如图，AC交BD于点O，设AB边上的高为h， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝10cm，BD＝24cm， ∴OA＝OCAC＝5cm，OB＝ODBD＝12cm，AC⊥BD， ∴， ∵菱形面积S＝AB×h，菱形面积， ∴13h＝120， ， 故选：B． 5．如图，四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，AB＝2，则菱形ABCD的面积是（　　） A．3 B．4 C． D． 【分析】根据菱形性质和已知条件，判断出△BCD是等边三角形，求出OB，BC，根据勾股定理求出OC，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】 解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°， ∴BC＝CD，AC⊥BD， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝BD＝AB＝2， ∴OBBD＝1， ∴OC， ∴AC＝2OC＝2， ∴四边形ABCD的面积AC•BD2×2， 故选：D． 6．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（　　） A．4 B．4 C．3 D．3 【分析】证△ABE≌△ACF（ASA），得S△ABE＝S△ACF，再由S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可求解． 【解答】解：连接AC，如图所示， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4， ∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°， ∴∠1＝∠3， ∵∠BAD＝120°，BC∥AD， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∴△ABC、△ACD为等边三角形， ∴∠4＝60°，AC＝AB， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）． ∴S△ABE＝S△ACF， 故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值， 过A作AH⊥BC于H，则BHBC＝2， ∴AH2， S四边形AECF＝S△ABCBC•AH4×24， 故选：A． 7．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．其示意图如图所示，菱形ABCD的对角线AC＝16cm、BD＝12cm，则菱形边长应为（　　） A．10cm B．12cm C．13cm D．24cm 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长AB即可． 【解答】解：∵AC＝16cm，BD＝12cm， ∴两对角线的一半分别为8cm，6cm， 由勾股定理得，边长AB10cm， 故选：A． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，若点C的坐标是（3，4），则点B的坐标为（　　） A．（8，4） B．（8，3） C．（5，4） D．（5，3） 【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，由勾股定理骑车OC，再由菱形的性质得BC∥OA，BC＝OC＝5，即可得出结论． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CDO＝90°， ∵点C的坐标是（3，4）， ∴OD＝3，CD＝4， ∴OC5， ∵四边形OABC为菱形， ∴BC∥OA，BC＝OC＝5， ∴点B的坐标为（3+5，4），即（8，4）， 故选：A． 9．菱形有一个内角是60°，边长为6cm，则它的面积是 　　 cm2． 【分析】∠B＝60°，AB＝BC＝6cm，过点A作AE⊥BC于点E，根据直角三角形的性质可得，再由勾股定理可得AE的长，然后根据菱形的面积公式计算，即可求解． 【解答】解：如图，∠B＝60°，AB＝BC＝6cm，过点A作AE⊥BC于点E， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝30°， ∴， ∴， ∴它的面积是． 故答案为：． 10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知AB＝13，AO＝12，则菱形ABCD的面积为　120　 ． 【分析】利用菱形的性质，结合勾股定理求出BD，再根据“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”得出答案即可． 【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝12， ∴AC⊥BD，AC＝2AO＝24， ∵AB＝13， ∴BO5， ∴BD＝2BO＝10， ∴菱形ABCD的面积AC•BD24×10＝120， 故答案为：120． 11．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请添加一个条件AB＝AD（答案不唯一）　 ，使▱ABCD成为菱形（写出符合题意的一个条件即可） 【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AB＝AD． 【解答】解：添加AB＝AD， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴▱ABCD成为菱形． 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 12．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四形BCDF为菱形，则a的值为　2　 ． 【分析】由平行四边形的性质推出CD＝AB＝4，由菱形的性质得到EC＝CD＝4，求出BE＝2，由平移的性质得到a的值． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝4， ∵四边形BCDF是菱形， ∴EC＝CD＝4， ∴BE＝BC﹣EC＝6﹣4＝2， 由平移的性质得到a＝BE＝2． 故答案为：2． 13．如图，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，测得AC＝4cm，BD＝8cm，过点A作AH⊥BC于点H，则AH的长为　　 cm． 【分析】根据菱形的性质可得OBBD＝4cm，OCAC＝2cm，勾股定理求得BC的长，进而根据菱形的面积公式即可求解． 【解答】解：由题意得OBBD＝4cm，OCAC＝2cm，AC⊥BD， ∴（cm）， ∵AH⊥BC， ∴， ∴（cm）， 故答案为：． 14．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB． （1）求证：四边形ABOE是菱形； （2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，BD的长为 　2　 ． 【答案】（1）证明见解析； （2）2． 【分析】（1）由平行四边形的性质与已知得出AB＝OB，易证四边形ABOE是平行四边形，即可得出结论； （2）连接BE，交OA于F，由菱形的性质得OA⊥BE，AF＝OFOA＝1，BF＝EFBE，由菱形的面积求出BE＝4，则BF＝2，由勾股定理得出OB，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝ODBD， ∵BD＝2AB， ∴AB＝OB， ∵AE∥BD，OE∥AB， ∴四边形ABOE是平行四边形， ∵AB＝OB， ∴四边形ABOE是菱形； （2）解：连接BE，交OA于F，如图所示： ∵四边形ABOE是菱形， ∴OA⊥BE，AF＝OFOA＝1，BF＝EFBE， ∵S四边形ABOE＝4， S四边形ABOEOA•BE2×BE＝BE， ∴BE＝4， ∴BF＝2， ∴OB， ∴BD＝2OB＝2． 故答案为：2． 15．如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC的垂直平分线EF分别交边AD，BC于点E，F，垂足为O． （1）求证：四边形AFCE为菱形； （2）在BC的延长线上取一点G，使CG＝OC，连接OG．若F为BC的中点，且∠G＝15°，AB＝8，求△FOG的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由AAS可证△AOE≌△COF，可得FO＝EO，可证四边形AFCE是平行四边形，由菱形的判定可得结论； （2）先求出线段OC和FC的长，由直角三角形的性质可求OH的长，即可求解． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴EF⊥AC，AO＝CO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠OCF＝∠OAE， 在△AOE 与△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴FO＝EO， 又∵CO＝AO， ∴四边形AFCE是平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE为菱形； （2）解：∵OC＝CG， ∴∠COG＝∠G＝15°， ∴∠ACB＝∠COG+∠G＝30°， ∵四边形AFCE为菱形， ∴O为AC的中点， ∵F为线段BC的中点， ∴OF是三角形ABC的中位线， ∴， ∵EF⊥AC， ∴，， ∴，， 如图，作 OH⊥BC，垂足为H，则∠OHG＝90°， ∴， 则． 16．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AO＝4，BO＝3． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）求▱ABCD的面积． 【分析】（1）先由勾股定理逆定理得到∠AOB＝90°，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明． （2）根据菱形的面积公式计算即可求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝5，OA＝4，OB＝3， ∴AB2＝52＝25，OB2+OA2＝32+42＝25， ∴OB2+OA2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BD＝2BO＝6，AC＝2OA＝8， ∴▱ABCD的面积为． 17．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形．再证平行四边形OCED是矩形，则∠COD＝90°，得AC⊥BD，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2，再由勾股定理得OD，然后由矩形的在得CE＝OD，∠OCE＝90°，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OE＝CD， ∴平行四边形OCED是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝2，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2， ∴OA＝OC＝1， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴CE＝OD，∠OCE＝90°， ∴AE， 即AE的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假九年级数学预习菱形的性质与判定1 第2天 用时：___ 一．菱形的性质与判定1 1．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形的周长等于（　　） A．40 B． C．24 D．20 2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 3．如图，平面直角坐标系中，平行四边形AOBC的边OB在x轴上，A（3，4），C（9，4）．若将边BC向左平移，当四边形AOBC是菱形时，平移的距离是（　　） A．1 B．2 C．1或11 D．2或11 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别为10cm和24cm，则菱形ABCD的高为（　　） A．13cm B．cm C．26cm D．cm 5．如图，四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，AB＝2，则菱形ABCD的面积是（　　） A．3 B．4 C． D． 6．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（　　） A．4 B．4 C．3 D．3 7．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．其示意图如图所示，菱形ABCD的对角线AC＝16cm、BD＝12cm，则菱形边长应为（　　） A．10cm B．12cm C．13cm D．24cm 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，若点C的坐标是（3，4），则点B的坐标为（　　） A．（8，4） B．（8，3） C．（5，4） D．（5，3） 9．菱形有一个内角是60°，边长为6cm，则它的面积是 　 　 cm2． 10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知AB＝13，AO＝12，则菱形ABCD的面积为　 　 ． 11．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请添加一个条件　 　 ，使▱ABCD成为菱形（写出符合题意的一个条件即可） 12．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四形BCDF为菱形，则a的值为　 　 ． 13．如图，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，测得AC＝4cm，BD＝8cm，过点A作AH⊥BC于点H，则AH的长为　 　 cm． 14．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB． （1）求证：四边形ABOE是菱形； （2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，BD的长为 　 　 ． 15．如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC的垂直平分线EF分别交边AD，BC于点E，F，垂足为O． （1）求证：四边形AFCE为菱形； （2）在BC的延长线上取一点G，使CG＝OC，连接OG．若F为BC的中点，且∠G＝15°，AB＝8，求△FOG的面积． 16．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AO＝4，BO＝3． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）求▱ABCD的面积． 17．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． ，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/24 18:39:50；用户：涂海青；邮箱：1143514030@qq.com；学号：3816414 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $